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Theorem dihmeetlem1N 39799
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem5a.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglblem5a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem5a.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglblem5a.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihglblem5a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihglblem5a.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5a.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
dihglblem5a.o 0 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   ∧ ,π‘ž   β„Ž,π‘ž, ≀   𝐴,β„Ž,π‘ž   𝐡,β„Ž,π‘ž   β„Ž,𝐻,π‘ž   𝐼,π‘ž   β„Ž,𝐾,π‘ž   𝑃,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š,π‘ž   𝑋,π‘ž   π‘Œ,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘ž)   𝑅(β„Ž,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   𝐸(β„Ž,π‘ž)   𝐺(β„Ž,π‘ž)   𝐼(β„Ž)   ∨ (β„Ž,π‘ž)   ∧ (β„Ž)   𝑋(β„Ž)   π‘Œ(β„Ž)   0 (β„Ž,π‘ž)

Proof of Theorem dihmeetlem1N
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37872 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2l 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp3l 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 dihglblem5a.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 dihglblem5a.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 dihglblem5a.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
85, 6, 7latmle1 18358 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
92, 3, 4, 8syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
10 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
115, 7latmcl 18334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
122, 3, 4, 11syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
13 dihglblem5a.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
14 dihglblem5a.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
155, 6, 13, 14dihord 39773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋))
1610, 12, 3, 15syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋))
179, 16mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹))
185, 6, 7latmle2 18359 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
192, 3, 4, 18syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
205, 6, 13, 14dihord 39773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
2110, 12, 4, 20syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
2219, 21mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ))
2317, 22ssind 4193 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
2413, 14dihvalrel 39788 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘‹))
25 relin1 5769 . . . . 5 (Rel (πΌβ€˜π‘‹) β†’ Rel ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
27263ad2ant1 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ Rel ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
28 elin 3927 . . . 4 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)))
29 dihglblem5a.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
30 dihglblem5a.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
315, 6, 29, 7, 30, 13lhpmcvr2 38533 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
32313adant3 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
33 simpl1 1192 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
34 simpl2 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
35 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
36 simprrl 780 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
3735, 36jca 513 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
38 simprrr 781 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
39 dihglblem5a.p . . . . . . . . 9 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
40 dihglblem5a.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41 dihglblem5a.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
42 dihglblem5a.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
43 dihglblem5a.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
44 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
45 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
465, 6, 29, 7, 30, 13, 39, 40, 41, 42, 14, 43, 44, 45dihopelvalc 39758 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)))
4733, 34, 37, 38, 46syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)))
48 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) β†’ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)
4947, 48syl6bi 253 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) β†’ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋))
50 simpl3 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š))
51 dihglblem5a.o . . . . . . . . 9 0 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
525, 6, 13, 40, 41, 51, 14dihopelvalbN 39747 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 )))
5333, 50, 52syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 )))
5453biimpd 228 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 )))
55 simprll 778 . . . . . . . . . 10 (((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
56553ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
57 simp3rr 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝑠 = 0 )
5857fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘ β€˜πΊ) = ( 0 β€˜πΊ))
59 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
606, 30, 13, 39lhpocnel2 38528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
62 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
63 simp2rl 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
646, 30, 13, 40, 43ltrniotacl 39088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6559, 61, 62, 63, 64syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6651, 5tendo02 39296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 ∈ 𝑇 β†’ ( 0 β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ ( 0 β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6858, 67eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘ β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6968cnveqd 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ β—‘(π‘ β€˜πΊ) = β—‘( I β†Ύ 𝐡))
70 cnvresid 6581 . . . . . . . . . . . . . . 15 β—‘( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ 𝐡)
7169, 70eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ β—‘(π‘ β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
7271coeq2d 5819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ)) = (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
735, 13, 40ltrn1o 38633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓:𝐡–1-1-onto→𝐡)
7459, 56, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝑓:𝐡–1-1-onto→𝐡)
75 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝑓:𝐡⟢𝐡)
76 fcoi1 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐡⟢𝐡 β†’ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝑓)
7774, 75, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝑓)
7872, 77eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ)) = 𝑓)
7978fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) = (π‘…β€˜π‘“))
80 simp3l 1202 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)
8179, 80eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
82 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 (((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)
83823ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)
84 simp11l 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
8584hllatd 37872 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
865, 13, 40, 41trlcl 38673 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
8759, 56, 86syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
88 simp12l 1287 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
89 simp13l 1289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
905, 6, 7latlem12 18360 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ↔ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
9185, 87, 88, 89, 90syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ↔ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
9281, 83, 91mpbi2and 711 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
9356, 92jca 513 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
9485, 88, 89, 11syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
95 simp11r 1286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
965, 13lhpbase 38507 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
9885, 88, 89, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
99 simp13r 1290 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
1005, 6, 85, 94, 89, 97, 98, 99lattrd 18340 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)
1015, 6, 13, 40, 41, 51, 14dihopelvalbN 39747 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∧ 𝑠 = 0 )))
10259, 94, 100, 101syl12anc 836 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∧ 𝑠 = 0 )))
10393, 57, 102mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 ))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
1041033expia 1122 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ (((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΊ))) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
10549, 54, 104syl2and 609 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
10632, 105rexlimddv 3155 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
10728, 106biimtrid 241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
10827, 107relssdv 5745 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
10923, 108eqssd 3962 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  Rel wrel 5639  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  occoc 17146  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667  TEndoctendo 39261  DIsoHcdih 39737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668  df-tendo 39264  df-edring 39266  df-disoa 39538  df-dvech 39588  df-dib 39648  df-dic 39682  df-dih 39738
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  39812
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