MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrccss 21631
Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mrccss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mrccss.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
mrccss.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
mrccss.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mrccss ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))

Proof of Theorem mrccss
StepHypRef Expression
1 mrccss.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 mrccss.c . . . . 5 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2cssmre 21630 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰))
43adantr 479 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰))
5 mrccss.o . . . 4 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
61, 5ocvocv 21608 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
71, 5ocvss 21607 . . . . 5 ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝑉
87a1i 11 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝑉 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝑉)
91, 2, 5ocvcss 21624 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘†) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐢)
108, 9sylan2 591 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐢)
11 mrccss.f . . . 4 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
1211mrcsscl 17605 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰) ∧ 𝑆 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘†) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
134, 6, 10, 12syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
1411mrcssid 17602 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† (πΉβ€˜π‘†))
153, 14sylan 578 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† (πΉβ€˜π‘†))
165ocv2ss 21610 . . . 4 (𝑆 βŠ† (πΉβ€˜π‘†) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘†))
175ocv2ss 21610 . . . 4 (( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘†) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†))))
1815, 16, 173syl 18 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†))))
1911mrccl 17596 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‰) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ 𝐢)
203, 19sylan 578 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ 𝐢)
215, 2cssi 21621 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘†) ∈ 𝐢 β†’ (πΉβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†))))
2220, 21syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΉβ€˜π‘†))))
2318, 22sseqtrrd 4021 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) βŠ† (πΉβ€˜π‘†))
2413, 23eqssd 3997 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  Moorecmre 17567  mrClscmrc 17568  PreHilcphl 21561  ocvcocv 21597  ClSubSpccss 21598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-0g 17428  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-ghm 19173  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-rhm 20416  df-staf 20730  df-srng 20731  df-lmod 20750  df-lmhm 20912  df-lvec 20993  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-phl 21563  df-ocv 21600  df-css 21601
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator