Theorem fiinfcl 9407

Description: A nonempty finite set contains its infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfcl	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fiinfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9347	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		cnvso 6244	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		fisupcl 9374	. . 3 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
4	2, 3	sylanb 582	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   Or wor 5529  ^◡ccnv 5621  Fincfn 8884  supcsup 9344  infcinf 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-om 7809  df-en 8885  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347

This theorem is referenced by:  infltoreq  9408  aalioulem2  26281  ballotlemiex  34652  ptrecube  37932  heicant  37967  aks4d1p4  42510  aks4d1p7  42514  sticksstones1  42577  cnrefiisplem  46261  fourierdlem42  46581  ioorrnopnlem  46736  hoidmvlelem2  47028  iunhoiioolem  47107  vonioolem1  47112  prmdvdsfmtnof1lem1  48018  prmdvdsfmtnof  48020