Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioccncflimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioccncflimc 44116
Description: Limit at the upper bound of a continuous function defined on a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioccncflimc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ioccncflimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioccncflimc.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioccncflimc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ioccncflimc (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))

Proof of Theorem ioccncflimc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioccncflimc.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
2 ioccncflimc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 ioccncflimc.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11205 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 ioccncflimc.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
63leidd 11721 . . . 4 (𝜑𝐵𝐵)
72, 4, 4, 5, 6eliocd 43735 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
81, 7cnlimci 25253 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
9 cncfrss 24254 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
11 ssid 3966 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
12 eqid 2736 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))
14 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1512, 13, 14cncfcn 24273 . . . . . . 7 (((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1610, 11, 15sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
171, 16eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1812cnfldtopon 24146 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19 resttopon 22512 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
2018, 10, 19sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
2112cnfldtop 24147 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
22 unicntop 24149 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2322restid 17315 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
2524cnfldtopon 24146 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
26 cncnp 22631 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2720, 25, 26sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2817, 27mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
2928simpld 495 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ)
30 ioossioc 43720 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
32 eqid 2736 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
333recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3422ntrtop 22421 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
3521, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
36 undif 4441 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
3710, 36sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
3837eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ = ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))))
3938fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4035, 39eqtr3id 2790 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4133, 40eleqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4241, 7elind 4154 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4321a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
44 ssid 3966 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
4622, 13restntr 22533 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4743, 10, 45, 46syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4842, 47eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
497snssd 4769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵))
50 ssequn2 4143 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5149, 50sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5251eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
5352oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))
5453fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
55 ioounsn 13394 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
562, 4, 5, 55syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5756eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5854, 57fveq12d 6849 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
5948, 58eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
6029, 31, 10, 12, 32, 59limcres 25250 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
618, 60eleqtrrd 2841 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  *cxr 11188   < clt 11189  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  intcnt 22368   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576  cnccncf 24239   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-cncf 24241  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  fourierdlem46  44383
  Copyright terms: Public domain W3C validator