MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapso 9722
Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 9593). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
Assertion
Ref Expression
oemapso (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
2 eloni 6394 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3 ordwe 6397 . . . . 5 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4 weso 5676 . . . . 5 ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
51, 2, 3, 44syl 19 . . . 4 (𝜑 → E Or 𝐵)
6 cnvso 6308 . . . 4 ( E Or 𝐵 E Or 𝐵)
75, 6sylib 218 . . 3 (𝜑 E Or 𝐵)
8 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 eloni 6394 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10 ordwe 6397 . . . 4 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11 weso 5676 . . . 4 ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝜑 → E Or 𝐴)
13 oemapval.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
14 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑧) ∈ V
1514epeli 5586 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧))
16 vex 3484 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 ∈ V
17 vex 3484 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
1816, 17brcnv 5893 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 E 𝑧𝑧 E 𝑤)
19 epel 5587 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑤𝑧𝑤)
2018, 19bitri 275 . . . . . . . . . 10 (𝑤 E 𝑧𝑧𝑤)
2120imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2221ralbii 3093 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2315, 22anbi12i 628 . . . . . . 7 (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2423rexbii 3094 . . . . . 6 (∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2524opabbii 5210 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2613, 25eqtr4i 2768 . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
27 breq1 5146 . . . . 5 (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
2827cbvrabv 3447 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
2926, 28wemapso2 9593 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
301, 7, 12, 29syl3anc 1373 . 2 (𝜑𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32 eqid 2737 . . . . 5 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3332, 8, 1cantnfdm 9704 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
3431, 33eqtrid 2789 . . 3 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35 soeq2 5614 . . 3 (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3730, 36mpbird 257 1 (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  c0 4333   class class class wbr 5143  {copab 5205   E cep 5583   Or wor 5591   We wwe 5636  ccnv 5684  dom cdm 5685  Ord word 6383  Oncon0 6384  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866   finSupp cfsupp 9401   CNF ccnf 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-map 8868  df-en 8986  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-cnf 9702
This theorem is referenced by:  cantnf  9733
  Copyright terms: Public domain W3C validator