Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifiso 30312
Description: The defined bijection from the closed unit interval onto the extended nonnegative reals is an order isomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifiso 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem xrge0iifiso
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12477 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℝ*
2 xrltso 12193 . . 3 < Or ℝ*
3 soss 5257 . . 3 ((0[,]1) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]1)))
41, 2, 3mp2 9 . 2 < Or (0[,]1)
5 iccssxr 12477 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 cnvso 5895 . . . . 5 ( < Or ℝ* < Or ℝ*)
72, 6mpbi 221 . . . 4 < Or ℝ*
8 sopo 5256 . . . 4 ( < Or ℝ* < Po ℝ*)
97, 8ax-mp 5 . . 3 < Po ℝ*
10 poss 5241 . . 3 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Po ℝ* < Po (0[,]+∞)))
115, 9, 10mp2 9 . 2 < Po (0[,]+∞)
12 xrge0iifhmeo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
1312xrge0iifcnv 30310 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 = +∞, 0, (exp‘-𝑧))))
1413simpli 472 . . 3 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
15 f1ofo 6363 . . 3 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞))
1614, 15ax-mp 5 . 2 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞)
17 0xr 10374 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
18 1re 10328 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
1918rexri 10385 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
20 0le1 10839 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
21 snunioc 12526 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1))
2217, 19, 20, 21mp3an 1578 . . . . . . 7 ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1)
2322eleq2i 2884 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑤 ∈ (0[,]1))
24 elun 3959 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)))
2523, 24bitr3i 268 . . . . 5 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)))
26 velsn 4393 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {0} ↔ 𝑤 = 0)
27 elunitrn 30274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
2827adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 0 < 𝑧)
30 elicc01 12513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
3130simp3bi 1170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ≤ 1)
3231adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ≤ 1)
33 elioc2 12457 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ 1)))
3417, 18, 33mp2an 675 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ 1))
3528, 29, 32, 34syl3anbrc 1436 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (0(,]1))
36 pnfxr 10380 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
37 0le0 11396 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 0
38 ltpnf 12173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
3918, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < +∞
40 iocssioo 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞))
4117, 36, 37, 39, 40mp4an 676 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞)
42 ioorp 12472 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
4341, 42sseqtri 3841 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]1) ⊆ ℝ+
4443sseli 3801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0(,]1) → 𝑧 ∈ ℝ+)
45 relogcl 24542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+ → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
4645renegcld 10745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → -(log‘𝑧) ∈ ℝ)
47 ltpnf 12173 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(log‘𝑧) ∈ ℝ → -(log‘𝑧) < +∞)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ → -(log‘𝑧) < +∞)
49 brcnvg 5511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -(log‘𝑧) ∈ ℝ) → (+∞ < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < +∞))
5036, 46, 49sylancr 577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ → (+∞ < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < +∞))
5148, 50mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ+ → +∞ < -(log‘𝑧))
5244, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) → +∞ < -(log‘𝑧))
5312xrge0iifcv 30311 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑧) = -(log‘𝑧))
5452, 53breqtrrd 4879 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,]1) → +∞ < (𝐹𝑧))
5535, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → +∞ < (𝐹𝑧))
5655ex 399 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝑧 → +∞ < (𝐹𝑧)))
57 breq1 4854 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 0 → (𝑤 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
58 fveq2 6411 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 0 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘0))
59 0elunit 12514 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
60 iftrue 4292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = +∞)
61 pnfex 10381 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ V
6260, 12, 61fvmpt 6506 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = +∞)
6359, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘0) = +∞
6458, 63syl6eq 2863 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 0 → (𝐹𝑤) = +∞)
6564breq1d 4861 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 0 → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑧) ↔ +∞ < (𝐹𝑧)))
6657, 65imbi12d 335 . . . . . . . 8 (𝑤 = 0 → ((𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)) ↔ (0 < 𝑧 → +∞ < (𝐹𝑧))))
6756, 66syl5ibr 237 . . . . . . 7 (𝑤 = 0 → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
6826, 67sylbi 208 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {0} → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
69 simpll 774 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ (0(,]1))
7027ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
71 0re 10330 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 ∈ ℝ)
7343sseli 3801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7473rpred 12089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 𝑤 ∈ ℝ)
7574ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
76 elioc2 12457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤𝑤 ≤ 1)))
7717, 18, 76mp2an 675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤𝑤 ≤ 1))
7877simp2bi 1169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑤)
7978ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 < 𝑤)
80 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
8172, 75, 70, 79, 80lttrd 10486 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 < 𝑧)
8231ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ≤ 1)
8370, 81, 82, 34syl3anbrc 1436 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (0(,]1))
8469, 83jca 503 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → (𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)))
8573adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
8685relogcld 24589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
8744adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
8887relogcld 24589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
8986, 88ltnegd 10893 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → ((log‘𝑤) < (log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤)))
90 logltb 24566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 < 𝑧 ↔ (log‘𝑤) < (log‘𝑧)))
9173, 44, 90syl2an 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 ↔ (log‘𝑤) < (log‘𝑧)))
92 negex 10567 . . . . . . . . . . . . 13 -(log‘𝑤) ∈ V
93 negex 10567 . . . . . . . . . . . . 13 -(log‘𝑧) ∈ V
9492, 93brcnv 5513 . . . . . . . . . . . 12 (-(log‘𝑤) < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (-(log‘𝑤) < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤)))
9689, 91, 953bitr4d 302 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 ↔ -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
9796biimpd 220 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
9812xrge0iifcv 30311 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑤) = -(log‘𝑤))
9998, 53breqan12d 4867 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑧) ↔ -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
10097, 99sylibrd 250 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))
10184, 80, 100sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))
102101exp31 408 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0(,]1) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
10368, 102jaoi 875 . . . . 5 ((𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
10425, 103sylbi 208 . . . 4 (𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
105104imp 395 . . 3 ((𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))
106105rgen2a 3172 . 2 𝑤 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))
107 soisoi 6805 . 2 ((( < Or (0[,]1) ∧ < Po (0[,]+∞)) ∧ (𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞) ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))) → 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1084, 11, 16, 106, 107mp4an 676 1 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3103  cun 3774  wss 3776  ifcif 4286  {csn 4377   class class class wbr 4851  cmpt 4930   Po wpo 5237   Or wor 5238  ccnv 5317  ontowfo 6102  1-1-ontowf1o 6103  cfv 6104   Isom wiso 6105  (class class class)co 6877  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225  +∞cpnf 10359  *cxr 10361   < clt 10362  cle 10363  -cneg 10555  +crp 12049  (,)cioo 12396  (,]cioc 12397  [,]cicc 12399  expce 15015  logclog 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-mod 12896  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-bc 13313  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-ef 15021  df-sin 15023  df-cos 15024  df-pi 15026  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-lp 21158  df-perf 21159  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-haus 21337  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-cncf 22898  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24523
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  30313
  Copyright terms: Public domain W3C validator