MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapso 9720
Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 9591). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
Assertion
Ref Expression
oemapso (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
2 eloni 6396 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3 ordwe 6399 . . . . 5 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4 weso 5680 . . . . 5 ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
51, 2, 3, 44syl 19 . . . 4 (𝜑 → E Or 𝐵)
6 cnvso 6310 . . . 4 ( E Or 𝐵 E Or 𝐵)
75, 6sylib 218 . . 3 (𝜑 E Or 𝐵)
8 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 eloni 6396 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10 ordwe 6399 . . . 4 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11 weso 5680 . . . 4 ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝜑 → E Or 𝐴)
13 oemapval.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
14 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑧) ∈ V
1514epeli 5591 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧))
16 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 ∈ V
17 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
1816, 17brcnv 5896 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 E 𝑧𝑧 E 𝑤)
19 epel 5592 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑤𝑧𝑤)
2018, 19bitri 275 . . . . . . . . . 10 (𝑤 E 𝑧𝑧𝑤)
2120imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2221ralbii 3091 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2315, 22anbi12i 628 . . . . . . 7 (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2423rexbii 3092 . . . . . 6 (∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2524opabbii 5215 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2613, 25eqtr4i 2766 . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
27 breq1 5151 . . . . 5 (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
2827cbvrabv 3444 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
2926, 28wemapso2 9591 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
301, 7, 12, 29syl3anc 1370 . 2 (𝜑𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32 eqid 2735 . . . . 5 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3332, 8, 1cantnfdm 9702 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
3431, 33eqtrid 2787 . . 3 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35 soeq2 5619 . . 3 (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3730, 36mpbird 257 1 (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  c0 4339   class class class wbr 5148  {copab 5210   E cep 5588   Or wor 5596   We wwe 5640  ccnv 5688  dom cdm 5689  Ord word 6385  Oncon0 6386  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399   CNF ccnf 9699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-map 8867  df-en 8985  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-cnf 9700
This theorem is referenced by:  cantnf  9731
  Copyright terms: Public domain W3C validator