Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37000 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) |
2 | 1 | ad2antrr 726 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat) |
3 | | simprl 771 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵) |
4 | | dihglblem5a.b |
. . . . . . 7
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
5 | | dihglblem5a.h |
. . . . . . 7
⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾) |
6 | 4, 5 | lhpbase 37635 |
. . . . . 6
⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵) |
7 | 6 | ad2antlr 727 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵) |
8 | | dihglblem5a.l |
. . . . . 6
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
9 | | dihglblem5a.m |
. . . . . 6
⊢ ∧ =
(meet‘𝐾) |
10 | 4, 8, 9 | latmle1 17802 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑋) |
11 | 2, 3, 7, 10 | syl3anc 1372 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑋) |
12 | | simpl 486 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
13 | 4, 9 | latmcl 17778 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) |
14 | 2, 3, 7, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) |
15 | | dihglblem5a.i |
. . . . . 6
⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) |
16 | 4, 8, 5, 15 | dihord 38901 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑋)) |
17 | 12, 14, 3, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑋)) |
18 | 11, 17 | mpbird 260 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ⊆ (𝐼‘𝑋)) |
19 | 4, 8, 9 | latmle2 17803 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊) |
20 | 2, 3, 7, 19 | syl3anc 1372 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊) |
21 | 4, 8, 5, 15 | dihord 38901 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ⊆ (𝐼‘𝑊) ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)) |
22 | 12, 14, 7, 21 | syl3anc 1372 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ⊆ (𝐼‘𝑊) ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)) |
23 | 20, 22 | mpbird 260 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ⊆ (𝐼‘𝑊)) |
24 | 18, 23 | ssind 4123 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ⊆ ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊))) |
25 | 5, 15 | dihvalrel 38916 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋)) |
26 | | relin1 5656 |
. . . . 5
⊢ (Rel
(𝐼‘𝑋) → Rel ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊))) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊))) |
28 | 27 | adantr 484 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → Rel ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊))) |
29 | | elin 3859 |
. . . 4
⊢
(〈𝑓, 𝑠〉 ∈ ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)) ↔ (〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊))) |
30 | | dihglblem5a.j |
. . . . . 6
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
31 | | dihglblem5a.a |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
32 | 4, 8, 30, 9, 31, 5 | lhpmcvr2 37661 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) |
33 | | dihglblem5a.p |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊) |
34 | | dihglblem5a.t |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) |
35 | | dihglblem5a.r |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊) |
36 | | dihglblem5a.e |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) |
37 | | dihglblem5a.g |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑞) |
38 | | vex 3402 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑓 ∈ V |
39 | | vex 3402 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑠 ∈ V |
40 | 4, 8, 30, 9, 31, 5, 33, 34, 35, 36, 15, 37, 38, 39 | dihopelvalc 38886 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋))) |
41 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
42 | 6 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐵) |
43 | 4, 8 | latref 17779 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊 ≤ 𝑊) |
44 | 1, 6, 43 | syl2an 599 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≤ 𝑊) |
45 | | dihglblem5a.o |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) |
46 | 4, 8, 5, 34, 35, 45, 15 | dihopelvalbN 38875 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ≤ 𝑊)) → (〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) |
47 | 41, 42, 44, 46 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) |
48 | 47 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) |
49 | 40, 48 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → ((〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊)) ↔ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))) |
50 | | simprll 779 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )) → 𝑓 ∈ 𝑇) |
51 | 50 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓 ∈ 𝑇) |
52 | | simprrr 782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑠 = 0 ) |
53 | 52 | fveq1d 6676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠‘𝐺) = ( 0 ‘𝐺)) |
54 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
55 | 8, 31, 5, 33 | lhpocnel2 37656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) |
56 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) |
57 | | simpl3l 1229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) |
58 | 8, 31, 5, 34, 37 | ltrniotacl 38216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇) |
59 | 54, 56, 57, 58 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐺 ∈ 𝑇) |
60 | 45, 4 | tendo02 38424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ( 0 ‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) |
61 | 59, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ( 0 ‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) |
62 | 53, 61 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) |
63 | 62 | cnveqd 5718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ◡(𝑠‘𝐺) = ◡( I ↾ 𝐵)) |
64 | | cnvresid 6418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ◡( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) |
65 | 63, 64 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ◡(𝑠‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) |
66 | 65 | coeq2d 5705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵))) |
67 | 4, 5, 34 | ltrn1o 37761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐵) |
68 | 54, 51, 67 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐵) |
69 | | f1of 6618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐵⟶𝐵) |
70 | | fcoi1 6552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓:𝐵⟶𝐵 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓) |
71 | 68, 69, 70 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓) |
72 | 66, 71 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺)) = 𝑓) |
73 | 72 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) = (𝑅‘𝑓)) |
74 | | simprlr 780 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) |
75 | 73, 74 | eqbrtrrd 5054 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋) |
76 | 8, 5, 34, 35 | trlle 37821 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) |
77 | 54, 51, 76 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) |
78 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ HL) |
79 | 78 | hllatd 37001 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ Lat) |
80 | 4, 5, 34, 35 | trlcl 37801 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵) |
81 | 54, 51, 80 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵) |
82 | | simpl2l 1227 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑋 ∈ 𝐵) |
83 | | simpl1r 1226 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊 ∈ 𝐻) |
84 | 83, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊 ∈ 𝐵) |
85 | 4, 8, 9 | latlem12 17804 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑊))) |
86 | 79, 81, 82, 84, 85 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑊))) |
87 | 75, 77, 86 | mpbi2and 712 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑊)) |
88 | 51, 87 | jca 515 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑊))) |
89 | 79, 82, 84, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) |
90 | 79, 82, 84, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊) |
91 | 4, 8, 5, 34, 35, 45, 15 | dihopelvalbN 38875 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)) → (〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ 𝑠 = 0 ))) |
92 | 54, 89, 90, 91 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ 𝑠 = 0 ))) |
93 | 88, 52, 92 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) |
94 | 93 | ex 416 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → ((((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)))) |
95 | 49, 94 | sylbid 243 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → ((〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊)) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)))) |
96 | 95 | 3expia 1122 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋) → ((〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊)) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))))) |
97 | 96 | exp4c 436 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 → ((𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 → ((〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊)) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))))))) |
98 | 97 | imp4a 426 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋) → ((〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊)) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)))))) |
99 | 98 | rexlimdv 3193 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋) → ((〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊)) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))))) |
100 | 32, 99 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘𝑊)) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)))) |
101 | 29, 100 | syl5bi 245 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (〈𝑓, 𝑠〉 ∈ ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)) → 〈𝑓, 𝑠〉 ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)))) |
102 | 28, 101 | relssdv 5632 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) |
103 | 24, 102 | eqssd 3894 |
1
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊))) |