Theorem oemapso 9661

Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 9525). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}

Assertion

Ref	Expression
oemapso	⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem oemapso

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2		eloni 6361	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordwe 6364	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4		weso 5638	. . . . 5 ⊢ ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐵)
6		cnvso 6280	. . . 4 ⊢ ( E Or 𝐵 ↔ ◡ E Or 𝐵)
7	5, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡ E Or 𝐵)
8		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9		eloni 6361	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10		ordwe 6364	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11		weso 5638	. . . 4 ⊢ ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → E Or 𝐴)
13		oemapval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
14		fvex 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
15	14	epeli 5549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧))
16		vex 3454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
17		vex 3454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
18	16, 17	brcnv 5856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 E 𝑤)
19		epel 5550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
20	18, 19	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)
21	20	imbi1i 352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
22	21	ralbii 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))
23	15, 22	anbi12i 640	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
24	23	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
25	24	opabbii 5171	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
26	13, 25	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤◡ E 𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
27		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
28	27	cbvrabv 3422	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
29	26, 28	wemapso2 9525	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ◡ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
30	1, 7, 12, 29	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31		cantnfs.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
33	32, 8, 1	cantnfdm 9643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
34	31, 33	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35		soeq2 5577	. . 3 ⊢ (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
36	34, 35	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆 ↔ 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
37	30, 36	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  {copab 5166   E cep 5546   Or wor 5554   We wwe 5599  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  Ord word 6350  Oncon0 6351  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825   finSupp cfsupp 9331   CNF ccnf 9640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-seqom 8436  df-1o 8454  df-map 8827  df-en 8952  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-cnf 9641

This theorem is used by:  cantnf  9672