MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcdm 24213
Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncfcdm ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))

Proof of Theorem cncfcdm
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfi 24209 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
213expb 1121 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
32ralrimivva 3196 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
43adantl 483 . 2 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
5 cncfrss 24206 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6 simpl 484 . . 3 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
7 elcncf2 24205 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
85, 6, 7syl2an2 685 . 2 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
94, 8mpbiran2d 707 1 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wral 3063  wrex 3072  wss 3909   class class class wbr 5104  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008   < clt 11148  cmin 11344  +crp 12870  abscabs 15079  cnccncf 24191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-2 12175  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-abs 15081  df-cncf 24193
This theorem is referenced by:  cncfss  24214  cncfmpt2ss  24231  rolle  25306  dvlipcn  25310  c1lip2  25314  dvivthlem1  25324  dvivth  25326  lhop1lem  25329  dvcnvrelem2  25334  dvfsumlem2  25343  itgsubstlem  25364  efcvx  25760  dvrelog  25944  relogcn  25945  logcn  25954  dvlog  25958  logccv  25970  resqrtcn  26054  loglesqrt  26063  lgamgulmlem2  26331  rpsqrtcn  33010  fdvneggt  33017  fdvnegge  33019  logdivsqrle  33067  knoppcn2  34931  areacirclem4  36101  cncfres  36156  intlewftc  40450  aks4d1p1p5  40464  cncfmptssg  44007  resincncf  44011  cncfcompt  44019  cncfiooiccre  44031  dvdivcncf  44063  dvbdfbdioolem1  44064  ioodvbdlimc1lem2  44068  ioodvbdlimc2lem  44070  itgsbtaddcnst  44118  fourierdlem58  44300  fourierdlem59  44301  fourierdlem62  44304  fourierdlem68  44310  fourierdlem76  44318  fourierdlem78  44320  fourierdlem83  44325  fourierdlem101  44343  fourierdlem112  44354  fouriercn  44368
  Copyright terms: Public domain W3C validator