Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvnid 38141
Description: If a translation is different from the identity, so is its converse. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ltrncnvnid
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2 ltrn1o.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 ltrn1o.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrn1o.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrn1o 38138 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
653adant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
7 f1orel 6719 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → Rel 𝐹)
9 dfrel2 6092 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
108, 9sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = 𝐹)
11 cnveq 5782 . . . . . 6 (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
1210, 11sylan9req 2799 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
13 cnvresid 6513 . . . . 5 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
1412, 13eqtrdi 2794 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
1514ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
1615necon3d 2964 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
171, 16mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   I cid 5488  ccnv 5588  cres 5591  Rel wrel 5594  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433  Basecbs 16912  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119
This theorem is referenced by:  cdlemh2  38830  cdlemh  38831  cdlemkfid1N  38935
  Copyright terms: Public domain W3C validator