Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfcompt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcompt2 40906
Description: Composition of continuous functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcompt2.xph 𝑥𝜑
cncfcompt2.ab (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfcompt2.cd (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
cncfcompt2.bc (𝜑𝐵𝐶)
cncfcompt2.st (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
cncfcompt2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfcompt2
StepHypRef Expression
1 cncfcompt2.xph . . . . 5 𝑥𝜑
2 cncfcompt2.bc . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐶)
32adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
4 cncfcompt2.ab . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 23065 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴𝐵)
76fvmptelrn 6631 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐵)
83, 7sseldd 3827 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝐶)
98ex 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅𝐶))
101, 9ralrimi 3165 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅𝐶)
11 eqidd 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
12 eqidd 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) = (𝑦𝐶𝑆))
13 cncfcompt2.st . . . 4 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
1410, 11, 12, 13fmptcof 6646 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
1514eqcomd 2830 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) = ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)))
16 cncfcompt2.cd . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸))
17 cncfrss 23063 . . . . . 6 ((𝑦𝐶𝑆) ∈ (𝐶cn𝐸) → 𝐶 ⊆ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
19 cncfss 23071 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
202, 18, 19syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
2120, 4sseldd 3827 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) ∈ (𝐴cn𝐶))
2221, 16cncfco 23079 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐶𝑆) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) ∈ (𝐴cn𝐸))
2315, 22eqeltrd 2905 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑇) ∈ (𝐴cn𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  wss 3797  cmpt 4951  ccom 5345  wf 6118  (class class class)co 6904  cc 10249  cnccncf 23048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-2 11413  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-abs 14352  df-cncf 23050
This theorem is referenced by:  etransclem18  41262  etransclem22  41266  etransclem46  41290
  Copyright terms: Public domain W3C validator