Theorem mrccss 21640

Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrccss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mrccss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
mrccss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
mrccss.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrccss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem mrccss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrccss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		mrccss.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssmre 21639	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
5		mrccss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 5	ocvocv 21617	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
7	1, 5	ocvss 21616	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑉 → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
9	1, 2, 5	ocvcss 21633	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶)
10	8, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶)
11		mrccss.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
12	11	mrcsscl 17534	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
13	4, 6, 10, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
14	11	mrcssid 17531	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆))
15	3, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆))
16	5	ocv2ss 21619	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
17	5	ocv2ss 21619	. . . 4 ⊢ (( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
19	11	mrccl 17525	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶)
20	3, 19	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶)
21	5, 2	cssi 21630	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶 → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
23	18, 22	sseqtrrd 3968	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ (𝐹‘𝑆))
24	13, 23	eqssd 3948	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  Moorecmre 17492  mrClscmrc 17493  PreHilcphl 21570  ocvcocv 21606  ClSubSpccss 21607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-0g 17352  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-grp 18857  df-ghm 19133  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-rhm 20399  df-staf 20763  df-srng 20764  df-lmod 20804  df-lmhm 20965  df-lvec 21046  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-phl 21572  df-ocv 21609  df-css 21610

This theorem is referenced by: (None)