Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp2l 1200 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β π β π΅) |
4 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β π β π΅) |
5 | | dihglblem5a.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | dihglblem5a.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | dihglblem5a.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
8 | 5, 6, 7 | latmle1 18358 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
9 | 2, 3, 4, 8 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β§ π) β€ π) |
10 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
11 | 5, 7 | latmcl 18334 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
12 | 2, 3, 4, 11 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β§ π) β π΅) |
13 | | dihglblem5a.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | dihglblem5a.i |
. . . . . 6
β’ πΌ = ((DIsoHβπΎ)βπ) |
15 | 5, 6, 13, 14 | dihord 39773 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ) β (π β§ π) β€ π)) |
16 | 10, 12, 3, 15 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ) β (π β§ π) β€ π)) |
17 | 9, 16 | mpbird 257 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ)) |
18 | 5, 6, 7 | latmle2 18359 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
19 | 2, 3, 4, 18 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (π β§ π) β€ π) |
20 | 5, 6, 13, 14 | dihord 39773 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ) β (π β§ π) β€ π)) |
21 | 10, 12, 4, 20 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ) β (π β§ π) β€ π)) |
22 | 19, 21 | mpbird 257 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ)) |
23 | 17, 22 | ssind 4193 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
24 | 13, 14 | dihvalrel 39788 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β Rel (πΌβπ)) |
25 | | relin1 5769 |
. . . . 5
β’ (Rel
(πΌβπ) β Rel ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β Rel ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
27 | 26 | 3ad2ant1 1134 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β Rel ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
28 | | elin 3927 |
. . . 4
β’
(β¨π, π β© β ((πΌβπ) β© (πΌβπ)) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ))) |
29 | | dihglblem5a.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
30 | | dihglblem5a.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
31 | 5, 6, 29, 7, 30, 13 | lhpmcvr2 38533 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
32 | 31 | 3adant3 1133 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
33 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
34 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) |
35 | | simprl 770 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β π β π΄) |
36 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β Β¬ π β€ π) |
37 | 35, 36 | jca 513 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
38 | | simprrr 781 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
39 | | dihglblem5a.p |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((ocβπΎ)βπ) |
40 | | dihglblem5a.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
41 | | dihglblem5a.r |
. . . . . . . . 9
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
42 | | dihglblem5a.e |
. . . . . . . . 9
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
43 | | dihglblem5a.g |
. . . . . . . . 9
β’ πΊ = (β©β β π (ββπ) = π) |
44 | | vex 3448 |
. . . . . . . . 9
β’ π β V |
45 | | vex 3448 |
. . . . . . . . 9
β’ π β V |
46 | 5, 6, 29, 7, 30, 13, 39, 40, 41, 42, 14, 43, 44, 45 | dihopelvalc 39758 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π))) |
47 | 33, 34, 37, 38, 46 | syl112anc 1375 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π))) |
48 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ (((π β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) β (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) |
49 | 47, 48 | syl6bi 253 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π)) |
50 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (π β π΅ β§ π β€ π)) |
51 | | dihglblem5a.o |
. . . . . . . . 9
β’ 0 = (β β π β¦ ( I βΎ π΅)) |
52 | 5, 6, 13, 40, 41, 51, 14 | dihopelvalbN 39747 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) |
53 | 33, 50, 52 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) |
54 | 53 | biimpd 228 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (β¨π, π β© β (πΌβπ) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) |
55 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 )) β π β π) |
56 | 55 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π) |
57 | | simp3rr 1248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π = 0 ) |
58 | 57 | fveq1d 6845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π βπΊ) = ( 0 βπΊ)) |
59 | | simp11 1204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
60 | 6, 30, 13, 39 | lhpocnel2 38528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
61 | 59, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
62 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π΄) |
63 | | simp2rl 1243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β Β¬ π β€ π) |
64 | 6, 30, 13, 40, 43 | ltrniotacl 39088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΊ β π) |
65 | 59, 61, 62, 63, 64 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β πΊ β π) |
66 | 51, 5 | tendo02 39296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (πΊ β π β ( 0 βπΊ) = ( I βΎ π΅)) |
67 | 65, 66 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β ( 0 βπΊ) = ( I βΎ π΅)) |
68 | 58, 67 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π βπΊ) = ( I βΎ π΅)) |
69 | 68 | cnveqd 5832 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β β‘(π βπΊ) = β‘( I βΎ π΅)) |
70 | | cnvresid 6581 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ β‘( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅) |
71 | 69, 70 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β β‘(π βπΊ) = ( I βΎ π΅)) |
72 | 71 | coeq2d 5819 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β β‘(π βπΊ)) = (π β ( I βΎ π΅))) |
73 | 5, 13, 40 | ltrn1o 38633 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
74 | 59, 56, 73 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
75 | | f1of 6785 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π:π΅β1-1-ontoβπ΅ β π:π΅βΆπ΅) |
76 | | fcoi1 6717 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π:π΅βΆπ΅ β (π β ( I βΎ π΅)) = π) |
77 | 74, 75, 76 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β ( I βΎ π΅)) = π) |
78 | 72, 77 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β β‘(π βπΊ)) = π) |
79 | 78 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
β(π β β‘(π βπΊ))) = (π
βπ)) |
80 | | simp3l 1202 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π) |
81 | 79, 80 | eqbrtrrd 5130 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
βπ) β€ π) |
82 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 )) β (π
βπ) β€ π) |
83 | 82 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
βπ) β€ π) |
84 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β πΎ β HL) |
85 | 84 | hllatd 37872 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β πΎ β Lat) |
86 | 5, 13, 40, 41 | trlcl 38673 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β (π
βπ) β π΅) |
87 | 59, 56, 86 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
βπ) β π΅) |
88 | | simp12l 1287 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π΅) |
89 | | simp13l 1289 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π΅) |
90 | 5, 6, 7 | latlem12 18360 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
βπ) β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (((π
βπ) β€ π β§ (π
βπ) β€ π) β (π
βπ) β€ (π β§ π))) |
91 | 85, 87, 88, 89, 90 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (((π
βπ) β€ π β§ (π
βπ) β€ π) β (π
βπ) β€ (π β§ π))) |
92 | 81, 83, 91 | mpbi2and 711 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π
βπ) β€ (π β§ π)) |
93 | 56, 92 | jca 513 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) |
94 | 85, 88, 89, 11 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β§ π) β π΅) |
95 | | simp11r 1286 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π») |
96 | 5, 13 | lhpbase 38507 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π» β π β π΅) |
97 | 95, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β π΅) |
98 | 85, 88, 89, 18 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β§ π) β€ π) |
99 | | simp13r 1290 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β π β€ π) |
100 | 5, 6, 85, 94, 89, 97, 98, 99 | lattrd 18340 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (π β§ π) β€ π) |
101 | 5, 6, 13, 40, 41, 51, 14 | dihopelvalbN 39747 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β§ π) β π΅ β§ (π β§ π) β€ π)) β (β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π)) β§ π = 0 ))) |
102 | 59, 94, 100, 101 | syl12anc 836 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β (β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π)) β§ π = 0 ))) |
103 | 93, 57, 102 | mpbir2and 712 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 ))) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π))) |
104 | 103 | 3expia 1122 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (((π
β(π β β‘(π βπΊ))) β€ π β§ ((π β π β§ (π
βπ) β€ π) β§ π = 0 )) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))) |
105 | 49, 54, 104 | syl2and 609 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))) |
106 | 32, 105 | rexlimddv 3155 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β ((β¨π, π β© β (πΌβπ) β§ β¨π, π β© β (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))) |
107 | 28, 106 | biimtrid 241 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (β¨π, π β© β ((πΌβπ) β© (πΌβπ)) β β¨π, π β© β (πΌβ(π β§ π)))) |
108 | 27, 107 | relssdv 5745 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β ((πΌβπ) β© (πΌβπ)) β (πΌβ(π β§ π))) |
109 | 23, 108 | eqssd 3962 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) = ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |