MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrccss 20401
Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mrccss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mrccss.o = (ocv‘𝑊)
mrccss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
mrccss.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mrccss ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) = ( ‘( 𝑆)))

Proof of Theorem mrccss
StepHypRef Expression
1 mrccss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 mrccss.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2cssmre 20400 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
43adantr 474 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
5 mrccss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
61, 5ocvocv 20378 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
71, 5ocvss 20377 . . . . 5 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
87a1i 11 . . . 4 (𝑆𝑉 → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
91, 2, 5ocvcss 20394 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ∈ 𝐶)
108, 9sylan2 588 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ∈ 𝐶)
11 mrccss.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1211mrcsscl 16633 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ ( ‘( 𝑆)) ∈ 𝐶) → (𝐹𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)))
134, 6, 10, 12syl3anc 1496 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)))
1411mrcssid 16630 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹𝑆))
153, 14sylan 577 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹𝑆))
165ocv2ss 20380 . . . 4 (𝑆 ⊆ (𝐹𝑆) → ( ‘(𝐹𝑆)) ⊆ ( 𝑆))
175ocv2ss 20380 . . . 4 (( ‘(𝐹𝑆)) ⊆ ( 𝑆) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ ( ‘( ‘(𝐹𝑆))))
1815, 16, 173syl 18 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ ( ‘( ‘(𝐹𝑆))))
1911mrccl 16624 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) ∈ 𝐶)
203, 19sylan 577 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) ∈ 𝐶)
215, 2cssi 20391 . . . 4 ((𝐹𝑆) ∈ 𝐶 → (𝐹𝑆) = ( ‘( ‘(𝐹𝑆))))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) = ( ‘( ‘(𝐹𝑆))))
2318, 22sseqtr4d 3867 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))
2413, 23eqssd 3844 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝐹𝑆) = ( ‘( 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wss 3798  cfv 6123  Basecbs 16222  Moorecmre 16595  mrClscmrc 16596  PreHilcphl 20331  ocvcocv 20367  ClSubSpccss 20368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-0g 16455  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-ghm 18009  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-rnghom 19071  df-staf 19201  df-srng 19202  df-lmod 19221  df-lmhm 19381  df-lvec 19462  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-phl 20333  df-ocv 20370  df-css 20371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator