Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37871 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simprl 770 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
4 | | dihglblem5a.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | dihglblem5a.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | 4, 5 | lhpbase 38507 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β π΅) |
7 | 6 | ad2antlr 726 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
8 | | dihglblem5a.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | dihglblem5a.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | 4, 8, 9 | latmle1 18358 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
11 | 2, 3, 7, 10 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) β€ π) |
12 | | simpl 484 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
13 | 4, 9 | latmcl 18334 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
14 | 2, 3, 7, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) β π΅) |
15 | | dihglblem5a.i |
. . . . . 6
β’ πΌ = ((DIsoHβπΎ)βπ) |
16 | 4, 8, 5, 15 | dihord 39773 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ) β (π β§ π) β€ π)) |
17 | 12, 14, 3, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ) β (π β§ π) β€ π)) |
18 | 11, 17 | mpbird 257 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ)) |
19 | 4, 8, 9 | latmle2 18359 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
20 | 2, 3, 7, 19 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) β€ π) |
21 | 4, 8, 5, 15 | dihord 39773 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ) β (π β§ π) β€ π)) |
22 | 12, 14, 7, 21 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ) β (π β§ π) β€ π)) |
23 | 20, 22 | mpbird 257 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ)) |
24 | 18, 23 | ssind 4193 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
25 | 5, 15 | dihvalrel 39788 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β Rel (πΌβπ)) |
26 | | relin1 5769 |
. . . . 5
β’ (Rel
(πΌβπ) β Rel ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β Rel ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
28 | 27 | adantr 482 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β Rel ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
29 | | elin 3927 |
. . . 4
β’
(β¨π, π β© β ((πΌβπ) β© (πΌβπ)) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ))) |
30 | | dihglblem5a.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
31 | | dihglblem5a.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
32 | 4, 8, 30, 9, 31, 5 | lhpmcvr2 38533 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
33 | | dihglblem5a.p |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = ((ocβπΎ)βπ) |
34 | | dihglblem5a.t |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
35 | | dihglblem5a.r |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
36 | | dihglblem5a.e |
. . . . . . . . . . . 12
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
37 | | dihglblem5a.g |
. . . . . . . . . . . 12
β’ πΊ = (β©β β π (ββπ) = π) |
38 | | vex 3448 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π β V |
39 | | vex 3448 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π β V |
40 | 4, 8, 30, 9, 31, 5, 33, 34, 35, 36, 15, 37, 38, 39 | dihopelvalc 39758 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π))) |
41 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
42 | 6 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β π β π΅) |
43 | 4, 8 | latref 18335 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β π β€ π) |
44 | 1, 6, 43 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β π β€ π) |
45 | | dihglblem5a.o |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 0 = (β β π β¦ ( I βΎ π΅)) |
46 | 4, 8, 5, 34, 35, 45, 15 | dihopelvalbN 39747 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) |
47 | 41, 42, 44, 46 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) |
48 | 47 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) |
49 | 40, 48 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 )))) |
50 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 )) β π β π) |
51 | 50 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π) |
52 | | simprrr 781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π = 0 ) |
53 | 52 | fveq1d 6845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π βπΊ) = ( 0 βπΊ)) |
54 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
55 | 8, 31, 5, 33 | lhpocnel2 38528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
56 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
57 | | simpl3l 1229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
58 | 8, 31, 5, 34, 37 | ltrniotacl 39088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΊ β π) |
59 | 54, 56, 57, 58 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β πΊ β π) |
60 | 45, 4 | tendo02 39296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (πΊ β π β ( 0 βπΊ) = ( I βΎ π΅)) |
61 | 59, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β ( 0 βπΊ) = ( I βΎ π΅)) |
62 | 53, 61 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π βπΊ) = ( I βΎ π΅)) |
63 | 62 | cnveqd 5832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β β‘(π βπΊ) = β‘( I βΎ π΅)) |
64 | | cnvresid 6581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ β‘( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅) |
65 | 63, 64 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β β‘(π βπΊ) = ( I βΎ π΅)) |
66 | 65 | coeq2d 5819 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β β‘(π βπΊ)) = (π β ( I βΎ π΅))) |
67 | 4, 5, 34 | ltrn1o 38633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
68 | 54, 51, 67 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
69 | | f1of 6785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π:π΅β1-1-ontoβπ΅ β π:π΅βΆπ΅) |
70 | | fcoi1 6717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π:π΅βΆπ΅ β (π β ( I βΎ π΅)) = π) |
71 | 68, 69, 70 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β ( I βΎ π΅)) = π) |
72 | 66, 71 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β β‘(π βπΊ)) = π) |
73 | 72 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
β(π β β‘(π βπΊ))) = (π
βπ)) |
74 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) |
75 | 73, 74 | eqbrtrrd 5130 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
βπ) β€ π) |
76 | 8, 5, 34, 35 | trlle 38693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β (π
βπ) β€ π) |
77 | 54, 51, 76 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
βπ) β€ π) |
78 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β πΎ β HL) |
79 | 78 | hllatd 37872 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β πΎ β Lat) |
80 | 4, 5, 34, 35 | trlcl 38673 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β (π
βπ) β π΅) |
81 | 54, 51, 80 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
βπ) β π΅) |
82 | | simpl2l 1227 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π΅) |
83 | | simpl1r 1226 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π») |
84 | 83, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π΅) |
85 | 4, 8, 9 | latlem12 18360 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
βπ) β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (((π
βπ) β€ π β§ (π
βπ) β€ π) β (π
βπ) β€ (π β§ π))) |
86 | 79, 81, 82, 84, 85 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (((π
βπ) β€ π β§ (π
βπ) β€ π) β (π
βπ) β€ (π β§ π))) |
87 | 75, 77, 86 | mpbi2and 711 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
βπ) β€ (π β§ π)) |
88 | 51, 87 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) |
89 | 79, 82, 84, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β§ π) β π΅) |
90 | 79, 82, 84, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β§ π) β€ π) |
91 | 4, 8, 5, 34, 35, 45, 15 | dihopelvalbN 39747 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β§ π) β π΅ β§ (π β§ π) β€ π)) β (β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π)) β§ π = 0 ))) |
92 | 54, 89, 90, 91 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π)) β§ π = 0 ))) |
93 | 88, 52, 92 | mpbir2and 712 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π))) |
94 | 93 | ex 414 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 )) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))) |
95 | 49, 94 | sylbid 239 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))) |
96 | 95 | 3expia 1122 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π))))) |
97 | 96 | exp4c 434 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΄ β (Β¬ π β€ π β ((π β¨ (π β§ π)) = π β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π))))))) |
98 | 97 | imp4a 424 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΄ β ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))))) |
99 | 98 | rexlimdv 3147 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π))))) |
100 | 32, 99 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))) |
101 | 29, 100 | biimtrid 241 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (β¨π, π β© β ((πΌβπ) β© (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))) |
102 | 28, 101 | relssdv 5745 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΌβπ) β© (πΌβπ)) β (πΌβ(π β§ π))) |
103 | 24, 102 | eqssd 3962 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) = ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |