MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicref 19193
Description: Isomorphism is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gicref (𝑅 ∈ Grp → 𝑅𝑔 𝑅)

Proof of Theorem gicref
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21idghm 19152 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3 cnvresid 6618 . . . 4 ( I ↾ (Base‘𝑅)) = ( I ↾ (Base‘𝑅))
43, 2eqeltrid 2829 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
5 isgim2 19186 . . 3 (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅) ↔ (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅)))
62, 4, 5sylanbrc 582 . 2 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅))
7 brgici 19192 . 2 (( I ↾ (Base‘𝑅)) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑅) → 𝑅𝑔 𝑅)
86, 7syl 17 1 (𝑅 ∈ Grp → 𝑅𝑔 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098   class class class wbr 5139   I cid 5564  ccnv 5666  cres 5669  cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Grpcgrp 18859   GrpHom cghm 19134   GrpIso cgim 19178  𝑔 cgic 19179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-gic 19181
This theorem is referenced by:  gicer  19198
  Copyright terms: Public domain W3C validator