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Theorem ulmcn 26425
Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcn.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcn.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcn.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
ulmcn.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmcn (𝜑𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ))

Proof of Theorem ulmcn
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcn.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmcl 26407 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
4 ulmcn.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 ulmcn.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 ulmcn.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
8 cncff 24901 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑥:𝑆⟶ℂ)
9 cnex 11230 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
10 cncfrss 24899 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11 ssexg 5320 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1210, 9, 11sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ∈ V)
13 elmapg 8860 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
149, 12, 13sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
158, 14mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
1615ssriv 3982 . . . . . . 7 (𝑆cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)
17 fss 6736 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ) ∧ (𝑆cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
187, 16, 17sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
1918adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
20 eqidd 2727 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑘𝑍𝑤𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑘)‘𝑤))
21 eqidd 2727 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑤))
221adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
23 rphalfcl 13049 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2423ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
2524rphalfcld 13076 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
264, 6, 19, 20, 21, 22, 25ulmi 26412 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
274r19.2uz 15351 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑘𝑍𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
28 simplrl 775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥𝑆)
29 fveq2 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
30 fveq2 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑥))
3129, 30oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
3231fveq2d 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
3332breq1d 5155 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3433rspcv 3603 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
3528, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
367adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(𝑆cn→ℂ))
3736ffvelcdmda 7090 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆cn→ℂ))
3824adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
39 cncfi 24902 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ (𝑆cn→ℂ) ∧ 𝑥𝑆 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
4037, 28, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
42 r19.26 3101 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑤𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) ↔ (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))))
4319ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
44 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑘𝑍)
4543, 44ffvelcdmd 7091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
46 elmapi 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4828adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑥𝑆)
4947, 48ffvelcdmd 7091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
503ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5150, 48ffvelcdmd 7091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5249, 51subcld 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5352abscld 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
54 ffvelcdm 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
5547, 54sylancom 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
56 ffvelcdm 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) ∈ ℂ)
5750, 56sylancom 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐺𝑤) ∈ ℂ)
5855, 57subcld 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)) ∈ ℂ)
5958abscld 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℝ)
6038adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
6160rphalfcld 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
6261rpred 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)
63 lt2add 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6453, 59, 62, 62, 63syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
6560rpred 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
6665recnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
67662halvesd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) = (𝑦 / 2))
6867breq2d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) ↔ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2)))
6953, 59readdcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) ∈ ℝ)
7055, 49subcld 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
7170abscld 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
72 lt2add 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
7369, 71, 65, 65, 72syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
74 rpre 13030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
7574ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ)
7675ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑦 ∈ ℝ)
7776recnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
78772halvesd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
7978breq2d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) ↔ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦))
8057, 51subcld 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
8180abscld 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
8257, 49subcld 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
8382abscld 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
8453, 83readdcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
8569, 71readdcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
8657, 51, 49abs3difd 15460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))))
8783recnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
8853recnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℂ)
8987, 88addcomd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9086, 89breqtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9159, 71readdcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
9257, 49, 55abs3difd 15460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9357, 55abssubd 15453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))))
9493oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9592, 94breqtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
9683, 91, 53, 95leadd2dd 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))))))
9759recnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) ∈ ℂ)
9871recnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
9988, 97, 98addassd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))))))
10096, 99breqtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘((𝐺𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
10181, 84, 85, 90, 100letrd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))))
102 lelttr 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10381, 85, 76, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
104101, 103mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10579, 104sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
10673, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
107106expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (𝑦 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
10868, 107sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) + (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
10964, 108syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
110109expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
111110an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
112111imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
113112imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
114113expimpd 452 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
115114ralimdva 3157 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
11642, 115biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
117116expdimp 451 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
118117an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
119118reximdv 3160 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − ((𝐹𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12041, 119mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
121120exp31 418 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
12235, 121mpdd 43 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
123122rexlimdva 3145 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑘𝑍𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12427, 123syl5 34 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑤) − (𝐺𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12526, 124mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
126125ralrimivva 3191 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))
127 uzid 12883 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
1285, 127syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
129128, 4eleqtrrdi 2837 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
1307, 129ffvelcdmd 7091 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (𝑆cn→ℂ))
131 cncfrss 24899 . . . 4 ((𝐹𝑀) ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
132130, 131syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
133 ssid 4001 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
134 elcncf2 24898 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
135132, 133, 134sylancl 584 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑆 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑤) − (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
1363, 126, 135mpbir2and 711 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑆cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  wss 3946   class class class wbr 5145  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  m cmap 8847  cc 11147  cr 11148   + caddc 11152   < clt 11289  cle 11290  cmin 11485   / cdiv 11912  2c2 12313  cz 12604  cuz 12868  +crp 13022  abscabs 15234  cnccncf 24884  𝑢culm 26402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-cncf 24886  df-ulm 26403
This theorem is referenced by:  psercn2  26449  psercn2OLD  26450  knoppcn  36220
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