Theorem ioccncflimc 42175

Description: Limit at the upper bound of a continuous function defined on a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioccncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioccncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ioccncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioccncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
ioccncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem ioccncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioccncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
2		ioccncflimc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ioccncflimc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 10693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ioccncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	3	leidd 11208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
7	2, 4, 4, 5, 6	eliocd 41790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8	1, 7	cnlimci 24489	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
9		cncfrss 23501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3991	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))
14		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 23519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 23393	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19		resttopon 21771	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
20	18, 10, 19	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
21	12	cnfldtop 23394	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
22		unicntop 23396	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
23	22	restid 16709	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
25	24	cnfldtopon 23393	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
26		cncnp 21890	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
27	20, 25, 26	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	17, 27	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
29	28	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ)
30		ioossioc 41773	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
32		eqid 2823	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
33	3	recnd 10671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
34	22	ntrtop 21680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
36		undif 4432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
37	10, 36	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
38	37	eqcomd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))))
39	38	fveq2d 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
40	35, 39	syl5eqr 2872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
41	33, 40	eleqtrd 2917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
42	41, 7	elind 4173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
43	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
44		ssid 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
46	22, 13	restntr 21792	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
47	43, 10, 45, 46	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
48	42, 47	eleqtrrd 2918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
49	7	snssd 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵))
50		ssequn2 4161	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
51	49, 50	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
52	51	eqcomd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
53	52	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))
54	53	fveq2d 6676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
55		ioounsn 12866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
56	2, 4, 5, 55	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
58	54, 57	fveq12d 6679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
59	48, 58	eleqtrd 2917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
60	29, 31, 10, 12, 32, 59	limcres 24486	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))
61	8, 60	eleqtrrd 2918	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↾ cres 5559  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  (,)cioo 12741  (,]cioc 12742   ↾_t crest 16696  TopOpenctopn 16697  ℂ_fldccnfld 20547  Topctop 21503  TopOnctopon 21520  intcnt 21627   Cn ccn 21834   CnP ccnp 21835  –cn→ccncf 23486   lim_ℂ climc 24462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-icc 12748  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-ntr 21630  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-xms 22932  df-ms 22933  df-cncf 23488  df-limc 24466

This theorem is referenced by:  fourierdlem46  42444