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Theorem ulmcn 24390
Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcn.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcn.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcn.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
ulmcn.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmcn (𝜑𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ))

Proof of Theorem ulmcn
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcn.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmcl 24372 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
4 ulmcn.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 ulmcn.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65adantr 468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 ulmcn.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
8 cncff 22930 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑥:𝑆⟶ℂ)
9 cnex 10312 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
10 cncfrss 22928 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11 ssexg 5012 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1210, 9, 11sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ∈ V)
13 elmapg 8115 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
149, 12, 13sylancr 577 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
158, 14mpbird 248 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑥 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
1615ssriv 3813 . . . . . . 7 (𝑆cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑𝑚 𝑆)
17 fss 6279 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ) ∧ (𝑆cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑𝑚 𝑆)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
187, 16, 17sylancl 576 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
1918adantr 468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
20 eqidd 2818 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑘𝑍𝑤𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑘)‘𝑤))
21 eqidd 2818 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑤))
221adantr 468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
23 rphalfcl 12092 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2423ad2antll 711 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 12118 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
264, 6, 19, 20, 21, 22, 25ulmi 24377 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
274r19.2uz 14334 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑘𝑍𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
28 simplrl 786 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥𝑆)
29 fveq2 6418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
30 fveq2 6418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑥))
3129, 30oveq12d 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
3231fveq2d 6422 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
3332breq1d 4865 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3433rspcv 3509 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3528, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
367adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
3736ffvelrnda 6591 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆cn→ℂ))
3824adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
39 cncfi 22931 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ (𝑆cn→ℂ) ∧ 𝑥𝑆 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
4037, 28, 38, 39syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
4140ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
42 r19.26 3263 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑤𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) ↔ (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))))
4319ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
44 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑘𝑍)
4543, 44ffvelrnd 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
46 elmapi 8124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4828adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑥𝑆)
4947, 48ffvelrnd 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
503ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5150, 48ffvelrnd 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5249, 51subcld 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5352abscld 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
54 ffvelrn 6589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
5547, 54sylancom 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
56 ffvelrn 6589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) ∈ ℂ)
5750, 56sylancom 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) ∈ ℂ)
5855, 57subcld 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)) ∈ ℂ)
5958abscld 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℝ)
6038adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
6160rphalfcld 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
6261rpred 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)
63 lt2add 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6453, 59, 62, 62, 63syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6560rpred 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
6665recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
67662halvesd 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) = (𝑦 / 2))
6867breq2d 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) ↔ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2)))
6953, 59readdcld 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) ∈ ℝ)
7055, 49subcld 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
7170abscld 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
72 lt2add 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
7369, 71, 65, 65, 72syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
74 rpre 12073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
7574ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ)
7675ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑦 ∈ ℝ)
7776recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
78772halvesd 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
7978breq2d 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) ↔ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦))
8057, 51subcld 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
8180abscld 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
8257, 49subcld 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
8382abscld 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
8453, 83readdcld 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
8569, 71readdcld 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
8657, 51, 49abs3difd 14442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))))
8783recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
8853recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
8987, 88addcomd 10533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9086, 89breqtrd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9159, 71readdcld 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
9257, 49, 55abs3difd 14442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9357, 55abssubd 14435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))))
9493oveq1d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9592, 94breqtrd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9683, 91, 53, 95leadd2dd 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))))))
9759recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℂ)
9871recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
9988, 97, 98addassd 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))))))
10096, 99breqtrrd 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
10181, 84, 85, 90, 100letrd 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
102 lelttr 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10381, 85, 76, 102syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
104101, 103mpand 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10579, 104sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10673, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
107106expd 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
10868, 107sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
10964, 108syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
110109expdimp 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
111110an32s 634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
112111imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
113112imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
114113expimpd 443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
115114ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
11642, 115syl5bir 234 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
117116expdimp 442 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
118117an32s 634 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
119118reximdv 3214 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12041, 119mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
121120exp31 408 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
12235, 121mpdd 43 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
123122rexlimdva 3230 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑘𝑍𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12427, 123syl5 34 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12526, 124mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
126125ralrimivva 3170 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
127 uzid 11939 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
1285, 127syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
129128, 4syl6eleqr 2907 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
1307, 129ffvelrnd 6592 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (𝑆cn→ℂ))
131 cncfrss 22928 . . . 4 ((𝐹𝑀) ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
132130, 131syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
133 ssid 3831 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
134 elcncf2 22927 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
135132, 133, 134sylancl 576 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
1363, 126, 135mpbir2and 695 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3402  wss 3780   class class class wbr 4855  wf 6107  cfv 6111  (class class class)co 6884  𝑚 cmap 8102  cc 10229  cr 10230   + caddc 10234   < clt 10369  cle 10370  cmin 10561   / cdiv 10979  2c2 11368  cz 11663  cuz 11924  +crp 12066  abscabs 14217  cnccncf 22913  𝑢culm 24367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-sup 8597  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11580  df-z 11664  df-uz 11925  df-rp 12067  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-cncf 22915  df-ulm 24368
This theorem is referenced by:  psercn2  24414  knoppcn  32833
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