Theorem icocncflimc 46332

Description: Limit at the lower bound, of a continuous function defined on a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icocncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icocncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icocncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
icocncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
icocncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

Proof of Theorem icocncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icocncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ))
2		icocncflimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		icocncflimc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	2	leidd 11707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
6		icocncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	3, 4, 3, 5, 6	elicod 13339	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
8	1, 7	cnlimci 25874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
9		cncfrss 24876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3937	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))
14		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 24895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 24765	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20		resttopon 23144	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
21	19, 10, 20	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)))
22	12	cnfldtop 24766	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23		unicntop 24768	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
24	23	restid 17387	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
25	22, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
26	25	cnfldtopon 24765	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
27		cncnp 23263	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,)𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	21, 26, 27	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
29	17, 28	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
30	29	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)⟶ℂ)
31		ioossico 13382	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
33		eqid 2739	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
34	2	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	23	ntrtop 23053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
36	22, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
37		undif 4410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
38	10, 37	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))) = ℂ)
39	38	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵))))
40	39	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
41	36, 40	eqtr3id 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
42	34, 41	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))))
43	42, 7	elind 4129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
44	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
45		ssid 3937	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
47	23, 13	restntr 23165	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
48	44, 10, 46, 47	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴[,)𝐵)))) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
49	43, 48	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
50	7	snssd 4718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵))
51		ssequn2 4118	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
52	50, 51	sylib 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
53	52	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))
54	53	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))
55	54	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴}))))
56		snunioo1 45957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
57	3, 4, 6, 56	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
58	57	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
59	55, 58	fveq12d 6834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,)𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
60	49, 59	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
61	30, 32, 10, 12, 33, 60	limcres 25871	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))
62	8, 61	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↾ cres 5620  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13289  [,)cico 13291   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375  ℂ_fldccnfld 21347  Topctop 22876  TopOnctopon 22893  intcnt 23000   Cn ccn 23207   CnP ccnp 23208  –cn→ccncf 24861   lim_ℂ climc 25847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-ntr 23003  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-xms 24303  df-ms 24304  df-cncf 24863  df-limc 25851

This theorem is referenced by:  fourierdlem46  46595