Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifiso 32903
Description: The defined bijection from the closed unit interval onto the extended nonnegative reals is an order isomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifiso 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem xrge0iifiso
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13403 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℝ*
2 xrltso 13116 . . 3 < Or ℝ*
3 soss 5607 . . 3 ((0[,]1) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]1)))
41, 2, 3mp2 9 . 2 < Or (0[,]1)
5 iccssxr 13403 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 cnvso 6284 . . . . 5 ( < Or ℝ* < Or ℝ*)
72, 6mpbi 229 . . . 4 < Or ℝ*
8 sopo 5606 . . . 4 ( < Or ℝ* < Po ℝ*)
97, 8ax-mp 5 . . 3 < Po ℝ*
10 poss 5589 . . 3 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Po ℝ* < Po (0[,]+∞)))
115, 9, 10mp2 9 . 2 < Po (0[,]+∞)
12 xrge0iifhmeo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
1312xrge0iifcnv 32901 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 = +∞, 0, (exp‘-𝑧))))
1413simpli 484 . . 3 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
15 f1ofo 6837 . . 3 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞))
1614, 15ax-mp 5 . 2 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞)
17 0xr 11257 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
18 1xr 11269 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
19 0le1 11733 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
20 snunioc 13453 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1))
2117, 18, 19, 20mp3an 1461 . . . . . . 7 ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1)
2221eleq2i 2825 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑤 ∈ (0[,]1))
23 elun 4147 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)))
2422, 23bitr3i 276 . . . . 5 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)))
25 velsn 4643 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {0} ↔ 𝑤 = 0)
26 elunitrn 13440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 0 < 𝑧)
29 elicc01 13439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
3029simp3bi 1147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ≤ 1)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ≤ 1)
32 1re 11210 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
33 elioc2 13383 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ 1)))
3417, 32, 33mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ 1))
3527, 28, 31, 34syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (0(,]1))
36 pnfxr 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
37 0le0 12309 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 0
38 ltpnf 13096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
3932, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < +∞
40 iocssioo 13412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞))
4117, 36, 37, 39, 40mp4an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞)
42 ioorp 13398 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
4341, 42sseqtri 4017 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]1) ⊆ ℝ+
4443sseli 3977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0(,]1) → 𝑧 ∈ ℝ+)
45 relogcl 26075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+ → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
4645renegcld 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → -(log‘𝑧) ∈ ℝ)
47 ltpnf 13096 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(log‘𝑧) ∈ ℝ → -(log‘𝑧) < +∞)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ → -(log‘𝑧) < +∞)
49 brcnvg 5877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -(log‘𝑧) ∈ ℝ) → (+∞ < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < +∞))
5036, 46, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ → (+∞ < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < +∞))
5148, 50mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ+ → +∞ < -(log‘𝑧))
5244, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) → +∞ < -(log‘𝑧))
5312xrge0iifcv 32902 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑧) = -(log‘𝑧))
5452, 53breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,]1) → +∞ < (𝐹𝑧))
5535, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → +∞ < (𝐹𝑧))
5655ex 413 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝑧 → +∞ < (𝐹𝑧)))
57 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 0 → (𝑤 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
58 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 0 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘0))
59 0elunit 13442 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
60 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = +∞)
61 pnfex 11263 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ V
6260, 12, 61fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = +∞)
6359, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘0) = +∞
6458, 63eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 0 → (𝐹𝑤) = +∞)
6564breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 0 → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑧) ↔ +∞ < (𝐹𝑧)))
6657, 65imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑤 = 0 → ((𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)) ↔ (0 < 𝑧 → +∞ < (𝐹𝑧))))
6756, 66imbitrrid 245 . . . . . . 7 (𝑤 = 0 → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
6825, 67sylbi 216 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {0} → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
69 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ (0(,]1))
7026ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
71 0re 11212 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 ∈ ℝ)
7343sseli 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7473rpred 13012 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 𝑤 ∈ ℝ)
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
76 elioc2 13383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤𝑤 ≤ 1)))
7717, 32, 76mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤𝑤 ≤ 1))
7877simp2bi 1146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑤)
7978ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 < 𝑤)
80 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
8172, 75, 70, 79, 80lttrd 11371 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 < 𝑧)
8230ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ≤ 1)
8370, 81, 82, 34syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (0(,]1))
8469, 83jca 512 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → (𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)))
8573adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
8685relogcld 26122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
8744adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
8887relogcld 26122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
8986, 88ltnegd 11788 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → ((log‘𝑤) < (log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤)))
90 logltb 26099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 < 𝑧 ↔ (log‘𝑤) < (log‘𝑧)))
9173, 44, 90syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 ↔ (log‘𝑤) < (log‘𝑧)))
92 negex 11454 . . . . . . . . . . . . 13 -(log‘𝑤) ∈ V
93 negex 11454 . . . . . . . . . . . . 13 -(log‘𝑧) ∈ V
9492, 93brcnv 5880 . . . . . . . . . . . 12 (-(log‘𝑤) < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (-(log‘𝑤) < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤)))
9689, 91, 953bitr4d 310 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 ↔ -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
9796biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
9812xrge0iifcv 32902 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑤) = -(log‘𝑤))
9998, 53breqan12d 5163 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑧) ↔ -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
10097, 99sylibrd 258 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))
10184, 80, 100sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))
102101exp31 420 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0(,]1) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
10368, 102jaoi 855 . . . . 5 ((𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
10424, 103sylbi 216 . . . 4 (𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
105104imp 407 . . 3 ((𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))
106105rgen2 3197 . 2 𝑤 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))
107 soisoi 7321 . 2 ((( < Or (0[,]1) ∧ < Po (0[,]+∞)) ∧ (𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞) ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))) → 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1084, 11, 16, 106, 107mp4an 691 1 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  cun 3945  wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Po wpo 5585   Or wor 5586  ccnv 5674  ontowfo 6538  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540   Isom wiso 6541  (class class class)co 7405  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  -cneg 11441  +crp 12970  (,)cioo 13320  (,]cioc 13321  [,]cicc 13323  expce 16001  logclog 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  32904
  Copyright terms: Public domain W3C validator