Theorem cncfcompt2 25142

Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcompt2.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfcompt2.ab	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfcompt2.cd	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸))
cncfcompt2.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
cncfcompt2.st	⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
cncfcompt2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) ∈ (𝐴–cn→𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfcompt2.xph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		cncfcompt2.bc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		cncfcompt2.ab	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 25127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶𝐵)
7	6	fvmptelcdm 7110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐵)
8	3, 7	sseldd 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐶)
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐶))
10	1, 9	ralrimi 3262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝐶)
11		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
12		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆))
13		cncfcompt2.st	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → 𝑆 = 𝑇)
14	10, 11, 12, 13	fmptcof 7128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇))
15	14	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) = ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)))
16		cncfcompt2.cd	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸))
17		cncfrss 25125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∈ (𝐶–cn→𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
19		cncfss 25133	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))
20	2, 18, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))
21	20, 4	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
22	21, 16	cncfco 25141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑆) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) ∈ (𝐴–cn→𝐸))
23	15, 22	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) ∈ (𝐴–cn→𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  –cn→ccncf 25110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-abs 15327  df-cncf 25112

This theorem is used by:  lcmineqlem9  42911  lcmineqlem12  42914  etransclem18  47088  etransclem22  47092  etransclem46  47116