Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifiso 31067
Description: The defined bijection from the closed unit interval onto the extended nonnegative reals is an order isomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifiso 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem xrge0iifiso
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12809 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℝ*
2 xrltso 12524 . . 3 < Or ℝ*
3 soss 5492 . . 3 ((0[,]1) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]1)))
41, 2, 3mp2 9 . 2 < Or (0[,]1)
5 iccssxr 12809 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 cnvso 6137 . . . . 5 ( < Or ℝ* < Or ℝ*)
72, 6mpbi 231 . . . 4 < Or ℝ*
8 sopo 5491 . . . 4 ( < Or ℝ* < Po ℝ*)
97, 8ax-mp 5 . . 3 < Po ℝ*
10 poss 5475 . . 3 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Po ℝ* < Po (0[,]+∞)))
115, 9, 10mp2 9 . 2 < Po (0[,]+∞)
12 xrge0iifhmeo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
1312xrge0iifcnv 31065 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 = +∞, 0, (exp‘-𝑧))))
1413simpli 484 . . 3 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
15 f1ofo 6619 . . 3 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞))
1614, 15ax-mp 5 . 2 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞)
17 0xr 10677 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
18 1xr 10689 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
19 0le1 11152 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
20 snunioc 12856 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1))
2117, 18, 19, 20mp3an 1454 . . . . . . 7 ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1)
2221eleq2i 2909 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑤 ∈ (0[,]1))
23 elun 4129 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)))
2422, 23bitr3i 278 . . . . 5 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)))
25 velsn 4580 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {0} ↔ 𝑤 = 0)
26 elunitrn 31029 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 0 < 𝑧)
29 elicc01 12844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
3029simp3bi 1141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ≤ 1)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ≤ 1)
32 1re 10630 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
33 elioc2 12789 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ 1)))
3417, 32, 33mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ 1))
3527, 28, 31, 34syl3anbrc 1337 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (0(,]1))
36 pnfxr 10684 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
37 0le0 11727 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 0
38 ltpnf 12505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
3932, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < +∞
40 iocssioo 12817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞))
4117, 36, 37, 39, 40mp4an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞)
42 ioorp 12804 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
4341, 42sseqtri 4007 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]1) ⊆ ℝ+
4443sseli 3967 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0(,]1) → 𝑧 ∈ ℝ+)
45 relogcl 25075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+ → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
4645renegcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → -(log‘𝑧) ∈ ℝ)
47 ltpnf 12505 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(log‘𝑧) ∈ ℝ → -(log‘𝑧) < +∞)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ → -(log‘𝑧) < +∞)
49 brcnvg 5749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -(log‘𝑧) ∈ ℝ) → (+∞ < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < +∞))
5036, 46, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ → (+∞ < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < +∞))
5148, 50mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ+ → +∞ < -(log‘𝑧))
5244, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) → +∞ < -(log‘𝑧))
5312xrge0iifcv 31066 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑧) = -(log‘𝑧))
5452, 53breqtrrd 5091 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,]1) → +∞ < (𝐹𝑧))
5535, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → +∞ < (𝐹𝑧))
5655ex 413 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝑧 → +∞ < (𝐹𝑧)))
57 breq1 5066 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 0 → (𝑤 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
58 fveq2 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 0 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘0))
59 0elunit 12845 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
60 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = +∞)
61 pnfex 10683 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ V
6260, 12, 61fvmpt 6765 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = +∞)
6359, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘0) = +∞
6458, 63syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 0 → (𝐹𝑤) = +∞)
6564breq1d 5073 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 0 → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑧) ↔ +∞ < (𝐹𝑧)))
6657, 65imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑤 = 0 → ((𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)) ↔ (0 < 𝑧 → +∞ < (𝐹𝑧))))
6756, 66syl5ibr 247 . . . . . . 7 (𝑤 = 0 → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
6825, 67sylbi 218 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {0} → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
69 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ (0(,]1))
7026ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
71 0re 10632 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 ∈ ℝ)
7343sseli 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7473rpred 12421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 𝑤 ∈ ℝ)
7574ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
76 elioc2 12789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤𝑤 ≤ 1)))
7717, 32, 76mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤𝑤 ≤ 1))
7877simp2bi 1140 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑤)
7978ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 < 𝑤)
80 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
8172, 75, 70, 79, 80lttrd 10790 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 < 𝑧)
8230ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ≤ 1)
8370, 81, 82, 34syl3anbrc 1337 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (0(,]1))
8469, 83jca 512 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → (𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)))
8573adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
8685relogcld 25122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
8744adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
8887relogcld 25122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
8986, 88ltnegd 11207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → ((log‘𝑤) < (log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤)))
90 logltb 25099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 < 𝑧 ↔ (log‘𝑤) < (log‘𝑧)))
9173, 44, 90syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 ↔ (log‘𝑤) < (log‘𝑧)))
92 negex 10873 . . . . . . . . . . . . 13 -(log‘𝑤) ∈ V
93 negex 10873 . . . . . . . . . . . . 13 -(log‘𝑧) ∈ V
9492, 93brcnv 5752 . . . . . . . . . . . 12 (-(log‘𝑤) < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (-(log‘𝑤) < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤)))
9689, 91, 953bitr4d 312 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 ↔ -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
9796biimpd 230 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
9812xrge0iifcv 31066 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑤) = -(log‘𝑤))
9998, 53breqan12d 5079 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑧) ↔ -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
10097, 99sylibrd 260 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))
10184, 80, 100sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))
102101exp31 420 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0(,]1) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
10368, 102jaoi 853 . . . . 5 ((𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
10424, 103sylbi 218 . . . 4 (𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
105104imp 407 . . 3 ((𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))
106105rgen2a 3234 . 2 𝑤 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))
107 soisoi 7073 . 2 ((( < Or (0[,]1) ∧ < Po (0[,]+∞)) ∧ (𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞) ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))) → 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1084, 11, 16, 106, 107mp4an 689 1 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  cun 3938  wss 3940  ifcif 4470  {csn 4564   class class class wbr 5063  cmpt 5143   Po wpo 5471   Or wor 5472  ccnv 5553  ontowfo 6350  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352   Isom wiso 6353  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  -cneg 10860  +crp 12379  (,)cioo 12728  (,]cioc 12729  [,]cicc 12731  expce 15405  logclog 25054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-lp 21663  df-perf 21664  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-fil 22373  df-fm 22465  df-flim 22466  df-flf 22467  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-cncf 23404  df-limc 24382  df-dv 24383  df-log 25056
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  31068
  Copyright terms: Public domain W3C validator