MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicref 19303
Description: Isomorphism is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gicref (𝑅 ∈ Grp → 𝑅𝑔 𝑅)

Proof of Theorem gicref
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21idghm 19262 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3 cnvresid 6647 . . . 4 ( I ↾ (Base‘𝑅)) = ( I ↾ (Base‘𝑅))
43, 2eqeltrid 2843 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
5 isgim2 19296 . . 3 (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅) ↔ (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅)))
62, 4, 5sylanbrc 583 . 2 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅))
7 brgici 19302 . 2 (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅) → 𝑅𝑔 𝑅)
86, 7syl 17 1 (𝑅 ∈ Grp → 𝑅𝑔 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106   class class class wbr 5148   I cid 5582  ccnv 5688  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243   GrpIso cgim 19288  𝑔 cgic 19289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-map 8867  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-gic 19291
This theorem is referenced by:  gicer  19308
  Copyright terms: Public domain W3C validator