Theorem mulcncff 44520

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncff.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncff.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
mulcncff	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Proof of Theorem mulcncff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncff.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncfrss 24388	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3		cnex 11186	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	ssex 5319	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6		cncff 24390	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8	7	ffvelcdmda 7081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9		mulcncff.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
10		cncff 24390	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
12	11	ffvelcdmda 7081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	7	feqmptd 6955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
14	11	feqmptd 6955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
15	5, 8, 12, 13, 14	offval2 7684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
16	13, 1	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
17	14, 9	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
18	16, 17	mulcncf 24944	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
19	15, 18	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3946   ↦ cmpt 5229  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403   ∘_f cof 7662  ℂcc 11103   · cmul 11110  –cn→ccncf 24373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-mulf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-mulg 18944  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-cncf 24375

This theorem is referenced by:  dvmulcncf  44575  dvdivcncf  44577