Theorem icocncflimc 43818

Description: Limit at the lower bound, of a continuous function defined on a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icocncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icocncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icocncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
icocncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
icocncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

Proof of Theorem icocncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icocncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
2		icocncflimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		icocncflimc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	2	leidd 11643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
6		icocncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	3, 4, 3, 5, 6	elicod 13231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
8	1, 7	cnlimci 25160	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
9		cncfrss 24161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3954	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 24180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 24053	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20		resttopon 22419	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
21	19, 10, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
22	12	cnfldtop 24054	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23		unicntop 24056	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
24	23	restid 17242	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
26	25	cnfldtopon 24053	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
27		cncnp 22538	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	21, 26, 27	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
29	17, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
30	29	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ)
31		ioossico 13272	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
33		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
34	2	recnd 11105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	23	ntrtop 22328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
36	22, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
37		undif 4429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
38	10, 37	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
39	38	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))))
40	39	fveq2d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
41	36, 40	eqtr3id 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
42	34, 41	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
43	42, 7	elind 4142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
44	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
45		ssid 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
47	23, 13	restntr 22440	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
48	44, 10, 46, 47	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
49	43, 48	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
50	7	snssd 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
51		ssequn2 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
52	50, 51	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
53	52	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
54	53	oveq2d 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))
55	54	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))))
56		snunioo1 43438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
57	3, 4, 6, 56	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
58	57	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
59	55, 58	fveq12d 6833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
60	49, 59	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
61	30, 32, 10, 12, 33, 60	limcres 25157	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))
62	8, 61	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  {csn 4574   class class class wbr 5093   ↾ cres 5623  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  ℂcc 10971  ℝcr 10972  ℝ^*cxr 11110   < clt 11111  (,)cioo 13181  [,)cico 13183   ↾_t crest 17229  TopOpenctopn 17230  ℂ_fldccnfld 20704  Topctop 22149  TopOnctopon 22166  intcnt 22275   Cn ccn 22482   CnP ccnp 22483  –cn→ccncf 24146   lim_ℂ climc 25133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-map 8689  df-pm 8690  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fi 9269  df-sup 9300  df-inf 9301  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-q 12791  df-rp 12833  df-xneg 12950  df-xadd 12951  df-xmul 12952  df-ioo 13185  df-ico 13187  df-icc 13188  df-fz 13342  df-seq 13824  df-exp 13885  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-struct 16946  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-rest 17231  df-topn 17232  df-topgen 17252  df-psmet 20696  df-xmet 20697  df-met 20698  df-bl 20699  df-mopn 20700  df-cnfld 20705  df-top 22150  df-topon 22167  df-topsp 22189  df-bases 22203  df-ntr 22278  df-cn 22485  df-cnp 22486  df-xms 23580  df-ms 23581  df-cncf 24148  df-limc 25137

This theorem is referenced by:  fourierdlem46  44081