Theorem fiinfcl 9495

Description: A nonempty finite set contains its infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfcl	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fiinfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9435	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		cnvso 6291	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		fisupcl 9462	. . 3 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
4	2, 3	sylanb 593	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	eqeltrid 2864	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   Or wor 5557  ^◡ccnv 5649  Fincfn 8973  supcsup 9432  infcinf 9433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-om 7878  df-en 8974  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435

This theorem is used by:  infltoreq  9496  aalioulem2  26660  ballotlemiex  35176  ptrecube  38581  heicant  38616  aks4d1p4  43172  aks4d1p7  43176  sticksstones1  43239  frlmnzcoordcl  43698  frlmnzcoordn0  43700  cnrefiisplem  46882  fourierdlem42  47202  ioorrnopnlem  47357  hoidmvlelem2  47649  iunhoiioolem  47728  vonioolem1  47733  prmdvdsfmtnof1lem1  48712  prmdvdsfmtnof  48714