MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicref 18410
Description: Isomorphism is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gicref (𝑅 ∈ Grp → 𝑅𝑔 𝑅)

Proof of Theorem gicref
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21idghm 18372 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3 cnvresid 6432 . . . 4 ( I ↾ (Base‘𝑅)) = ( I ↾ (Base‘𝑅))
43, 2eqeltrid 2917 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
5 isgim2 18404 . . 3 (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅) ↔ (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅)))
62, 4, 5sylanbrc 585 . 2 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅))
7 brgici 18409 . 2 (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅) → 𝑅𝑔 𝑅)
86, 7syl 17 1 (𝑅 ∈ Grp → 𝑅𝑔 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110   class class class wbr 5065   I cid 5458  ccnv 5553  cres 5556  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  Grpcgrp 18102   GrpHom cghm 18354   GrpIso cgim 18396  𝑔 cgic 18397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-1o 8101  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-ghm 18355  df-gim 18398  df-gic 18399
This theorem is referenced by:  gicer  18415
  Copyright terms: Public domain W3C validator