Theorem mulcncff 43301

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncff.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncff.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
mulcncff	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Proof of Theorem mulcncff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncff.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncfrss 23960	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3		cnex 10883	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	ssex 5240	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6		cncff 23962	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8	7	ffvelrnda 6943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9		mulcncff.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
10		cncff 23962	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
12	11	ffvelrnda 6943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	7	feqmptd 6819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
14	11	feqmptd 6819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
15	5, 8, 12, 13, 14	offval2 7531	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
16	13, 1	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
17	14, 9	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
18	16, 17	mulcncf 24515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
19	15, 18	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800   · cmul 10807  –cn→ccncf 23945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947

This theorem is referenced by:  dvmulcncf  43356  dvdivcncf  43358