MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmcn 25774
Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcn.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmcn.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmcn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(𝑆–cnβ†’β„‚))
ulmcn.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))

Proof of Theorem ulmcn
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑀 𝑧 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcn.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
2 ulmcl 25756 . . 3 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
4 ulmcn.z . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 ulmcn.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 ulmcn.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(𝑆–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24272 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ π‘₯:π‘†βŸΆβ„‚)
9 cnex 11139 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
10 cncfrss 24270 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
11 ssexg 5285 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
1210, 9, 11sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑆 ∈ V)
13 elmapg 8785 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ π‘₯:π‘†βŸΆβ„‚))
149, 12, 13sylancr 588 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ π‘₯:π‘†βŸΆβ„‚))
158, 14mpbird 257 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
1615ssriv 3953 . . . . . . 7 (𝑆–cnβ†’β„‚) βŠ† (β„‚ ↑m 𝑆)
17 fss 6690 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘βŸΆ(𝑆–cnβ†’β„‚) ∧ (𝑆–cnβ†’β„‚) βŠ† (β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
187, 16, 17sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1918adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
20 eqidd 2738 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))
21 eqidd 2738 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘€))
221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
23 rphalfcl 12949 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2423ad2antll 728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 12976 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
264, 6, 19, 20, 21, 22, 25ulmi 25761 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2))
274r19.2uz 15243 . . . . 5 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2))
28 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
29 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
30 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘₯))
3129, 30oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
3231fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
3332breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3433rspcv 3580 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3528, 34syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
367adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(𝑆–cnβ†’β„‚))
3736ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
3824adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
39 cncfi 24273 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)))
4037, 28, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)))
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)))
42 r19.26 3115 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))))
4319ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
44 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4543, 44ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
46 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
4828adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
4947, 48ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
503ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
5150, 48ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5249, 51subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
5352abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
54 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
5547, 54sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
56 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
5750, 56sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
5855, 57subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
5958abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ ℝ)
6038adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
6160rphalfcld 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
6261rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)
63 lt2add 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6453, 59, 62, 62, 63syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6560rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
6665recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
67662halvesd 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) = (𝑦 / 2))
6867breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) ↔ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2)))
6953, 59readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) ∈ ℝ)
7055, 49subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
7170abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
72 lt2add 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
7369, 71, 65, 65, 72syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
74 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7574ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7776recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
78772halvesd 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
7978breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) ↔ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < 𝑦))
8057, 51subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8180abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
8257, 49subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8382abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
8453, 83readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
8569, 71readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
8657, 51, 49abs3difd 15352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))))
8783recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8853recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8987, 88addcomd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))) = ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9086, 89breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9159, 71readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
9257, 49, 55abs3difd 15352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9357, 55abssubd 15345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))))
9493oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) = ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9592, 94breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
9683, 91, 53, 95leadd2dd 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ≀ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))))))
9759recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) ∈ β„‚)
9871recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9988, 97, 98addassd 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) = ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))))))
10096, 99breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ≀ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
10181, 84, 85, 90, 100letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))))
102 lelttr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∧ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
10381, 85, 76, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) ∧ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
104101, 103mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
10579, 104sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
10673, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
107106expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (𝑦 / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
10868, 107sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) + (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
10964, 108syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
110109expdimp 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
111110an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
112111imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
113112imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
114113expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
115114ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
11642, 115biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ ((βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
117116expdimp 454 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
118117an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
119118reximdv 3168 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
12041, 119mpd 15 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
121120exp31 421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
12235, 121mpdd 43 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
123122rexlimdva 3153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
12427, 123syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘€))) < ((𝑦 / 2) / 2) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
12526, 124mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
126125ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
127 uzid 12785 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1285, 127syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
129128, 4eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
1307, 129ffvelcdmd 7041 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
131 cncfrss 24270 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
132130, 131syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
133 ssid 3971 . . 3 β„‚ βŠ† β„‚
134 elcncf2 24269 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐺 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
135132, 133, 134sylancl 587 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘€) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
1363, 126, 135mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  β€“cnβ†’ccncf 24255  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-cncf 24257  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  psercn2  25798  knoppcn  34996
  Copyright terms: Public domain W3C validator