Theorem nomaxmo 33901

Description: A class of surreals has at most one maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nomaxmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nomaxmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 33879	. . . . 5 ⊢ <s Or No
2		soss 5523	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		cnvso 6191	. . . 4 ⊢ ( <s Or 𝑆 ↔ ◡ <s Or 𝑆)
5	3, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ◡ <s Or 𝑆)
6		somo 5540	. . 3 ⊢ (◡ <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
8		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5791	. . . . 5 ⊢ (𝑦◡ <s 𝑥 ↔ 𝑥 <s 𝑦)
11	10	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 <s 𝑦)
12	11	ralbii 3092	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
13	12	rmobii 3331	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
14	7, 13	sylib 217	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3064  ∃*wrmo 3067   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   Or wor 5502  ^◡ccnv 5588   No csur 33843   <s cslt 33844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-1o 8297  df-2o 8298  df-no 33846  df-slt 33847

This theorem is referenced by:  nosupno  33906  nosupbday  33908  nosupbnd1  33917  nosupbnd2  33919