Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addcncff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcncff 43473
Description: The sum of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncff.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
addcncff.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
addcncff (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))

Proof of Theorem addcncff
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcncff.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
2 cncfrss 24095 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
3 cnex 10994 . . . . 5 β„‚ ∈ V
43ssex 5254 . . . 4 (𝑋 βŠ† β„‚ β†’ 𝑋 ∈ V)
51, 2, 43syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
6 cncff 24097 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
71, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
87ffvelcdmda 6989 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9 addcncff.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
10 cncff 24097 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
119, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
1211ffvelcdmda 6989 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
137feqmptd 6865 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
1411feqmptd 6865 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
155, 8, 12, 13, 14offval2 7581 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
1613, 1eqeltrrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
1714, 9eqeltrrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
1816, 17addcncf 24649 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
1915, 18eqeltrd 2837 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   βŠ† wss 3892   ↦ cmpt 5164  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ∘f cof 7559  β„‚cc 10911   + caddc 10916  β€“cnβ†’ccncf 24080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991  ax-addf 10992
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-er 8525  df-map 8644  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-fi 9210  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-hom 17027  df-cco 17028  df-rest 17174  df-topn 17175  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-topgen 17195  df-pt 17196  df-prds 17199  df-xrs 17254  df-qtop 17259  df-imas 17260  df-xps 17262  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-submnd 18472  df-mulg 18742  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-psmet 20630  df-xmet 20631  df-met 20632  df-bl 20633  df-mopn 20634  df-cnfld 20639  df-top 22084  df-topon 22101  df-topsp 22123  df-bases 22137  df-cn 22419  df-cnp 22420  df-tx 22754  df-hmeo 22947  df-xms 23514  df-ms 23515  df-tms 23516  df-cncf 24082
This theorem is referenced by:  dvmulcncf  43514
  Copyright terms: Public domain W3C validator