Theorem oemapso 9592

Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 9457). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}

Assertion

Ref	Expression
oemapso	⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2		eloni 6322	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordwe 6325	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4		weso 5611	. . . . 5 ⊢ ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐵)
6		cnvso 6241	. . . 4 ⊢ ( E Or 𝐵 ↔ ◡ E Or 𝐵)
7	5, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡ E Or 𝐵)
8		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9		eloni 6322	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10		ordwe 6325	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11		weso 5611	. . . 4 ⊢ ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐴)
13		oemapval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
14		fvex 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
15	14	epeli 5522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧))
16		vex 3431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
17		vex 3431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
18	16, 17	brcnv 5826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 E 𝑤)
19		epel 5523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
20	18, 19	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
21	20	imbi1i 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
22	21	ralbii 3081	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
23	15, 22	anbi12i 629	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
24	23	rexbii 3082	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
25	24	opabbii 5141	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
26	13, 25	eqtr4i 2761	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
27		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
28	27	cbvrabv 3397	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
29	26, 28	wemapso2 9457	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ◡ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
30	1, 7, 12, 29	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31		cantnfs.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
33	32, 8, 1	cantnfdm 9574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
34	31, 33	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35		soeq2 5550	. . 3 ⊢ (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
37	30, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  ∃wrex 3059  {crab 3387  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  {copab 5136   E cep 5519   Or wor 5527   We wwe 5572  ^◡ccnv 5619  dom cdm 5620  Ord word 6311  Oncon0 6312  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8762   finSupp cfsupp 9263   CNF ccnf 9571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-seqom 8376  df-1o 8394  df-map 8764  df-en 8883  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-cnf 9572

This theorem is referenced by:  cantnf  9603