Theorem dihmeetlem1N 40465

Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem5a.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem5a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihglblem5a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem5a.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑞)
dihglblem5a.o	⊢ 0 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dihmeetlem1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑞   ℎ,𝑞, ≤   𝐴,ℎ,𝑞   𝐵,ℎ,𝑞   ℎ,𝐻,𝑞   𝐼,𝑞   ℎ,𝐾,𝑞   𝑃,ℎ   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊,𝑞   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(ℎ,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐸(ℎ,𝑞)   𝐺(ℎ,𝑞)   𝐼(ℎ)   ∨ (ℎ,𝑞)   ∧ (ℎ)   𝑋(ℎ)   𝑌(ℎ)   0 (ℎ,𝑞)

Proof of Theorem dihmeetlem1N

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 38538	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3l 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		dihglblem5a.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dihglblem5a.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		dihglblem5a.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8	5, 6, 7	latmle1 18422	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
10		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	5, 7	latmcl 18398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
12	2, 3, 4, 11	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
13		dihglblem5a.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14		dihglblem5a.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
15	5, 6, 13, 14	dihord 40439	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋))
16	10, 12, 3, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋))
17	9, 16	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ⊆ (𝐼‘𝑋))
18	5, 6, 7	latmle2 18423	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
19	2, 3, 4, 18	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
20	5, 6, 13, 14	dihord 40439	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌))
21	10, 12, 4, 20	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌))
22	19, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ⊆ (𝐼‘𝑌))
23	17, 22	ssind 4232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ⊆ ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
24	13, 14	dihvalrel 40454	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))
25		relin1 5812	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝐼‘𝑋) → Rel ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
27	26	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → Rel ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
28		elin 3964	. . . 4 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)) ↔ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑌)))
29		dihglblem5a.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
30		dihglblem5a.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31	5, 6, 29, 7, 30, 13	lhpmcvr2 39199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))
32	31	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))
33		simpl1 1190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
34		simpl2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊))
35		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
36		simprrl 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)
37	35, 36	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊))
38		simprrr 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)
39		dihglblem5a.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
40		dihglblem5a.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41		dihglblem5a.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
42		dihglblem5a.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
43		dihglblem5a.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑞)
44		vex 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
45		vex 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑠 ∈ V
46	5, 6, 29, 7, 30, 13, 39, 40, 41, 42, 14, 43, 44, 45	dihopelvalc 40424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋)))
47	33, 34, 37, 38, 46	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋)))
48		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋)
49	47, 48	syl6bi 253	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋))
50		simpl3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊))
51		dihglblem5a.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
52	5, 6, 13, 40, 41, 51, 14	dihopelvalbN 40413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑌) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
53	33, 50, 52	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑌) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
54	53	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑌) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
55		simprll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → 𝑓 ∈ 𝑇)
56	55	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
57		simp3rr 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑠 = 0 )
58	57	fveq1d 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠‘𝐺) = ( 0 ‘𝐺))
59		simp11 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
60	6, 30, 13, 39	lhpocnel2 39194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
62		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
63		simp2rl 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)
64	6, 30, 13, 40, 43	ltrniotacl 39754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
65	59, 61, 62, 63, 64	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
66	51, 5	tendo02 39962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ( 0 ‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ( 0 ‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
68	58, 67	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
69	68	cnveqd 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ◡(𝑠‘𝐺) = ◡( I ↾ 𝐵))
70		cnvresid 6627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ◡( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
71	69, 70	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ◡(𝑠‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
72	71	coeq2d 5862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
73	5, 13, 40	ltrn1o 39299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐵)
74	59, 56, 73	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐵)
75		f1of 6833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐵⟶𝐵)
76		fcoi1 6765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐵⟶𝐵 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
77	74, 75, 76	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
78	72, 77	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺)) = 𝑓)
79	78	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) = (𝑅‘𝑓))
80		simp3l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋)
81	79, 80	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)
82		simprlr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)
83	82	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)
84		simp11l 1283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ HL)
85	84	hllatd 38538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ Lat)
86	5, 13, 40, 41	trlcl 39339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
87	59, 56, 86	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
88		simp12l 1285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
89		simp13l 1287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
90	5, 6, 7	latlem12 18424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ↔ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
91	85, 87, 88, 89, 90	syl13anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ↔ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
92	81, 83, 91	mpbi2and 709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
93	56, 92	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
94	85, 88, 89, 11	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
95		simp11r 1284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
96	5, 13	lhpbase 39173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊 ∈ 𝐵)
98	85, 88, 89, 18	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
99		simp13r 1288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑌 ≤ 𝑊)
100	5, 6, 85, 94, 89, 97, 98, 99	lattrd 18404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)
101	5, 6, 13, 40, 41, 51, 14	dihopelvalbN 40413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ 𝑠 = 0 )))
102	59, 94, 100, 101	syl12anc 834	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ 𝑠 = 0 )))
103	93, 57, 102	mpbir2and 710	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
104	103	3expia 1120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (((𝑅‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘𝐺))) ≤ 𝑋 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
105	49, 54, 104	syl2and 607	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
106	32, 105	rexlimddv 3160	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
107	28, 106	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
108	27, 107	relssdv 5788	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
109	23, 108	eqssd 3999	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  Rel wrel 5681  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  ℩crio 7367  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  occoc 17210  joincjn 18269  meetcmee 18270  Latclat 18389  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  trLctrl 39333  TEndoctendo 39927  DIsoHcdih 40403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404

This theorem is referenced by:  dihmeetbN  40478