Theorem ulmcn 26380

Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmcn.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmcn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmcn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
ulmcn.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ulmcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ))

Proof of Theorem ulmcn

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcn.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmcl 26362	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
4		ulmcn.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		ulmcn.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		ulmcn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
8		cncff 24873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑥:𝑆⟶ℂ)
9		cnex 11113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
10		cncfrss 24871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11		ssexg 5261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
12	10, 9, 11	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ∈ V)
13		elmapg 8780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
14	9, 12, 13	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝑥:𝑆⟶ℂ))
15	8, 14	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑥 ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
16	15	ssriv 3926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆–cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)
17		fss 6679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ) ∧ (𝑆–cn→ℂ) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
18	7, 16, 17	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
20		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))
21		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑤))
22	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
23		rphalfcl 12965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	ad2antll 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
25	24	rphalfcld 12992	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
26	4, 6, 19, 20, 21, 22, 25	ulmi 26367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
27	4	r19.2uz 15308	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2))
28		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑆)
29		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
30		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑥))
31	29, 30	oveq12d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
32	31	fveq2d 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
33	32	breq1d 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
34	33	rspcv 3561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
35	28, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)))
36	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑍⟶(𝑆–cn→ℂ))
37	36	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
38	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
39		cncfi 24874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
40	37, 28, 38, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
41	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)))
42		r19.26 3098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) ↔ (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))))
43	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
44		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑍)
45	43, 44	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
46		elmapi 8790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
48	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49	47, 48	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
50	3	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
51	50, 48	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
52	49, 51	subcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
53	52	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
54		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
55	47, 54	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑤) ∈ ℂ)
56		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) ∈ ℂ)
57	50, 56	sylancom 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑤) ∈ ℂ)
58	55, 57	subcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)) ∈ ℂ)
59	58	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℝ)
60	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
61	60	rphalfcld 12992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
62	61	rpred 12980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)
63		lt2add 11629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 / 2) / 2) ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
64	53, 59, 62, 62, 63	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2))))
65	60	rpred 12980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
67	66	2halvesd 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) = (𝑦 / 2))
68	67	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) ↔ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2)))
69	53, 59	readdcld 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) ∈ ℝ)
70	55, 49	subcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
72		lt2add 11629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
73	69, 71, 65, 65, 72	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
74		rpre 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
75	74	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ)
76	75	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
78	77	2halvesd 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
79	78	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) ↔ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦))
80	57, 51	subcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
81	80	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
82	57, 49	subcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
83	82	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℝ)
84	53, 83	readdcld 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
85	69, 71	readdcld 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
86	57, 51, 49	abs3difd 15419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))))
87	83	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
88	53	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
89	87, 88	addcomd 11342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
90	86, 89	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
91	59, 71	readdcld 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ)
92	57, 49, 55	abs3difd 15419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
93	57, 55	abssubd 15412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))))
94	93	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
95	92, 94	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
96	83, 91, 53, 95	leadd2dd 11759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ≤ ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))))))
97	59	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) ∈ ℂ)
98	71	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
99	88, 97, 98	addassd 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) = ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))))))
100	96, 99	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘((𝐺‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
101	81, 84, 85, 90, 100	letrd 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))))
102		lelttr 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
103	81, 85, 76, 102	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) ∧ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
104	101, 103	mpand 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
105	79, 104	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
106	73, 105	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
107	106	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (𝑦 / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
108	68, 107	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) + (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤)))) < (((𝑦 / 2) / 2) + ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
109	64, 108	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
110	109	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
111	110	an32s 653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
112	111	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2) → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
113	112	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
114	113	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
115	114	ralimdva 3150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
116	42, 115	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ((∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
117	116	expdimp 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
118	117	an32s 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
119	118	reximdv 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
120	41, 119	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2)) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
121	120	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
122	35, 121	mpdd 43	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
123	122	rexlimdva 3139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
124	27, 123	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑤 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑤) − (𝐺‘𝑤))) < ((𝑦 / 2) / 2) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
125	26, 124	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
126	125	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
127		uzid 12797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
128	5, 127	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
129	128, 4	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
130	7, 129	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
131		cncfrss 24871	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ∈ (𝑆–cn→ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
132	130, 131	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
133		ssid 3945	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
134		elcncf2 24870	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
135	132, 133, 134	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
136	3, 126, 135	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑆–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  ℂcc 11030  ℝcr 11031   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  2c2 12230  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ℝ⁺crp 12936  abscabs 15190  –cn→ccncf 24856  ⇝_𝑢culm 26357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-cncf 24858  df-ulm 26358

This theorem is referenced by:  psercn2  26404  knoppcn  36783