Theorem ulmcn 26308

Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmcn.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmcn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmcn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
ulmcn.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ))

Proof of Theorem ulmcn

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcn.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmcl 26290	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
4		ulmcn.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		ulmcn.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		ulmcn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
8		cncff 24786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑥:𝑆⟶ℂ)
9		cnex 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
10		cncfrss 24784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11		ssexg 5278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
12	10, 9, 11	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ∈ V)
13		elmapg 8812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
15	8, 14	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
16	15	ssriv 3950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆–cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)
17		fss 6704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ) ∧ (𝑆–cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
18	7, 16, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
20		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))
21		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑤))
22	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
23		rphalfcl 12980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
25	24	rphalfcld 13007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
26	4, 6, 19, 20, 21, 22, 25	ulmi 26295	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
27	4	r19.2uz 15318	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
28		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑆)
29		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
30		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑥))
31	29, 30	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
32	31	fveq2d 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
33	32	breq1d 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
34	33	rspcv 3584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
35	28, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
36	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
37	36	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
38	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
39		cncfi 24787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
40	37, 28, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
42		r19.26 3091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))))
43	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
44		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑍)
45	43, 44	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
46		elmapi 8822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
48	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49	47, 48	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
50	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
51	50, 48	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
52	49, 51	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
54		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
55	47, 54	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
56		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) ∈ ℂ)
57	50, 56	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) ∈ ℂ)
58	55, 57	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)) ∈ ℂ)
59	58	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℝ)
60	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
61	60	rphalfcld 13007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
62	61	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)
63		lt2add 11663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
64	53, 59, 62, 62, 63	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
65	60	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
67	66	2halvesd 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) = (𝑦 / 2))
68	67	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) ↔ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2)))
69	53, 59	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) ∈ ℝ)
70	55, 49	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
72		lt2add 11663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
73	69, 71, 65, 65, 72	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
74		rpre 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
75	74	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ)
76	75	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
78	77	2halvesd 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
79	78	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) ↔ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦))
80	57, 51	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
81	80	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
82	57, 49	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
83	82	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
84	53, 83	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
85	69, 71	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
86	57, 51, 49	abs3difd 15429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))))
87	83	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
88	53	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
89	87, 88	addcomd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
90	86, 89	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
91	59, 71	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
92	57, 49, 55	abs3difd 15429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
93	57, 55	abssubd 15422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))))
94	93	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
95	92, 94	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
96	83, 91, 53, 95	leadd2dd 11793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))))))
97	59	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℂ)
98	71	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
99	88, 97, 98	addassd 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))))))
100	96, 99	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
101	81, 84, 85, 90, 100	letrd 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
102		lelttr 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
103	81, 85, 76, 102	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
104	101, 103	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
105	79, 104	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
106	73, 105	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
107	106	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
108	68, 107	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
109	64, 108	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
110	109	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
111	110	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
112	111	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
113	112	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
114	113	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
115	114	ralimdva 3145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
116	42, 115	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
117	116	expdimp 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
118	117	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
119	118	reximdv 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
120	41, 119	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
121	120	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
122	35, 121	mpdd 43	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
123	122	rexlimdva 3134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
124	27, 123	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
125	26, 124	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
126	125	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
127		uzid 12808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
128	5, 127	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
129	128, 4	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
130	7, 129	ffvelcdmd 7057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
131		cncfrss 24784	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
132	130, 131	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
133		ssid 3969	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
134		elcncf2 24783	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
135	132, 133, 134	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
136	3, 126, 135	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℂcc 11066  ℝcr 11067   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  abscabs 15200  –cn→ccncf 24769  ⇝_𝑢culm 26285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-cncf 24771  df-ulm 26286

This theorem is referenced by:  psercn2  26332  psercn2OLD  26333  knoppcn  36492