MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinfcl 8561
Description: A nonempty finite set contains its infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiinfcl ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fiinfcl
StepHypRef Expression
1 df-inf 8503 . 2 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
2 cnvso 5816 . . 3 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
3 fisupcl 8529 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
42, 3sylanb 570 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
51, 4syl5eqel 2854 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071  wcel 2145  wne 2943  wss 3723  c0 4063   Or wor 5169  ccnv 5248  Fincfn 8107  supcsup 8500  infcinf 8501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-om 7211  df-1o 7711  df-er 7894  df-en 8108  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503
This theorem is referenced by:  infltoreq  8562  aalioulem2  24301  ballotlemiex  30896  ptrecube  33735  heicant  33770  cnrefiisplem  40566  fourierdlem42  40876  ioorrnopnlem  41034  hoidmvlelem2  41323  iunhoiioolem  41402  vonioolem1  41407  prmdvdsfmtnof1lem1  42017  prmdvdsfmtnof  42019
  Copyright terms: Public domain W3C validator