Theorem oemapso 9696

Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 9567). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}

Assertion

Ref	Expression
oemapso	⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2		eloni 6362	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordwe 6365	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4		weso 5645	. . . . 5 ⊢ ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐵)
6		cnvso 6277	. . . 4 ⊢ ( E Or 𝐵 ↔ ◡ E Or 𝐵)
7	5, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡ E Or 𝐵)
8		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9		eloni 6362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10		ordwe 6365	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11		weso 5645	. . . 4 ⊢ ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐴)
13		oemapval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
14		fvex 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
15	14	epeli 5555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧))
16		vex 3463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
17		vex 3463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
18	16, 17	brcnv 5862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 E 𝑤)
19		epel 5556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
20	18, 19	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
21	20	imbi1i 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
22	21	ralbii 3082	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
23	15, 22	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
24	23	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
25	24	opabbii 5186	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
26	13, 25	eqtr4i 2761	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
27		breq1 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
28	27	cbvrabv 3426	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
29	26, 28	wemapso2 9567	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ◡ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
30	1, 7, 12, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31		cantnfs.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
33	32, 8, 1	cantnfdm 9678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
34	31, 33	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35		soeq2 5583	. . 3 ⊢ (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
37	30, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  {copab 5181   E cep 5552   Or wor 5560   We wwe 5605  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  Ord word 6351  Oncon0 6352  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840   finSupp cfsupp 9373   CNF ccnf 9675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-seqom 8462  df-1o 8480  df-map 8842  df-en 8960  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-cnf 9676

This theorem is referenced by:  cantnf  9707