Theorem icocncflimc 43059

Description: Limit at the lower bound, of a continuous function defined on a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icocncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icocncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icocncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
icocncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
icocncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

Proof of Theorem icocncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icocncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
2		icocncflimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 10866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		icocncflimc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	2	leidd 11381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
6		icocncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	3, 4, 3, 5, 6	elicod 12968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
8	1, 7	cnlimci 24758	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
9		cncfrss 23760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3913	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
14		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 23779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 23652	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20		resttopon 22030	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
21	19, 10, 20	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
22	12	cnfldtop 23653	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23		unicntop 23655	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
24	23	restid 16910	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
26	25	cnfldtopon 23652	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
27		cncnp 22149	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	21, 26, 27	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
29	17, 28	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
30	29	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ)
31		ioossico 13009	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
33		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
34	2	recnd 10844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	23	ntrtop 21939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
36	22, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
37		undif 4386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
38	10, 37	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
39	38	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))))
40	39	fveq2d 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
41	36, 40	eqtr3id 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
42	34, 41	eleqtrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
43	42, 7	elind 4098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
44	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
45		ssid 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
47	23, 13	restntr 22051	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
48	44, 10, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
49	43, 48	eleqtrrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
50	7	snssd 4712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
51		ssequn2 4087	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
52	50, 51	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
53	52	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
54	53	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))
55	54	fveq2d 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))))
56		snunioo1 42677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
57	3, 4, 6, 56	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
58	57	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
59	55, 58	fveq12d 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
60	49, 59	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
61	30, 32, 10, 12, 33, 60	limcres 24755	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))
62	8, 61	eleqtrrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054   ∖ cdif 3854   ∪ cun 3855   ∩ cin 3856   ⊆ wss 3857  {csn 4531   class class class wbr 5043   ↾ cres 5542  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  ℝ^*cxr 10849   < clt 10850  (,)cioo 12918  [,)cico 12920   ↾_t crest 16897  TopOpenctopn 16898  ℂ_fldccnfld 20335  Topctop 21762  TopOnctopon 21779  intcnt 21886   Cn ccn 22093   CnP ccnp 22094  –cn→ccncf 23745   lim_ℂ climc 24731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-pm 8500  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fi 9016  df-sup 9047  df-inf 9048  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-q 12528  df-rp 12570  df-xneg 12687  df-xadd 12688  df-xmul 12689  df-ioo 12922  df-ico 12924  df-icc 12925  df-fz 13079  df-seq 13558  df-exp 13619  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-starv 16782  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-unif 16790  df-rest 16899  df-topn 16900  df-topgen 16920  df-psmet 20327  df-xmet 20328  df-met 20329  df-bl 20330  df-mopn 20331  df-cnfld 20336  df-top 21763  df-topon 21780  df-topsp 21802  df-bases 21815  df-ntr 21889  df-cn 22096  df-cnp 22097  df-xms 23190  df-ms 23191  df-cncf 23747  df-limc 24735

This theorem is referenced by:  fourierdlem46  43322