Theorem nomaxmo 27698

Description: A class of surreals has at most one maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nomaxmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nomaxmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 27676	. . . . 5 ⊢ <s Or No
2		soss 5594	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		cnvso 6290	. . . 4 ⊢ ( <s Or 𝑆 ↔ ◡ <s Or 𝑆)
5	3, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ◡ <s Or 𝑆)
6		somo 5613	. . 3 ⊢ (◡ <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
8		vex 3468	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		vex 3468	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5875	. . . . 5 ⊢ (𝑦◡ <s 𝑥 ↔ 𝑥 <s 𝑦)
11	10	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 <s 𝑦)
12	11	ralbii 3081	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
13	12	rmobii 3372	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
14	7, 13	sylib 218	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3050  ∃*wrmo 3363   ⊆ wss 3933   class class class wbr 5125   Or wor 5573  ^◡ccnv 5666   No csur 27639   <s cslt 27640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pr 5414

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-1o 8489  df-2o 8490  df-no 27642  df-slt 27643

This theorem is referenced by:  nosupno  27703  nosupbday  27705  nosupbnd1  27714  nosupbnd2  27716