Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioccncflimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioccncflimc 44899
Description: Limit at the upper bound of a continuous function defined on a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioccncflimc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
ioccncflimc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ioccncflimc.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
ioccncflimc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
ioccncflimc (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))

Proof of Theorem ioccncflimc
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioccncflimc.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2 ioccncflimc.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3 ioccncflimc.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43rexrd 11268 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5 ioccncflimc.altb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
63leidd 11784 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
72, 4, 4, 5, 6eliocd 44518 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴(,]𝐡))
81, 7cnlimci 25638 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
9 cncfrss 24631 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† β„‚)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† β„‚)
11 ssid 4003 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
12 eqid 2730 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
13 eqid 2730 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡))
14 eqid 2730 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
1512, 13, 14cncfcn 24650 . . . . . . 7 (((𝐴(,]𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,]𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
1610, 11, 15sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,]𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
171, 16eleqtrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
1812cnfldtopon 24519 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
19 resttopon 22885 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,]𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,]𝐡)))
2018, 10, 19sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,]𝐡)))
2112cnfldtop 24520 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
22 unicntop 24522 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2322restid 17383 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2524cnfldtopon 24519 . . . . . 6 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
26 cncnp 23004 . . . . . 6 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,]𝐡)) ∧ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚))β€˜π‘₯))))
2720, 25, 26sylancl 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚))β€˜π‘₯))))
2817, 27mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:(𝐴(,]𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡)𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚))β€˜π‘₯)))
2928simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,]𝐡)βŸΆβ„‚)
30 ioossioc 44503 . . . 4 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,]𝐡)
3130a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,]𝐡))
32 eqid 2730 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))
333recnd 11246 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3422ntrtop 22794 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = β„‚)
3521, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = β„‚
36 undif 4480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,]𝐡) βŠ† β„‚ ↔ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡))) = β„‚)
3710, 36sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡))) = β„‚)
3837eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ = ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡))))
3938fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡)))))
4035, 39eqtr3id 2784 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ = ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡)))))
4133, 40eleqtrd 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡)))))
4241, 7elind 4193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡)))) ∩ (𝐴(,]𝐡)))
4321a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
44 ssid 4003 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴(,]𝐡)
4544a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴(,]𝐡))
4622, 13restntr 22906 . . . . . 6 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐡) βŠ† β„‚ ∧ (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴(,]𝐡)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = (((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡)))) ∩ (𝐴(,]𝐡)))
4743, 10, 45, 46syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = (((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (β„‚ βˆ– (𝐴(,]𝐡)))) ∩ (𝐴(,]𝐡)))
4842, 47eleqtrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)))
497snssd 4811 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† (𝐴(,]𝐡))
50 ssequn2 4182 . . . . . . . . 9 ({𝐡} βŠ† (𝐴(,]𝐡) ↔ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
5149, 50sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
5251eqcomd 2736 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) = ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))
5352oveq2d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))
5453fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))))
55 ioounsn 13458 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
562, 4, 5, 55syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
5756eqcomd 2736 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) = ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}))
5854, 57fveq12d 6897 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})))
5948, 58eleqtrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})))
6029, 31, 10, 12, 32, 59limcres 25635 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
618, 60eleqtrrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252  (,)cioo 13328  (,]cioc 13329   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  intcnt 22741   Cn ccn 22948   CnP ccnp 22949  β€“cnβ†’ccncf 24616   limβ„‚ climc 25611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-ntr 22744  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-xms 24046  df-ms 24047  df-cncf 24618  df-limc 25615
This theorem is referenced by:  fourierdlem46  45166
  Copyright terms: Public domain W3C validator