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Theorem dihmeetlem1N 37249
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.l = (le‘𝐾)
dihglblem5a.j = (join‘𝐾)
dihglblem5a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem5a.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
dihglblem5a.o 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   ,𝑞,   𝐴,,𝑞   𝐵,,𝑞   ,𝐻,𝑞   𝐼,𝑞   ,𝐾,𝑞   𝑃,   𝑇,   ,𝑊,𝑞   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐸(,𝑞)   𝐺(,𝑞)   𝐼()   (,𝑞)   ()   𝑋()   𝑌()   0 (,𝑞)

Proof of Theorem dihmeetlem1N
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1254 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 35323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2l 1256 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋𝐵)
4 simp3l 1258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌𝐵)
5 dihglblem5a.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 dihglblem5a.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
7 dihglblem5a.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
85, 6, 7latmle1 17345 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
92, 3, 4, 8syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
10 simp1 1166 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
115, 7latmcl 17321 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
122, 3, 4, 11syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
13 dihglblem5a.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 dihglblem5a.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
155, 6, 13, 14dihord 37223 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑋))
1610, 12, 3, 15syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑋))
179, 16mpbird 248 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑋))
185, 6, 7latmle2 17346 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
192, 3, 4, 18syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
205, 6, 13, 14dihord 37223 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
2110, 12, 4, 20syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
2219, 21mpbird 248 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑌))
2317, 22ssind 3998 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2413, 14dihvalrel 37238 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑋))
25 relin1 5406 . . . . 5 (Rel (𝐼𝑋) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
27263ad2ant1 1163 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
28 elin 3960 . . . 4 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)) ↔ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌)))
29 dihglblem5a.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
30 dihglblem5a.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
315, 6, 29, 7, 30, 13lhpmcvr2 35983 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
32313adant3 1162 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
33 simpl1 1242 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
34 simpl2 1244 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊))
35 simprl 787 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → 𝑞𝐴)
36 simprrl 799 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → ¬ 𝑞 𝑊)
3735, 36jca 507 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
38 simprrr 800 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
39 dihglblem5a.p . . . . . . . . 9 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
40 dihglblem5a.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41 dihglblem5a.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
42 dihglblem5a.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
43 dihglblem5a.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
44 vex 3353 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
45 vex 3353 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
465, 6, 29, 7, 30, 13, 39, 40, 41, 42, 14, 43, 44, 45dihopelvalc 37208 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)))
4733, 34, 37, 38, 46syl112anc 1493 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)))
48 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)
4947, 48syl6bi 244 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋))
50 simpl3 1246 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑌𝐵𝑌 𝑊))
51 dihglblem5a.o . . . . . . . . 9 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
525, 6, 13, 40, 41, 51, 14dihopelvalbN 37197 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
5333, 50, 52syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
5453biimpd 220 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌) → ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
55 simprll 797 . . . . . . . . . 10 (((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → 𝑓𝑇)
56553ad2ant3 1165 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓𝑇)
57 simp3rr 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑠 = 0 )
5857fveq1d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( 0𝐺))
59 simp11 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
606, 30, 13, 39lhpocnel2 35978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
62 simp2l 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑞𝐴)
63 simp2rl 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ¬ 𝑞 𝑊)
646, 30, 13, 40, 43ltrniotacl 36538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐺𝑇)
6559, 61, 62, 63, 64syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐺𝑇)
6651, 5tendo02 36746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝑇 → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6858, 67eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6968cnveqd 5468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
70 cnvresid 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
7169, 70syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
7271coeq2d 5455 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
735, 13, 40ltrn1o 36083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
7459, 56, 73syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
75 f1of 6322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵𝑓:𝐵𝐵)
76 fcoi1 6262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵𝐵 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7774, 75, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7872, 77eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = 𝑓)
7978fveq2d 6381 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) = (𝑅𝑓))
80 simp3l 1258 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)
8179, 80eqbrtrrd 4835 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑋)
82 simprlr 798 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → (𝑅𝑓) 𝑌)
83823ad2ant3 1165 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑌)
84 simp11l 1383 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ HL)
8584hllatd 35323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ Lat)
865, 13, 40, 41trlcl 36123 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
8759, 56, 86syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
88 simp12l 1385 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑋𝐵)
89 simp13l 1387 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑌𝐵)
905, 6, 7latlem12 17347 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)))
9185, 87, 88, 89, 90syl13anc 1491 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)))
9281, 83, 91mpbi2and 703 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌))
9356, 92jca 507 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)))
9485, 88, 89, 11syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
95 simp11r 1384 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐻)
965, 13lhpbase 35957 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐵)
9885, 88, 89, 18syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
99 simp13r 1388 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑌 𝑊)
1005, 6, 85, 94, 89, 97, 98, 99lattrd 17327 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑌) 𝑊)
1015, 6, 13, 40, 41, 51, 14dihopelvalbN 37197 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)) ∧ 𝑠 = 0 )))
10259, 94, 100, 101syl12anc 865 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)) ∧ 𝑠 = 0 )))
10393, 57, 102mpbir2and 704 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌)))
1041033expia 1150 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌))))
10549, 54, 104syl2and 601 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌))))
10632, 105rexlimddv 3182 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌))))
10728, 106syl5bi 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌))))
10827, 107relssdv 5383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 𝑌)))
10923, 108eqssd 3780 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  cin 3733  wss 3734  cop 4342   class class class wbr 4811  cmpt 4890   I cid 5186  ccnv 5278  cres 5281  ccom 5283  Rel wrel 5284  wf 6066  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070  crio 6804  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  lecple 16224  occoc 16225  joincjn 17213  meetcmee 17214  Latclat 17314  Atomscatm 35222  HLchlt 35309  LHypclh 35943  LTrncltrn 36060  trLctrl 36117  TEndoctendo 36711  DIsoHcdih 37187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-riotaBAD 34912
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-tpos 7557  df-undef 7604  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-0g 16371  df-proset 17197  df-poset 17215  df-plt 17227  df-lub 17243  df-glb 17244  df-join 17245  df-meet 17246  df-p0 17308  df-p1 17309  df-lat 17315  df-clat 17377  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-sbg 17697  df-subg 17858  df-cntz 18016  df-lsm 18318  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-oppr 18893  df-dvdsr 18911  df-unit 18912  df-invr 18942  df-dvr 18953  df-drng 19021  df-lmod 19137  df-lss 19205  df-lsp 19247  df-lvec 19378  df-oposet 35135  df-ol 35137  df-oml 35138  df-covers 35225  df-ats 35226  df-atl 35257  df-cvlat 35281  df-hlat 35310  df-llines 35457  df-lplanes 35458  df-lvols 35459  df-lines 35460  df-psubsp 35462  df-pmap 35463  df-padd 35755  df-lhyp 35947  df-laut 35948  df-ldil 36063  df-ltrn 36064  df-trl 36118  df-tendo 36714  df-edring 36716  df-disoa 36988  df-dvech 37038  df-dib 37098  df-dic 37132  df-dih 37188
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  37262
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