Theorem nomaxmo 27610

Description: A class of surreals has at most one maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nomaxmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nomaxmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 27588	. . . . 5 ⊢ <s Or No
2		soss 5566	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		cnvso 6261	. . . 4 ⊢ ( <s Or 𝑆 ↔ ◡ <s Or 𝑆)
5	3, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ◡ <s Or 𝑆)
6		somo 5585	. . 3 ⊢ (◡ <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
8		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5846	. . . . 5 ⊢ (𝑦◡ <s 𝑥 ↔ 𝑥 <s 𝑦)
11	10	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 <s 𝑦)
12	11	ralbii 3075	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
13	12	rmobii 3362	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
14	7, 13	sylib 218	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3044  ∃*wrmo 3353   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   Or wor 5545  ^◡ccnv 5637   No csur 27551   <s cslt 27552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555

This theorem is referenced by:  nosupno  27615  nosupbday  27617  nosupbnd1  27626  nosupbnd2  27628