MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nomaxmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nomaxmo 26998
Description: A class of surreals has at most one maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
nomaxmo (𝑆 No → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nomaxmo
StepHypRef Expression
1 sltso 26976 . . . . 5 <s Or No
2 soss 5563 . . . . 5 (𝑆 No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
31, 2mpi 20 . . . 4 (𝑆 No → <s Or 𝑆)
4 cnvso 6238 . . . 4 ( <s Or 𝑆 <s Or 𝑆)
53, 4sylib 217 . . 3 (𝑆 No <s Or 𝑆)
6 somo 5580 . . 3 ( <s Or 𝑆 → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
75, 6syl 17 . 2 (𝑆 No → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
8 vex 3447 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
9 vex 3447 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
108, 9brcnv 5836 . . . . 5 (𝑦 <s 𝑥𝑥 <s 𝑦)
1110notbii 319 . . . 4 𝑦 <s 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 <s 𝑦)
1211ralbii 3094 . . 3 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
1312rmobii 3359 . 2 (∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ↔ ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
147, 13sylib 217 1 (𝑆 No → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wral 3062  ∃*wrmo 3350  wss 3908   class class class wbr 5103   Or wor 5542  ccnv 5630   No csur 26940   <s cslt 26941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-1o 8404  df-2o 8405  df-no 26943  df-slt 26944
This theorem is referenced by:  nosupno  27003  nosupbday  27005  nosupbnd1  27014  nosupbnd2  27016
  Copyright terms: Public domain W3C validator