Theorem fiinfcl 9515

Description: A nonempty finite set contains its infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfcl	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fiinfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9455	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		cnvso 6277	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		fisupcl 9482	. . 3 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	eqeltrid 2838	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308   Or wor 5560  ^◡ccnv 5653  Fincfn 8959  supcsup 9452  infcinf 9453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-om 7862  df-en 8960  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455

This theorem is referenced by:  infltoreq  9516  aalioulem2  26293  ballotlemiex  34534  ptrecube  37644  heicant  37679  aks4d1p4  42092  aks4d1p7  42096  sticksstones1  42159  cnrefiisplem  45858  fourierdlem42  46178  ioorrnopnlem  46333  hoidmvlelem2  46625  iunhoiioolem  46704  vonioolem1  46709  prmdvdsfmtnof1lem1  47598  prmdvdsfmtnof  47600