MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinfcl 9444
Description: A nonempty finite set contains its infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiinfcl ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fiinfcl
StepHypRef Expression
1 df-inf 9386 . 2 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
2 cnvso 6245 . . 3 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
3 fisupcl 9412 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
42, 3sylanb 582 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
51, 4eqeltrid 2842 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wne 2944  wss 3915  c0 4287   Or wor 5549  ccnv 5637  Fincfn 8890  supcsup 9383  infcinf 9384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-om 7808  df-en 8891  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386
This theorem is referenced by:  infltoreq  9445  aalioulem2  25709  ballotlemiex  33141  ptrecube  36107  heicant  36142  aks4d1p4  40565  aks4d1p7  40569  sticksstones1  40583  cnrefiisplem  44144  fourierdlem42  44464  ioorrnopnlem  44619  hoidmvlelem2  44911  iunhoiioolem  44990  vonioolem1  44995  prmdvdsfmtnof1lem1  45850  prmdvdsfmtnof  45852
  Copyright terms: Public domain W3C validator