Theorem ioccncflimc 45894

Description: Limit at the upper bound of a continuous function defined on a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioccncflimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioccncflimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ioccncflimc.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioccncflimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
ioccncflimc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem ioccncflimc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioccncflimc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
2		ioccncflimc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ioccncflimc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ioccncflimc.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	3	leidd 11808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
7	2, 4, 4, 5, 6	eliocd 45516	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8	1, 7	cnlimci 25847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
9		cncfrss 24840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
11		ssid 3986	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
12		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
15	12, 13, 14	cncfcn 24859	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
16	10, 11, 15	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
17	1, 16	eleqtrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
18	12	cnfldtopon 24726	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19		resttopon 23104	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
20	18, 10, 19	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
21	12	cnfldtop 24727	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
22		unicntop 24729	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
23	22	restid 17452	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
25	24	cnfldtopon 24726	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
26		cncnp 23223	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
27	20, 25, 26	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
28	17, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
29	28	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ)
30		ioossioc 45501	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
32		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
33	3	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
34	22	ntrtop 23013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
36		undif 4462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
37	10, 36	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
38	37	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))))
39	38	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
40	35, 39	eqtr3id 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
41	33, 40	eleqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
42	41, 7	elind 4180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
43	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
44		ssid 3986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
46	22, 13	restntr 23125	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
47	43, 10, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
48	42, 47	eleqtrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
49	7	snssd 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵))
50		ssequn2 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
52	51	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
53	52	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))
54	53	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
55		ioounsn 13499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
56	2, 4, 5, 55	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
58	54, 57	fveq12d 6888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
59	48, 58	eleqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
60	29, 31, 10, 12, 32, 59	limcres 25844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))
61	8, 60	eleqtrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↾ cres 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274  (,)cioo 13367  (,]cioc 13368   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  ℂ_fldccnfld 21320  Topctop 22836  TopOnctopon 22853  intcnt 22960   Cn ccn 23167   CnP ccnp 23168  –cn→ccncf 24825   lim_ℂ climc 25820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-icc 13374  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-rest 17441  df-topn 17442  df-topgen 17462  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-ntr 22963  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-xms 24264  df-ms 24265  df-cncf 24827  df-limc 25824

This theorem is referenced by:  fourierdlem46  46161