Theorem ltrncnvnid 40929

Description: If a translation is different from the identity, so is its converse. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvnid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ltrncnvnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1155	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2		ltrn1o.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		ltrn1o.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrn1o 40926	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
6	5	3adant3 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
7		f1orel 6823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → Rel 𝐹)
9		dfrel2 6186	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	8, 9	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
11		cnveq 5858	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ◡◡𝐹 = ◡( I ↾ 𝐵))
12	10, 11	sylan9req 2818	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ◡( I ↾ 𝐵))
13		cnvresid 6615	. . . . 5 ⊢ ◡( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
14	12, 13	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
15	14	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (◡𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
16	15	necon3d 2978	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17	1, 16	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   I cid 5554  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662  Rel wrel 5665  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907

This theorem is used by:  cdlemh2  41618  cdlemh  41619  cdlemkfid1N  41723