Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5apreN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem5apreN 40467
Description: A conjunction property of isomorphism H. TODO: reduce antecedent size; general review for shorter proof. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem5a.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglblem5a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem5a.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglblem5a.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihglblem5a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihglblem5a.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
dihglblem5a.o 0 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dihglblem5apreN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)))
Distinct variable groups:   ∧ ,π‘ž   β„Ž,π‘ž, ≀   𝐴,β„Ž,π‘ž   𝐡,β„Ž,π‘ž   β„Ž,𝐻,π‘ž   𝐼,π‘ž   β„Ž,𝐾,π‘ž   𝑃,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š,π‘ž   𝑋,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘ž)   𝑅(β„Ž,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   𝐸(β„Ž,π‘ž)   𝐺(β„Ž,π‘ž)   𝐼(β„Ž)   ∨ (β„Ž,π‘ž)   ∧ (β„Ž)   𝑋(β„Ž)   0 (β„Ž,π‘ž)

Proof of Theorem dihglblem5apreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38538 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simprl 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 dihglblem5a.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 dihglblem5a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
64, 5lhpbase 39174 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
76ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
8 dihglblem5a.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dihglblem5a.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
104, 8, 9latmle1 18423 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ 𝑋)
112, 3, 7, 10syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ 𝑋)
12 simpl 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
134, 9latmcl 18399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
142, 3, 7, 13syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
15 dihglblem5a.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
164, 8, 5, 15dihord 40440 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹) ↔ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ 𝑋))
1712, 14, 3, 16syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹) ↔ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ 𝑋))
1811, 17mpbird 256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹))
194, 8, 9latmle2 18424 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
202, 3, 7, 19syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
214, 8, 5, 15dihord 40440 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Š) ↔ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š))
2212, 14, 7, 21syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Š) ↔ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š))
2320, 22mpbird 256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Š))
2418, 23ssind 4233 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)))
255, 15dihvalrel 40455 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘‹))
26 relin1 5813 . . . . 5 (Rel (πΌβ€˜π‘‹) β†’ Rel ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)))
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)))
2827adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ Rel ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)))
29 elin 3965 . . . 4 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)) ↔ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š)))
30 dihglblem5a.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
31 dihglblem5a.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
324, 8, 30, 9, 31, 5lhpmcvr2 39200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
33 dihglblem5a.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
34 dihglblem5a.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
35 dihglblem5a.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
36 dihglblem5a.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
37 dihglblem5a.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
38 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
39 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ∈ V
404, 8, 30, 9, 31, 5, 33, 34, 35, 36, 15, 37, 38, 39dihopelvalc 40425 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
426adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
434, 8latref 18400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ≀ π‘Š)
441, 6, 43syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ≀ π‘Š)
45 dihglblem5a.o . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
464, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 40414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Š ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 )))
4741, 42, 44, 46syl12anc 833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 )))
48473ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 )))
4940, 48anbi12d 629 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š)) ↔ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))))
50 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
52 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝑠 = 0 )
5352fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘ β€˜πΊ) = ( 0 β€˜πΊ))
54 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
558, 31, 5, 33lhpocnel2 39195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
57 simpl3l 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
588, 31, 5, 34, 37ltrniotacl 39755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5954, 56, 57, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6045, 4tendo02 39963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 ∈ 𝑇 β†’ ( 0 β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ ( 0 β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6253, 61eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘ β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6362cnveqd 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ β—‘(π‘ β€˜πΊ) = β—‘( I β†Ύ 𝐡))
64 cnvresid 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β—‘( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ 𝐡)
6563, 64eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ β—‘(π‘ β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6665coeq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ)) = (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
674, 5, 34ltrn1o 39300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓:𝐡–1-1-onto→𝐡)
6854, 51, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝑓:𝐡–1-1-onto→𝐡)
69 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝑓:𝐡⟢𝐡)
70 fcoi1 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐡⟢𝐡 β†’ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝑓)
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝑓)
7266, 71eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ)) = 𝑓)
7372fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) = (π‘…β€˜π‘“))
74 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)
7573, 74eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
768, 5, 34, 35trlle 39360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š)
7754, 51, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š)
78 simpl1l 1222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7978hllatd 38539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
804, 5, 34, 35trlcl 39340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
8154, 51, 80syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
82 simpl2l 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
83 simpl1r 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
8483, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
854, 8, 9latlem12 18425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ↔ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)))
8679, 81, 82, 84, 85syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ↔ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)))
8775, 77, 86mpbi2and 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))
8851, 87jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)))
8979, 82, 84, 13syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
9079, 82, 84, 19syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
914, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 40414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑠 = 0 )))
9254, 89, 90, 91syl12anc 833 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑠 = 0 )))
9388, 52, 92mpbir2and 709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)))
9493ex 411 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Š) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))))
9549, 94sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))))
96953expia 1119 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)))))
9796exp4c 431 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ ((π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)))))))
9897imp4a 421 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))))))
9998rexlimdv 3151 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)))))
10032, 99mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Š)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))))
10129, 100biimtrid 241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))))
10228, 101relssdv 5789 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)))
10324, 102eqssd 4000 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  Rel wrel 5682  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  β„©crio 7368  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  lecple 17210  occoc 17211  joincjn 18270  meetcmee 18271  Latclat 18390  Atomscatm 38438  HLchlt 38525  LHypclh 39160  LTrncltrn 39277  trLctrl 39334  TEndoctendo 39928  DIsoHcdih 40404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-proset 18254  df-poset 18272  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-subg 19041  df-cntz 19224  df-lsm 19547  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-drng 20504  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-lvec 20860  df-oposet 38351  df-ol 38353  df-oml 38354  df-covers 38441  df-ats 38442  df-atl 38473  df-cvlat 38497  df-hlat 38526  df-llines 38674  df-lplanes 38675  df-lvols 38676  df-lines 38677  df-psubsp 38679  df-pmap 38680  df-padd 38972  df-lhyp 39164  df-laut 39165  df-ldil 39280  df-ltrn 39281  df-trl 39335  df-tendo 39931  df-edring 39933  df-disoa 40205  df-dvech 40255  df-dib 40315  df-dic 40349  df-dih 40405
This theorem is referenced by:  dihglblem5aN  40468
  Copyright terms: Public domain W3C validator