Theorem oemapso 9598

Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 9462). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}

Assertion

Ref	Expression
oemapso	⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2		eloni 6323	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordwe 6326	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4		weso 5611	. . . . 5 ⊢ ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐵)
6		cnvso 6242	. . . 4 ⊢ ( E Or 𝐵 ↔ ◡ E Or 𝐵)
7	5, 6	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡ E Or 𝐵)
8		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9		eloni 6323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10		ordwe 6326	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11		weso 5611	. . . 4 ⊢ ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐴)
13		oemapval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
14		fvex 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
15	14	epeli 5522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧))
16		vex 3437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
17		vex 3437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
18	16, 17	brcnv 5826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 E 𝑤)
19		epel 5523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
20	18, 19	bitri 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
21	20	imbi1i 351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
22	21	ralbii 3087	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
23	15, 22	anbi12i 635	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
24	23	rexbii 3088	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
25	24	opabbii 5141	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
26	13, 25	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
27		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
28	27	cbvrabv 3403	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
29	26, 28	wemapso2 9462	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ◡ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
30	1, 7, 12, 29	syl3anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31		cantnfs.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
33	32, 8, 1	cantnfdm 9580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
34	31, 33	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35		soeq2 5550	. . 3 ⊢ (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
37	30, 36	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {crab 3393  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  {copab 5136   E cep 5519   Or wor 5527   We wwe 5572  ^◡ccnv 5619  dom cdm 5620  Ord word 6312  Oncon0 6313  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ↑_m cmap 8767   finSupp cfsupp 9268   CNF ccnf 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-seqom 8381  df-1o 8399  df-map 8769  df-en 8888  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-cnf 9578

This theorem is referenced by:  cantnf  9609