Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icocncflimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icocncflimc 43818
Description: Limit at the lower bound, of a continuous function defined on a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icocncflimc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icocncflimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
icocncflimc.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
icocncflimc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
icocncflimc (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))

Proof of Theorem icocncflimc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icocncflimc.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
2 icocncflimc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11127 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 icocncflimc.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
52leidd 11643 . . . 4 (𝜑𝐴𝐴)
6 icocncflimc.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
73, 4, 3, 5, 6elicod 13231 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
81, 7cnlimci 25160 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (𝐹 lim 𝐴))
9 cncfrss 24161 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
11 ssid 3954 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
12 eqid 2736 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
14 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1512, 13, 14cncfcn 24180 . . . . . . 7 (((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1610, 11, 15sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
171, 16eleqtrd 2839 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1812cnfldtopon 24053 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20 resttopon 22419 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
2119, 10, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
2212cnfldtop 24054 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23 unicntop 24056 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2423restid 17242 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
2625cnfldtopon 24053 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
27 cncnp 22538 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2821, 26, 27sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2917, 28mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
3029simpld 495 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ)
31 ioossico 13272 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
33 eqid 2736 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
342recnd 11105 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3523ntrtop 22328 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
3622, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
37 undif 4429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
3810, 37sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
3938eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))))
4039fveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
4136, 40eqtr3id 2790 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
4234, 41eleqtrd 2839 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
4342, 7elind 4142 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
4422a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
45 ssid 3954 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
4645a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
4723, 13restntr 22440 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
4844, 10, 46, 47syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
4943, 48eleqtrrd 2840 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
507snssd 4757 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
51 ssequn2 4131 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
5352eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
5453oveq2d 7354 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))
5554fveq2d 6830 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))))
56 snunioo1 43438 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
573, 4, 6, 56syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
5857eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
5955, 58fveq12d 6833 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
6049, 59eleqtrd 2839 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
6130, 32, 10, 12, 33, 60limcres 25157 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
628, 61eleqtrrd 2840 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  cdif 3895  cun 3896  cin 3897  wss 3898  {csn 4574   class class class wbr 5093  cres 5623  wf 6476  cfv 6480  (class class class)co 7338  cc 10971  cr 10972  *cxr 11110   < clt 11111  (,)cioo 13181  [,)cico 13183  t crest 17229  TopOpenctopn 17230  fldccnfld 20704  Topctop 22149  TopOnctopon 22166  intcnt 22275   Cn ccn 22482   CnP ccnp 22483  cnccncf 24146   lim climc 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-map 8689  df-pm 8690  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fi 9269  df-sup 9300  df-inf 9301  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-q 12791  df-rp 12833  df-xneg 12950  df-xadd 12951  df-xmul 12952  df-ioo 13185  df-ico 13187  df-icc 13188  df-fz 13342  df-seq 13824  df-exp 13885  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-struct 16946  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-rest 17231  df-topn 17232  df-topgen 17252  df-psmet 20696  df-xmet 20697  df-met 20698  df-bl 20699  df-mopn 20700  df-cnfld 20705  df-top 22150  df-topon 22167  df-topsp 22189  df-bases 22203  df-ntr 22278  df-cn 22485  df-cnp 22486  df-xms 23580  df-ms 23581  df-cncf 24148  df-limc 25137
This theorem is referenced by:  fourierdlem46  44081
  Copyright terms: Public domain W3C validator