Theorem cncfcdm 25066

Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfcdm	⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶))

Proof of Theorem cncfcdm

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfi 25062	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
2	1	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
3	2	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
4	3	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
5		cncfrss 25059	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
7		elcncf2 25058	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
8	5, 6, 7	syl2an2 698	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
9	4, 8	mpbiran2d 720	1 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102   < clt 11247   − cmin 11445  ℝ⁺crp 13020  abscabs 15290  –cn→ccncf 25044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-abs 15292  df-cncf 25046

This theorem is used by:  cncfss  25067  cncfmpt2ss  25084  rolle  26158  dvlipcn  26162  c1lip2  26166  dvivthlem1  26176  dvivth  26178  lhop1lem  26181  dvcnvrelem2  26186  dvfsumlem2  26195  itgsubstlem  26216  efcvx  26621  dvrelog  26811  relogcn  26812  logcn  26821  dvlog  26825  logccv  26837  resqrtcn  26923  loglesqrt  26935  lgamgulmlem2  27203  rpsqrtcn  34989  fdvneggt  34996  fdvnegge  34998  logdivsqrle  35046  knoppcn2  37153  areacirclem4  38390  cncfres  38444  intlewftc  42856  aks4d1p1p5  42870  cncfmptssg  46613  resincncf  46617  cncfcompt  46625  cncfiooiccre  46637  dvdivcncf  46669  dvbdfbdioolem1  46670  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  itgsbtaddcnst  46724  fourierdlem58  46906  fourierdlem59  46907  fourierdlem62  46910  fourierdlem68  46916  fourierdlem76  46924  fourierdlem78  46926  fourierdlem83  46931  fourierdlem101  46949  fourierdlem112  46960  fouriercn  46974