Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvnid 37787
Description: If a translation is different from the identity, so is its converse. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ltrncnvnid
StepHypRef Expression
1 simp3 1139 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2 ltrn1o.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 ltrn1o.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrn1o.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrn1o 37784 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
653adant3 1133 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
7 f1orel 6624 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → Rel 𝐹)
9 dfrel2 6022 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
108, 9sylib 221 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = 𝐹)
11 cnveq 5717 . . . . . 6 (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
1210, 11sylan9req 2795 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
13 cnvresid 6419 . . . . 5 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
1412, 13eqtrdi 2790 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
1514ex 416 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
1615necon3d 2956 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
171, 16mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935   I cid 5429  ccnv 5525  cres 5528  Rel wrel 5531  1-1-ontowf1o 6339  cfv 6340  Basecbs 16589  HLchlt 37010  LHypclh 37644  LTrncltrn 37761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-map 8442  df-laut 37649  df-ldil 37764  df-ltrn 37765
This theorem is referenced by:  cdlemh2  38476  cdlemh  38477  cdlemkfid1N  38581
  Copyright terms: Public domain W3C validator