Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tosglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tosglb 32132
Description: Same theorem as toslub 32130, for infinimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
tosglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tosglb.l < = (ltβ€˜πΎ)
tosglb.1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
tosglb.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
tosglb (πœ‘ β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜π΄) = inf(𝐴, 𝐡, < ))

Proof of Theorem tosglb
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tosglb.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tosglb.l . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
3 tosglb.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
4 tosglb.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
5 eqid 2732 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5tosglblem 32131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑏 β†’ 𝑐(leβ€˜πΎ)π‘Ž)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑))))
76riotabidva 7381 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„©π‘Ž ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑏 β†’ 𝑐(leβ€˜πΎ)π‘Ž))) = (β„©π‘Ž ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑))))
8 eqid 2732 . . . 4 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
9 biid 260 . . . 4 ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑏 β†’ 𝑐(leβ€˜πΎ)π‘Ž)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑏 β†’ 𝑐(leβ€˜πΎ)π‘Ž)))
101, 5, 8, 9, 3, 4glbval 18318 . . 3 (πœ‘ β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜π΄) = (β„©π‘Ž ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž(leβ€˜πΎ)𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐(leβ€˜πΎ)𝑏 β†’ 𝑐(leβ€˜πΎ)π‘Ž))))
111, 5, 2tosso 18368 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Toset β†’ (𝐾 ∈ Toset ↔ ( < Or 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† (leβ€˜πΎ))))
1211ibi 266 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Toset β†’ ( < Or 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† (leβ€˜πΎ)))
1312simpld 495 . . . . 5 (𝐾 ∈ Toset β†’ < Or 𝐡)
14 cnvso 6284 . . . . 5 ( < Or 𝐡 ↔ β—‘ < Or 𝐡)
1513, 14sylib 217 . . . 4 (𝐾 ∈ Toset β†’ β—‘ < Or 𝐡)
16 id 22 . . . . 5 (β—‘ < Or 𝐡 β†’ β—‘ < Or 𝐡)
1716supval2 9446 . . . 4 (β—‘ < Or 𝐡 β†’ sup(𝐴, 𝐡, β—‘ < ) = (β„©π‘Ž ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑))))
183, 15, 173syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, 𝐡, β—‘ < ) = (β„©π‘Ž ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑))))
197, 10, 183eqtr4d 2782 . 2 (πœ‘ β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜π΄) = sup(𝐴, 𝐡, β—‘ < ))
20 df-inf 9434 . . . 4 inf(𝐴, 𝐡, < ) = sup(𝐴, 𝐡, β—‘ < )
2120eqcomi 2741 . . 3 sup(𝐴, 𝐡, β—‘ < ) = inf(𝐴, 𝐡, < )
2221a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, 𝐡, β—‘ < ) = inf(𝐴, 𝐡, < ))
2319, 22eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜π΄) = inf(𝐴, 𝐡, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   I cid 5572   Or wor 5586  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  supcsup 9431  infcinf 9432  Basecbs 17140  lecple 17200  ltcplt 18257  glbcglb 18259  Tosetctos 18365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-sup 9433  df-inf 9434  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-glb 18296  df-toset 18366
This theorem is referenced by:  xrsp0  32169
  Copyright terms: Public domain W3C validator