Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icocncflimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icocncflimc 45904
Description: Limit at the lower bound, of a continuous function defined on a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icocncflimc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icocncflimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
icocncflimc.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
icocncflimc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
icocncflimc (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))

Proof of Theorem icocncflimc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icocncflimc.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
2 icocncflimc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11311 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 icocncflimc.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
52leidd 11829 . . . 4 (𝜑𝐴𝐴)
6 icocncflimc.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
73, 4, 3, 5, 6elicod 13437 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
81, 7cnlimci 25924 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (𝐹 lim 𝐴))
9 cncfrss 24917 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
11 ssid 4006 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
14 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1512, 13, 14cncfcn 24936 . . . . . . 7 (((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1610, 11, 15sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
171, 16eleqtrd 2843 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1812cnfldtopon 24803 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20 resttopon 23169 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
2119, 10, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
2212cnfldtop 24804 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23 unicntop 24806 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2423restid 17478 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
2625cnfldtopon 24803 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
27 cncnp 23288 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2821, 26, 27sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2917, 28mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
3029simpld 494 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ)
31 ioossico 13478 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
33 eqid 2737 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
342recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3523ntrtop 23078 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
3622, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
37 undif 4482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
3810, 37sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
3938eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))))
4039fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
4136, 40eqtr3id 2791 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
4234, 41eleqtrd 2843 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
4342, 7elind 4200 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
4422a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
45 ssid 4006 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
4645a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
4723, 13restntr 23190 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
4844, 10, 46, 47syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
4943, 48eleqtrrd 2844 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
507snssd 4809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
51 ssequn2 4189 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
5250, 51sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
5352eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
5453oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))
5554fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))))
56 snunioo1 45525 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
573, 4, 6, 56syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
5857eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
5955, 58fveq12d 6913 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
6049, 59eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
6130, 32, 10, 12, 33, 60limcres 25921 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
628, 61eleqtrrd 2844 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  intcnt 23025   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233  cnccncf 24902   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-cncf 24904  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  fourierdlem46  46167
  Copyright terms: Public domain W3C validator