Theorem mrccss 21583

Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrccss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mrccss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
mrccss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
mrccss.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrccss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem mrccss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrccss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		mrccss.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssmre 21582	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
5		mrccss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 5	ocvocv 21560	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
7	1, 5	ocvss 21559	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑉 → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
9	1, 2, 5	ocvcss 21576	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶)
10	8, 9	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶)
11		mrccss.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
12	11	mrcsscl 17571	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
13	4, 6, 10, 12	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
14	11	mrcssid 17568	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆))
15	3, 14	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆))
16	5	ocv2ss 21562	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
17	5	ocv2ss 21562	. . . 4 ⊢ (( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
19	11	mrccl 17562	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶)
20	3, 19	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶)
21	5, 2	cssi 21573	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶 → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
23	18, 22	sseqtrrd 4018	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ (𝐹‘𝑆))
24	13, 23	eqssd 3994	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6536  Basecbs 17151  Moorecmre 17533  mrClscmrc 17534  PreHilcphl 21513  ocvcocv 21549  ClSubSpccss 21550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-ghm 19137  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-rhm 20372  df-staf 20686  df-srng 20687  df-lmod 20706  df-lmhm 20868  df-lvec 20949  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-phl 21515  df-ocv 21552  df-css 21553

This theorem is referenced by: (None)