Theorem icocncflimc 46717

Description: Limit at the lower bound, of a continuous function defined on a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icocncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icocncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icocncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
icocncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
icocncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

Proof of Theorem icocncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icocncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
2		icocncflimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		icocncflimc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	2	leidd 11804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
6		icocncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	3, 4, 3, 5, 6	elicod 13448	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
8	1, 7	cnlimci 26116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
9		cncfrss 25119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3953	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 25138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 25008	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20		resttopon 23386	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
21	19, 10, 20	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
22	12	cnfldtop 25009	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23		unicntop 25011	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
24	23	restid 17518	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
26	25	cnfldtopon 25008	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
27		cncnp 23505	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	21, 26, 27	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
29	17, 28	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
30	29	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ)
31		ioossico 13491	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
33		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
34	2	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	23	ntrtop 23295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
36	22, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
37		undif 4438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
38	10, 37	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
39	38	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))))
40	39	fveq2d 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
41	36, 40	eqtr3id 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
42	34, 41	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
43	42, 7	elind 4146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
44	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
45		ssid 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
47	23, 13	restntr 23407	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
48	44, 10, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
49	43, 48	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
50	7	snssd 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
51		ssequn2 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
52	50, 51	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
53	52	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
54	53	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))
55	54	fveq2d 6882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))))
56		snunioo1 46342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
57	3, 4, 6, 56	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
58	57	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
59	55, 58	fveq12d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
60	49, 59	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
61	30, 32, 10, 12, 33, 60	limcres 26113	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))
62	8, 61	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  (,)cioo 13398  [,)cico 13400   ↾_t crest 17505  TopOpenctopn 17506  ℂ_fldccnfld 21585  Topctop 23118  TopOnctopon 23135  intcnt 23242   Cn ccn 23449   CnP ccnp 23450  –cn→ccncf 25104   lim_ℂ climc 26089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-rest 17507  df-topn 17508  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-ntr 23245  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-xms 24546  df-ms 24547  df-cncf 25106  df-limc 26093

This theorem is used by:  fourierdlem46  46980