Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioccncflimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioccncflimc 42318
Description: Limit at the upper bound of a continuous function defined on a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioccncflimc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ioccncflimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioccncflimc.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioccncflimc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ioccncflimc (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))

Proof of Theorem ioccncflimc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioccncflimc.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
2 ioccncflimc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 ioccncflimc.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10668 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 ioccncflimc.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
63leidd 11183 . . . 4 (𝜑𝐵𝐵)
72, 4, 4, 5, 6eliocd 41935 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
81, 7cnlimci 24470 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
9 cncfrss 23474 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
11 ssid 3965 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
12 eqid 2821 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13 eqid 2821 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))
14 eqid 2821 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1512, 13, 14cncfcn 23493 . . . . . . 7 (((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1610, 11, 15sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
171, 16eleqtrd 2914 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1812cnfldtopon 23366 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19 resttopon 21744 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
2018, 10, 19sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
2112cnfldtop 23367 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
22 unicntop 23369 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2322restid 16685 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
2524cnfldtopon 23366 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
26 cncnp 21863 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2720, 25, 26sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2817, 27mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
2928simpld 498 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ)
30 ioossioc 41920 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
32 eqid 2821 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
333recnd 10646 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3422ntrtop 21653 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
3521, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
36 undif 4403 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
3710, 36sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
3837eqcomd 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ = ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))))
3938fveq2d 6647 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4035, 39syl5eqr 2870 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4133, 40eleqtrd 2914 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4241, 7elind 4146 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4321a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
44 ssid 3965 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
4622, 13restntr 21765 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4743, 10, 45, 46syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4842, 47eleqtrrd 2915 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
497snssd 4715 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵))
50 ssequn2 4135 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5149, 50sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5251eqcomd 2827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
5352oveq2d 7146 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))
5453fveq2d 6647 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
55 ioounsn 12845 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
562, 4, 5, 55syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5756eqcomd 2827 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5854, 57fveq12d 6650 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
5948, 58eleqtrd 2914 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
6029, 31, 10, 12, 32, 59limcres 24467 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
618, 60eleqtrrd 2915 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  {csn 4540   class class class wbr 5039  cres 5530  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  *cxr 10651   < clt 10652  (,)cioo 12716  (,]cioc 12717  t crest 16672  TopOpenctopn 16673  fldccnfld 20520  Topctop 21476  TopOnctopon 21493  intcnt 21600   Cn ccn 21807   CnP ccnp 21808  cnccncf 23459   lim climc 24443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ioc 12721  df-icc 12723  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-rest 16674  df-topn 16675  df-topgen 16695  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-ntr 21603  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-xms 22905  df-ms 22906  df-cncf 23461  df-limc 24447
This theorem is referenced by:  fourierdlem46  42585
  Copyright terms: Public domain W3C validator