Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcompt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcompt2 23554
 Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcompt2.xph 𝑥𝜑
cncfcompt2.ab (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfcompt2.cd (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
cncfcompt2.bc (𝜑𝐵𝐶)
cncfcompt2.st (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
cncfcompt2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2
StepHypRef Expression
1 cncfcompt2.xph . . . . 5 𝑥𝜑
2 cncfcompt2.bc . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐶)
32adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
4 cncfcompt2.ab . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 23539 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
76fvmptelrn 6864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐵)
83, 7sseldd 3918 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐶)
98ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅𝐶))
101, 9ralrimi 3180 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅𝐶)
11 eqidd 2799 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
12 eqidd 2799 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) = (𝑦𝐶𝑆))
13 cncfcompt2.st . . . 4 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
1410, 11, 12, 13fmptcof 6879 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
1514eqcomd 2804 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) = ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)))
16 cncfcompt2.cd . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
17 cncfrss 23537 . . . . . 6 ((𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
19 cncfss 23545 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
202, 18, 19syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
2120, 4sseldd 3918 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐶))
2221, 16cncfco 23553 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) ∈ (𝐴cn𝐸))
2315, 22eqeltrd 2890 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5114   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6328  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  –cn→ccncf 23522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-2 11706  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-abs 14607  df-cncf 23524 This theorem is referenced by:  lcmineqlem9  39476  lcmineqlem12  39479  etransclem18  43062  etransclem22  43066  etransclem46  43090
 Copyright terms: Public domain W3C validator