Theorem oemapso 9751

Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 9622). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}

Assertion

Ref	Expression
oemapso	⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2		eloni 6405	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordwe 6408	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4		weso 5691	. . . . 5 ⊢ ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐵)
6		cnvso 6319	. . . 4 ⊢ ( E Or 𝐵 ↔ ◡ E Or 𝐵)
7	5, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡ E Or 𝐵)
8		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9		eloni 6405	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10		ordwe 6408	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11		weso 5691	. . . 4 ⊢ ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐴)
13		oemapval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
14		fvex 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
15	14	epeli 5601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧))
16		vex 3492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
17		vex 3492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
18	16, 17	brcnv 5907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 E 𝑤)
19		epel 5602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
20	18, 19	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
21	20	imbi1i 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
22	21	ralbii 3099	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
23	15, 22	anbi12i 627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
24	23	rexbii 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
25	24	opabbii 5233	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
26	13, 25	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
27		breq1 5169	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
28	27	cbvrabv 3454	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
29	26, 28	wemapso2 9622	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ◡ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
30	1, 7, 12, 29	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31		cantnfs.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
33	32, 8, 1	cantnfdm 9733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
34	31, 33	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35		soeq2 5630	. . 3 ⊢ (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
37	30, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  {copab 5228   E cep 5598   Or wor 5606   We wwe 5651  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  Ord word 6394  Oncon0 6395  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884   finSupp cfsupp 9431   CNF ccnf 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-seqom 8504  df-1o 8522  df-map 8886  df-en 9004  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-cnf 9731

This theorem is referenced by:  cantnf  9762