Theorem cncfcompt2 24799

Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcompt2.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfcompt2.ab	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfcompt2.cd	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸))
cncfcompt2.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
cncfcompt2.st	⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
cncfcompt2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) ∈ (𝐴–cn→𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfcompt2.xph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		cncfcompt2.bc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		cncfcompt2.ab	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 24784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶𝐵)
7	6	fvmptelcdm 7047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐵)
8	3, 7	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐶)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐶))
10	1, 9	ralrimi 3227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝐶)
11		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
12		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆))
13		cncfcompt2.st	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)
14	10, 11, 12, 13	fmptcof 7064	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇))
15	14	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) = ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)))
16		cncfcompt2.cd	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸))
17		cncfrss 24782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
19		cncfss 24790	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))
20	2, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))
21	20, 4	sseldd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
22	21, 16	cncfco 24798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) ∈ (𝐴–cn→𝐸))
23	15, 22	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) ∈ (𝐴–cn→𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5173   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  –cn→ccncf 24767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-abs 15143  df-cncf 24769

This theorem is referenced by:  lcmineqlem9  42010  lcmineqlem12  42013  etransclem18  46233  etransclem22  46237  etransclem46  46261