MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrccss 21238
Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mrccss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mrccss.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
mrccss.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
mrccss.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mrccss ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))

Proof of Theorem mrccss
StepHypRef Expression
1 mrccss.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 mrccss.c . . . . 5 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2cssmre 21237 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰))
43adantr 481 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰))
5 mrccss.o . . . 4 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
61, 5ocvocv 21215 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
71, 5ocvss 21214 . . . . 5 ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝑉
87a1i 11 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝑉 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝑉)
91, 2, 5ocvcss 21231 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐢)
108, 9sylan2 593 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐢)
11 mrccss.f . . . 4 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
1211mrcsscl 17560 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰) ∧ 𝑆 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘†) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
134, 6, 10, 12syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
1411mrcssid 17557 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† (πΉβ€˜π‘†))
153, 14sylan 580 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† (πΉβ€˜π‘†))
165ocv2ss 21217 . . . 4 (𝑆 βŠ† (πΉβ€˜π‘†) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘†))
175ocv2ss 21217 . . . 4 (( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘†) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†))))
1815, 16, 173syl 18 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†))))
1911mrccl 17551 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ 𝐢)
203, 19sylan 580 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ 𝐢)
215, 2cssi 21228 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘†) ∈ 𝐢 β†’ (πΉβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†))))
2220, 21syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†))))
2318, 22sseqtrrd 4022 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† (πΉβ€˜π‘†))
2413, 23eqssd 3998 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  Moorecmre 17522  mrClscmrc 17523  PreHilcphl 21168  ocvcocv 21204  ClSubSpccss 21205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-rnghom 20243  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-phl 21170  df-ocv 21207  df-css 21208
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator