Theorem icocncflimc 47007

Description: Limit at the lower bound, of a continuous function defined on a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icocncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icocncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icocncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
icocncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
icocncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

Proof of Theorem icocncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icocncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
2		icocncflimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		icocncflimc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	2	leidd 11889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
6		icocncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	3, 4, 3, 5, 6	elicod 13533	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
8	1, 7	cnlimci 26218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
9		cncfrss 25221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3931	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 25240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 25110	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20		resttopon 23488	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
21	19, 10, 20	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
22	12	cnfldtop 25111	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23		unicntop 25113	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
24	23	restid 17613	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
26	25	cnfldtopon 25110	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
27		cncnp 23607	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	21, 26, 27	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
29	17, 28	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
30	29	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ)
31		ioossico 13576	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
33		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
34	2	recnd 11344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	23	ntrtop 23397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
36	22, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
37		undif 4437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
38	10, 37	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
39	38	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))))
40	39	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
41	36, 40	eqtr3id 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
42	34, 41	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
43	42, 7	elind 4096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
44	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
45		ssid 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
47	23, 13	restntr 23509	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
48	44, 10, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
49	43, 48	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
50	7	snssd 4743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
51		ssequn2 4186	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
52	50, 51	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
53	52	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
54	53	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))
55	54	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))))
56		snunioo1 46632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
57	3, 4, 6, 56	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
58	57	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
59	55, 58	fveq12d 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
60	49, 59	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
61	30, 32, 10, 12, 33, 60	limcres 26215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))
62	8, 61	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↾ cres 5653  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  (,)cioo 13483  [,)cico 13485   ↾_t crest 17600  TopOpenctopn 17601  ℂ_fldccnfld 21687  Topctop 23220  TopOnctopon 23237  intcnt 23344   Cn ccn 23551   CnP ccnp 23552  –cn→ccncf 25206   lim_ℂ climc 26191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-rest 17602  df-topn 17603  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-ntr 23347  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-xms 24648  df-ms 24649  df-cncf 25208  df-limc 26195

This theorem is used by:  fourierdlem46  47270