Theorem cncfcompt2 24778

Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcompt2.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfcompt2.ab	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfcompt2.cd	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸))
cncfcompt2.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
cncfcompt2.st	⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
cncfcompt2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) ∈ (𝐴–cn→𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfcompt2.xph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		cncfcompt2.bc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		cncfcompt2.ab	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 24763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶𝐵)
7	6	fvmptelcdm 7107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐵)
8	3, 7	sseldd 3978	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐶)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐶))
10	1, 9	ralrimi 3248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝐶)
11		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
12		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆))
13		cncfcompt2.st	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)
14	10, 11, 12, 13	fmptcof 7123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇))
15	14	eqcomd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) = ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)))
16		cncfcompt2.cd	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸))
17		cncfrss 24761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
19		cncfss 24769	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))
20	2, 18, 19	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))
21	20, 4	sseldd 3978	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
22	21, 16	cncfco 24777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) ∈ (𝐴–cn→𝐸))
23	15, 22	eqeltrd 2827	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) ∈ (𝐴–cn→𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6532  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  –cn→ccncf 24746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-abs 15186  df-cncf 24748

This theorem is referenced by:  lcmineqlem9  41417  lcmineqlem12  41420  etransclem18  45522  etransclem22  45526  etransclem46  45550