Theorem ioccncflimc 43426

Description: Limit at the upper bound of a continuous function defined on a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioccncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioccncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ioccncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioccncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
ioccncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem ioccncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioccncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
2		ioccncflimc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ioccncflimc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ioccncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	3	leidd 11541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
7	2, 4, 4, 5, 6	eliocd 43045	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8	1, 7	cnlimci 25053	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
9		cncfrss 24054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3943	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))
14		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 24073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 23946	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19		resttopon 22312	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
20	18, 10, 19	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
21	12	cnfldtop 23947	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
22		unicntop 23949	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
23	22	restid 17144	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
25	24	cnfldtopon 23946	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
26		cncnp 22431	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
27	20, 25, 26	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	17, 27	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
29	28	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ)
30		ioossioc 43030	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
32		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
33	3	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
34	22	ntrtop 22221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
36		undif 4415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
37	10, 36	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
38	37	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))))
39	38	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
40	35, 39	eqtr3id 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
41	33, 40	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
42	41, 7	elind 4128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
43	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
44		ssid 3943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
46	22, 13	restntr 22333	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
47	43, 10, 45, 46	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
48	42, 47	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
49	7	snssd 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵))
50		ssequn2 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
51	49, 50	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
52	51	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
53	52	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))
54	53	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
55		ioounsn 13209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
56	2, 4, 5, 55	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
58	54, 57	fveq12d 6781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
59	48, 58	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
60	29, 31, 10, 12, 32, 59	limcres 25050	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))
61	8, 60	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  (,)cioo 13079  (,]cioc 13080   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ℂ_fldccnfld 20597  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  intcnt 22168   Cn ccn 22375   CnP ccnp 22376  –cn→ccncf 24039   lim_ℂ climc 25026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-icc 13086  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-ntr 22171  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-xms 23473  df-ms 23474  df-cncf 24041  df-limc 25030

This theorem is referenced by:  fourierdlem46  43693