Theorem ltrncnvnid 38068

Description: If a translation is different from the identity, so is its converse. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvnid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ltrncnvnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1136	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2		ltrn1o.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		ltrn1o.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrn1o 38065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
6	5	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
7		f1orel 6703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → Rel 𝐹)
9		dfrel2 6081	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	8, 9	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
11		cnveq 5771	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ◡◡𝐹 = ◡( I ↾ 𝐵))
12	10, 11	sylan9req 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ◡( I ↾ 𝐵))
13		cnvresid 6497	. . . . 5 ⊢ ◡( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
14	12, 13	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
15	14	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
16	15	necon3d 2963	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	1, 16	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   I cid 5479  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582  Rel wrel 5585  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046

This theorem is referenced by:  cdlemh2  38757  cdlemh  38758  cdlemkfid1N  38862