MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmcn 25902
Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcn.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmcn.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmcn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(𝑆–cnβ†’β„‚))
ulmcn.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))

Proof of Theorem ulmcn
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑀 𝑧 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcn.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
2 ulmcl 25884 . . 3 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
4 ulmcn.z . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 ulmcn.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
65adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 ulmcn.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(𝑆–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24400 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ π‘₯:π‘†βŸΆβ„‚)
9 cnex 11187 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
10 cncfrss 24398 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
11 ssexg 5322 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
1210, 9, 11sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑆 ∈ V)
13 elmapg 8829 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ π‘₯:π‘†βŸΆβ„‚))
149, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ π‘₯:π‘†βŸΆβ„‚))
158, 14mpbird 256 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
1615ssriv 3985 . . . . . . 7 (𝑆–cnβ†’β„‚) βŠ† (β„‚ ↑m 𝑆)
17 fss 6731 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘βŸΆ(𝑆–cnβ†’β„‚) ∧ (𝑆–cnβ†’β„‚) βŠ† (β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
187, 16, 17sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1918adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
20 eqidd 2733 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))
21 eqidd 2733 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘€))
221adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
23 rphalfcl 12997 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2423ad2antll 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 13024 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
264, 6, 19, 20, 21, 22, 25ulmi 25889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2))
274r19.2uz 15294 . . . . 5 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2))
28 simplrl 775 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
29 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
30 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘₯))
3129, 30oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
3231fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
3332breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3433rspcv 3608 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3528, 34syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
367adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(𝑆–cnβ†’β„‚))
3736ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
3824adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
39 cncfi 24401 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)))
4037, 28, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)))
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)))
42 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))))
4319ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
44 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4543, 44ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
46 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4828adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
4947, 48ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
503ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
5150, 48ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5249, 51subcld 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
5352abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
54 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
5547, 54sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
56 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
5750, 56sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
5855, 57subcld 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
5958abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ ℝ)
6038adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
6160rphalfcld 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
6261rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)
63 lt2add 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6453, 59, 62, 62, 63syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6560rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
6665recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
67662halvesd 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) = (𝑦 / 2))
6867breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) ↔ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2)))
6953, 59readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) ∈ ℝ)
7055, 49subcld 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
7170abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
72 lt2add 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
7369, 71, 65, 65, 72syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
74 rpre 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7574ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7675ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7776recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
78772halvesd 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
7978breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) ↔ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < 𝑦))
8057, 51subcld 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8180abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
8257, 49subcld 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8382abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
8453, 83readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
8569, 71readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
8657, 51, 49abs3difd 15403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))))
8783recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8853recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8987, 88addcomd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))) = ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9086, 89breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9159, 71readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
9257, 49, 55abs3difd 15403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9357, 55abssubd 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))))
9493oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) = ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9592, 94breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9683, 91, 53, 95leadd2dd 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ≀ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))))))
9759recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ β„‚)
9871recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9988, 97, 98addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) = ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))))))
10096, 99breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ≀ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
10181, 84, 85, 90, 100letrd 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
102 lelttr 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∧ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
10381, 85, 76, 102syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∧ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
104101, 103mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
10579, 104sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
10673, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
107106expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
10868, 107sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
10964, 108syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
110109expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
111110an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
112111imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
113112imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
114113expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
115114ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
11642, 115biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
117116expdimp 453 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
118117an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
119118reximdv 3170 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
12041, 119mpd 15 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
121120exp31 420 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
12235, 121mpdd 43 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
123122rexlimdva 3155 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
12427, 123syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
12526, 124mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
126125ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
127 uzid 12833 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1285, 127syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
129128, 4eleqtrrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
1307, 129ffvelcdmd 7084 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
131 cncfrss 24398 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
132130, 131syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
133 ssid 4003 . . 3 β„‚ βŠ† β„‚
134 elcncf2 24397 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐺 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
135132, 133, 134sylancl 586 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
1363, 126, 135mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  β„cr 11105   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  abscabs 15177  β€“cnβ†’ccncf 24383  β‡π‘’culm 25879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-cncf 24385  df-ulm 25880
This theorem is referenced by:  psercn2  25926  gg-psercn2  35166  knoppcn  35368
  Copyright terms: Public domain W3C validator