Theorem fiinfcl 9522

Description: A nonempty finite set contains its infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfcl	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fiinfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9462	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		cnvso 6309	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		fisupcl 9489	. . 3 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
4	2, 3	sylanb 593	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	eqeltrid 2868	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   Or wor 5562  ^◡ccnv 5654  Fincfn 9001  supcsup 9459  infcinf 9460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-om 7902  df-en 9002  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462

This theorem is used by:  infltoreq  9523  aalioulem2  26690  ballotlemiex  35204  ptrecube  38730  heicant  38765  aks4d1p4  43321  aks4d1p7  43325  sticksstones1  43388  frlmnzcoordcl  43848  frlmnzcoordn0  43850  cnrefiisplem  47044  fourierdlem42  47364  ioorrnopnlem  47519  hoidmvlelem2  47811  iunhoiioolem  47890  vonioolem1  47895  prmdvdsfmtnof1lem1  48874  prmdvdsfmtnof  48876