Theorem infltoreq 9477

Description: The infimum of a finite set is less than or equal to all the elements of the set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infltoreq.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infltoreq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infltoreq.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
infltoreq.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
infltoreq.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 = inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
infltoreq	⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆))

Proof of Theorem infltoreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infltoreq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
2		cnvso 6286	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 Or 𝐴)
4		infltoreq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		infltoreq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
6		infltoreq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		infltoreq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = inf(𝐵, 𝐴, 𝑅))
8		df-inf 9416	. . . 4 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
9	7, 8	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅))
10	3, 4, 5, 6, 9	supgtoreq 9444	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶◡𝑅𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆))
11	6	ne0d 4288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
12		fiinfcl 9476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
13	1, 5, 11, 4, 12	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
14	7, 13	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
15		brcnvg 5859	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝐶◡𝑅𝑆 ↔ 𝑆𝑅𝐶))
16	15	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑆𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅𝑆))
17	6, 14, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅𝑆))
18	17	orbi1d 930	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆) ↔ (𝐶◡𝑅𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆)))
19	10, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆𝑅𝐶 ∨ 𝐶 = 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   Or wor 5562  ^◡ccnv 5654  Fincfn 8955  supcsup 9413  infcinf 9414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-om 7864  df-en 8956  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416

This theorem is used by: (None)