MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrccss 21690
Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mrccss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mrccss.o = (ocv‘𝑊)
mrccss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
mrccss.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mrccss ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) = ( ‘( 𝑆)))

Proof of Theorem mrccss
StepHypRef Expression
1 mrccss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 mrccss.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2cssmre 21689 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
43adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
5 mrccss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
61, 5ocvocv 21667 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
71, 5ocvss 21666 . . . . 5 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
87a1i 11 . . . 4 (𝑆𝑉 → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
91, 2, 5ocvcss 21683 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ∈ 𝐶)
108, 9sylan2 591 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ∈ 𝐶)
11 mrccss.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1211mrcsscl 17633 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ ( ‘( 𝑆)) ∈ 𝐶) → (𝐹𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)))
134, 6, 10, 12syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)))
1411mrcssid 17630 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹𝑆))
153, 14sylan 578 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹𝑆))
165ocv2ss 21669 . . . 4 (𝑆 ⊆ (𝐹𝑆) → ( ‘(𝐹𝑆)) ⊆ ( 𝑆))
175ocv2ss 21669 . . . 4 (( ‘(𝐹𝑆)) ⊆ ( 𝑆) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ ( ‘( ‘(𝐹𝑆))))
1815, 16, 173syl 18 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ ( ‘( ‘(𝐹𝑆))))
1911mrccl 17624 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) ∈ 𝐶)
203, 19sylan 578 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) ∈ 𝐶)
215, 2cssi 21680 . . . 4 ((𝐹𝑆) ∈ 𝐶 → (𝐹𝑆) = ( ‘( ‘(𝐹𝑆))))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) = ( ‘( ‘(𝐹𝑆))))
2318, 22sseqtrrd 4021 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))
2413, 23eqssd 3997 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) = ( ‘( 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  cfv 6554  Basecbs 17213  Moorecmre 17595  mrClscmrc 17596  PreHilcphl 21620  ocvcocv 21656  ClSubSpccss 21657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-0g 17456  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-grp 18931  df-ghm 19207  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-rhm 20454  df-staf 20818  df-srng 20819  df-lmod 20838  df-lmhm 21000  df-lvec 21081  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-phl 21622  df-ocv 21659  df-css 21660
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator