Theorem infltoreq 9407

Description: The infimum of a finite set is less than or equal to all the elements of the set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infltoreq.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infltoreq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infltoreq.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
infltoreq.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
infltoreq.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 = inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
infltoreq	⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆))

Proof of Theorem infltoreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infltoreq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		cnvso 6239	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3	1, 2	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 Or 𝐴)
4		infltoreq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		infltoreq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
6		infltoreq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		infltoreq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))
8		df-inf 9346	. . . 4 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
9	7, 8	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅))
10	3, 4, 5, 6, 9	supgtoreq 9374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶◡𝑅𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆))
11	6	ne0d 4270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
12		fiinfcl 9406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
13	1, 5, 11, 4, 12	syl13anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
14	7, 13	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
15		brcnvg 5821	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝐶◡𝑅𝑆 ↔ 𝑆𝑅𝐶))
16	15	bicomd 224	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑆𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅𝑆))
17	6, 14, 16	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅𝑆))
18	17	orbi1d 922	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆) ↔ (𝐶◡𝑅𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆)))
19	10, 18	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   class class class wbr 5072   Or wor 5525  ^◡ccnv 5617  Fincfn 8883  supcsup 9343  infcinf 9344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-om 7807  df-en 8884  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346

This theorem is referenced by: (None)