MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapso 9480
Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 9352). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
Assertion
Ref Expression
oemapso (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
2 eloni 6287 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3 ordwe 6290 . . . . 5 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4 weso 5587 . . . . 5 ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
51, 2, 3, 44syl 19 . . . 4 (𝜑 → E Or 𝐵)
6 cnvso 6202 . . . 4 ( E Or 𝐵 E Or 𝐵)
75, 6sylib 217 . . 3 (𝜑 E Or 𝐵)
8 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 eloni 6287 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10 ordwe 6290 . . . 4 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11 weso 5587 . . . 4 ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝜑 → E Or 𝐴)
13 oemapval.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
14 fvex 6813 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑧) ∈ V
1514epeli 5504 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧))
16 vex 3441 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 ∈ V
17 vex 3441 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
1816, 17brcnv 5800 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 E 𝑧𝑧 E 𝑤)
19 epel 5505 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑤𝑧𝑤)
2018, 19bitri 276 . . . . . . . . . 10 (𝑤 E 𝑧𝑧𝑤)
2120imbi1i 351 . . . . . . . . 9 ((𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2221ralbii 3093 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2315, 22anbi12i 628 . . . . . . 7 (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2423rexbii 3094 . . . . . 6 (∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2524opabbii 5148 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2613, 25eqtr4i 2767 . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
27 breq1 5084 . . . . 5 (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
2827cbvrabv 3433 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
2926, 28wemapso2 9352 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
301, 7, 12, 29syl3anc 1371 . 2 (𝜑𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32 eqid 2736 . . . . 5 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3332, 8, 1cantnfdm 9462 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
3431, 33eqtrid 2788 . . 3 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35 soeq2 5532 . . 3 (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3730, 36mpbird 258 1 (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3062  wrex 3071  {crab 3284  c0 4262   class class class wbr 5081  {copab 5143   E cep 5501   Or wor 5509   We wwe 5550  ccnv 5595  dom cdm 5596  Ord word 6276  Oncon0 6277  cfv 6454  (class class class)co 7303  m cmap 8642   finSupp cfsupp 9168   CNF ccnf 9459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-seqom 8306  df-1o 8324  df-map 8644  df-en 8761  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-cnf 9460
This theorem is referenced by:  cantnf  9491
  Copyright terms: Public domain W3C validator