Theorem fiinfcl 9462

Description: A nonempty finite set contains its infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfcl	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fiinfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9402	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		cnvso 6289	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		fisupcl 9429	. . 3 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
4	2, 3	sylanb 592	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	eqeltrid 2865	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   Or wor 5568  ^◡ccnv 5660  Fincfn 8942  supcsup 9399  infcinf 9400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-om 7862  df-en 8943  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402

This theorem is referenced by:  infltoreq  9463  aalioulem2  26473  ballotlemiex  34858  ptrecube  38215  heicant  38250  aks4d1p4  42792  aks4d1p7  42796  sticksstones1  42859  cnrefiisplem  46491  fourierdlem42  46811  ioorrnopnlem  46966  hoidmvlelem2  47258  iunhoiioolem  47337  vonioolem1  47342  prmdvdsfmtnof1lem1  48281  prmdvdsfmtnof  48283