Theorem negcncfg 43040

Description: The opposite of a continuous function is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
negcncfg.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
negcncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem negcncfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11030	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 = (0 − 𝐵))
3	2	mpteq2dva 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (0 − 𝐵)))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
5		0cn 10790	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		ssidd 3910	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
7		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
8	6, 7, 6	constcncfg 43031	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9	5, 8	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10		negcncfg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
11		cncfrss 23742	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		ssidd 3910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
14	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
15	4, 9, 12, 13, 14	cncfmptssg 43030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
16	15, 10	subcncf 24296	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (0 − 𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
17	3, 16	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853   ↦ cmpt 5120  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  0cc0 10694   − cmin 11027  -cneg 11028  –cn→ccncf 23727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cncf 23729

This theorem is referenced by:  itgsincmulx  43133  fourierdlem39  43305  fourierdlem73  43338  etransclem46  43439