MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nomaxmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nomaxmo 27069
Description: A class of surreals has at most one maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
nomaxmo (𝑆 No → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nomaxmo
StepHypRef Expression
1 sltso 27047 . . . . 5 <s Or No
2 soss 5569 . . . . 5 (𝑆 No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
31, 2mpi 20 . . . 4 (𝑆 No → <s Or 𝑆)
4 cnvso 6244 . . . 4 ( <s Or 𝑆 <s Or 𝑆)
53, 4sylib 217 . . 3 (𝑆 No <s Or 𝑆)
6 somo 5586 . . 3 ( <s Or 𝑆 → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
75, 6syl 17 . 2 (𝑆 No → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
8 vex 3451 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
9 vex 3451 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
108, 9brcnv 5842 . . . . 5 (𝑦 <s 𝑥𝑥 <s 𝑦)
1110notbii 320 . . . 4 𝑦 <s 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 <s 𝑦)
1211ralbii 3093 . . 3 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
1312rmobii 3360 . 2 (∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ↔ ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
147, 13sylib 217 1 (𝑆 No → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wral 3061  ∃*wrmo 3351  wss 3914   class class class wbr 5109   Or wor 5548  ccnv 5636   No csur 27011   <s cslt 27012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-1o 8416  df-2o 8417  df-no 27014  df-slt 27015
This theorem is referenced by:  nosupno  27074  nosupbday  27076  nosupbnd1  27085  nosupbnd2  27087
  Copyright terms: Public domain W3C validator