Theorem infltoreq 9499

Description: The infimum of a finite set is less than or equal to all the elements of the set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infltoreq.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infltoreq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infltoreq.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
infltoreq.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
infltoreq.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 = inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
infltoreq	⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆))

Proof of Theorem infltoreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infltoreq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		cnvso 6281	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 Or 𝐴)
4		infltoreq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		infltoreq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
6		infltoreq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		infltoreq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))
8		df-inf 9440	. . . 4 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
9	7, 8	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅))
10	3, 4, 5, 6, 9	supgtoreq 9467	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶◡𝑅𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆))
11	6	ne0d 4330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
12		fiinfcl 9498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
13	1, 5, 11, 4, 12	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
14	7, 13	eqeltrd 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
15		brcnvg 5873	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝐶◡𝑅𝑆 ↔ 𝑆𝑅𝐶))
16	15	bicomd 222	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑆𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅𝑆))
17	6, 14, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅𝑆))
18	17	orbi1d 913	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆) ↔ (𝐶◡𝑅𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆)))
19	10, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317   class class class wbr 5141   Or wor 5580  ^◡ccnv 5668  Fincfn 8941  supcsup 9437  infcinf 9438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-om 7853  df-en 8942  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440

This theorem is referenced by: (None)