Theorem mrccss 20899

Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrccss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mrccss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
mrccss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
mrccss.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrccss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem mrccss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrccss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		mrccss.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssmre 20898	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
5		mrccss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 5	ocvocv 20876	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
7	1, 5	ocvss 20875	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑉 → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
9	1, 2, 5	ocvcss 20892	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶)
10	8, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶)
11		mrccss.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
12	11	mrcsscl 17329	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
13	4, 6, 10, 12	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
14	11	mrcssid 17326	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆))
15	3, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆))
16	5	ocv2ss 20878	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
17	5	ocv2ss 20878	. . . 4 ⊢ (( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
19	11	mrccl 17320	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶)
20	3, 19	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶)
21	5, 2	cssi 20889	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶 → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
23	18, 22	sseqtrrd 3962	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ (𝐹‘𝑆))
24	13, 23	eqssd 3938	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Moorecmre 17291  mrClscmrc 17292  PreHilcphl 20829  ocvcocv 20865  ClSubSpccss 20866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-rnghom 19959  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-phl 20831  df-ocv 20868  df-css 20869

This theorem is referenced by: (None)