Theorem mrccss 21739

Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrccss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mrccss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
mrccss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
mrccss.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrccss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem mrccss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrccss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		mrccss.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssmre 21738	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
5		mrccss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 5	ocvocv 21716	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
7	1, 5	ocvss 21715	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑉 → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
9	1, 2, 5	ocvcss 21732	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶)
10	8, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶)
11		mrccss.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
12	11	mrcsscl 17674	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
13	4, 6, 10, 12	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
14	11	mrcssid 17671	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆))
15	3, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆))
16	5	ocv2ss 21718	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝐹‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
17	5	ocv2ss 21718	. . . 4 ⊢ (( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
19	11	mrccl 17665	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶)
20	3, 19	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶)
21	5, 2	cssi 21729	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑆) ∈ 𝐶 → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐹‘𝑆))))
23	18, 22	sseqtrrd 4040	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ (𝐹‘𝑆))
24	13, 23	eqssd 4016	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐹‘𝑆) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3966  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  Moorecmre 17636  mrClscmrc 17637  PreHilcphl 21669  ocvcocv 21705  ClSubSpccss 21706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-0g 17497  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-ghm 19253  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-rhm 20498  df-staf 20866  df-srng 20867  df-lmod 20886  df-lmhm 21048  df-lvec 21129  df-sra 21199  df-rgmod 21200  df-phl 21671  df-ocv 21708  df-css 21709

This theorem is referenced by: (None)