MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcompt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcompt2 24916
Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcompt2.xph 𝑥𝜑
cncfcompt2.ab (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfcompt2.cd (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
cncfcompt2.bc (𝜑𝐵𝐶)
cncfcompt2.st (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
cncfcompt2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2
StepHypRef Expression
1 cncfcompt2.xph . . . . 5 𝑥𝜑
2 cncfcompt2.bc . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐶)
32adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
4 cncfcompt2.ab . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 24901 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
76fvmptelcdm 7119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐵)
83, 7sseldd 3979 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐶)
98ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅𝐶))
101, 9ralrimi 3245 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅𝐶)
11 eqidd 2727 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
12 eqidd 2727 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) = (𝑦𝐶𝑆))
13 cncfcompt2.st . . . 4 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
1410, 11, 12, 13fmptcof 7136 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
1514eqcomd 2732 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) = ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)))
16 cncfcompt2.cd . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
17 cncfrss 24899 . . . . . 6 ((𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
19 cncfss 24907 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
202, 18, 19syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
2120, 4sseldd 3979 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐶))
2221, 16cncfco 24915 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) ∈ (𝐴cn𝐸))
2315, 22eqeltrd 2826 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wss 3946  cmpt 5228  ccom 5678  wf 6542  (class class class)co 7416  cc 11147  cnccncf 24884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-2 12321  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-abs 15236  df-cncf 24886
This theorem is referenced by:  lcmineqlem9  41749  lcmineqlem12  41752  etransclem18  45909  etransclem22  45913  etransclem46  45937
  Copyright terms: Public domain W3C validator