Theorem nomaxmo 27198

Description: A class of surreals has at most one maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nomaxmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nomaxmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 27176	. . . . 5 ⊢ <s Or No
2		soss 5608	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		cnvso 6287	. . . 4 ⊢ ( <s Or 𝑆 ↔ ◡ <s Or 𝑆)
5	3, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ◡ <s Or 𝑆)
6		somo 5625	. . 3 ⊢ (◡ <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
8		vex 3478	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		vex 3478	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5882	. . . . 5 ⊢ (𝑦◡ <s 𝑥 ↔ 𝑥 <s 𝑦)
11	10	notbii 319	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 <s 𝑦)
12	11	ralbii 3093	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
13	12	rmobii 3384	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
14	7, 13	sylib 217	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3061  ∃*wrmo 3375   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   Or wor 5587  ^◡ccnv 5675   No csur 27140   <s cslt 27141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-1o 8465  df-2o 8466  df-no 27143  df-slt 27144

This theorem is referenced by:  nosupno  27203  nosupbday  27205  nosupbnd1  27214  nosupbnd2  27216