Theorem cncfcompt2 25234

Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcompt2.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfcompt2.ab	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfcompt2.cd	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸))
cncfcompt2.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
cncfcompt2.st	⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
cncfcompt2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) ∈ (𝐴–cn→𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfcompt2.xph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		cncfcompt2.bc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		cncfcompt2.ab	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 25219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶𝐵)
7	6	fvmptelcdm 7113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐵)
8	3, 7	sseldd 3909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐶)
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐶))
10	1, 9	ralrimi 3260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝐶)
11		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
12		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆))
13		cncfcompt2.st	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)
14	10, 11, 12, 13	fmptcof 7131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇))
15	14	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) = ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)))
16		cncfcompt2.cd	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸))
17		cncfrss 25217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
19		cncfss 25225	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))
20	2, 18, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))
21	20, 4	sseldd 3909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
22	21, 16	cncfco 25233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) ∈ (𝐴–cn→𝐸))
23	15, 22	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) ∈ (𝐴–cn→𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  –cn→ccncf 25202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-abs 15408  df-cncf 25204

This theorem is used by:  lcmineqlem9  43180  lcmineqlem12  43183  etransclem18  47355  etransclem22  47359  etransclem46  47383