MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcompt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcompt2 24848
Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcompt2.xph 𝑥𝜑
cncfcompt2.ab (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfcompt2.cd (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
cncfcompt2.bc (𝜑𝐵𝐶)
cncfcompt2.st (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
cncfcompt2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2
StepHypRef Expression
1 cncfcompt2.xph . . . . 5 𝑥𝜑
2 cncfcompt2.bc . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐶)
32adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
4 cncfcompt2.ab . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 24833 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
76fvmptelcdm 7128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐵)
83, 7sseldd 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐶)
98ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅𝐶))
101, 9ralrimi 3252 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅𝐶)
11 eqidd 2729 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
12 eqidd 2729 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) = (𝑦𝐶𝑆))
13 cncfcompt2.st . . . 4 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
1410, 11, 12, 13fmptcof 7145 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
1514eqcomd 2734 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) = ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)))
16 cncfcompt2.cd . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
17 cncfrss 24831 . . . . . 6 ((𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
19 cncfss 24839 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
202, 18, 19syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
2120, 4sseldd 3983 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐶))
2221, 16cncfco 24847 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) ∈ (𝐴cn𝐸))
2315, 22eqeltrd 2829 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wss 3949  cmpt 5235  ccom 5686  wf 6549  (class class class)co 7426  cc 11144  cnccncf 24816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12313  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-abs 15223  df-cncf 24818
This theorem is referenced by:  lcmineqlem9  41540  lcmineqlem12  41543  etransclem18  45669  etransclem22  45673  etransclem46  45697
  Copyright terms: Public domain W3C validator