Theorem ulmcn 25558

Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmcn.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmcn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmcn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
ulmcn.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ))

Proof of Theorem ulmcn

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcn.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmcl 25540	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
4		ulmcn.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		ulmcn.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		ulmcn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
8		cncff 24056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑥:𝑆⟶ℂ)
9		cnex 10952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
10		cncfrss 24054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11		ssexg 5247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
12	10, 9, 11	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ∈ V)
13		elmapg 8628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
15	8, 14	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
16	15	ssriv 3925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆–cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)
17		fss 6617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ) ∧ (𝑆–cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
18	7, 16, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19	18	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
20		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))
21		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑤))
22	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
23		rphalfcl 12757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	ad2antll 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
25	24	rphalfcld 12784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
26	4, 6, 19, 20, 21, 22, 25	ulmi 25545	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
27	4	r19.2uz 15063	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
28		simplrl 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑆)
29		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
30		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑥))
31	29, 30	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
32	31	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
33	32	breq1d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
34	33	rspcv 3557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
35	28, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
36	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
37	36	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
38	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
39		cncfi 24057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
40	37, 28, 38, 39	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
41	40	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
42		r19.26 3095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))))
43	19	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
44		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑍)
45	43, 44	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
46		elmapi 8637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
48	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49	47, 48	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
50	3	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
51	50, 48	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
52	49, 51	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
54		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
55	47, 54	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
56		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) ∈ ℂ)
57	50, 56	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) ∈ ℂ)
58	55, 57	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)) ∈ ℂ)
59	58	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℝ)
60	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
61	60	rphalfcld 12784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
62	61	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)
63		lt2add 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
64	53, 59, 62, 62, 63	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
65	60	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
67	66	2halvesd 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) = (𝑦 / 2))
68	67	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) ↔ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2)))
69	53, 59	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) ∈ ℝ)
70	55, 49	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
72		lt2add 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
73	69, 71, 65, 65, 72	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
74		rpre 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
75	74	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ)
76	75	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
78	77	2halvesd 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
79	78	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) ↔ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦))
80	57, 51	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
81	80	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
82	57, 49	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
83	82	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
84	53, 83	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
85	69, 71	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
86	57, 51, 49	abs3difd 15172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))))
87	83	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
88	53	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
89	87, 88	addcomd 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
90	86, 89	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
91	59, 71	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
92	57, 49, 55	abs3difd 15172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
93	57, 55	abssubd 15165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))))
94	93	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
95	92, 94	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
96	83, 91, 53, 95	leadd2dd 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))))))
97	59	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℂ)
98	71	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
99	88, 97, 98	addassd 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))))))
100	96, 99	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
101	81, 84, 85, 90, 100	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
102		lelttr 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
103	81, 85, 76, 102	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
104	101, 103	mpand 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
105	79, 104	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
106	73, 105	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
107	106	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
108	68, 107	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
109	64, 108	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
110	109	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
111	110	an32s 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
112	111	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
113	112	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
114	113	expimpd 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
115	114	ralimdva 3108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
116	42, 115	syl5bir 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
117	116	expdimp 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
118	117	an32s 649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
119	118	reximdv 3202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
120	41, 119	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
121	120	exp31 420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
122	35, 121	mpdd 43	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
123	122	rexlimdva 3213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
124	27, 123	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
125	26, 124	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
126	125	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
127		uzid 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
128	5, 127	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
129	128, 4	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
130	7, 129	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
131		cncfrss 24054	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
132	130, 131	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
133		ssid 3943	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
134		elcncf2 24053	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
135	132, 133, 134	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
136	3, 126, 135	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  ℂcc 10869  ℝcr 10870   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945  –cn→ccncf 24039  ⇝_𝑢culm 25535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-cncf 24041  df-ulm 25536

This theorem is referenced by:  psercn2  25582  knoppcn  34684