Theorem csslss 21709

Description: A closed subspace of a pre-Hilbert space is a linear subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csslss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csslss.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csslss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝐿)

Proof of Theorem csslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csslss.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21702	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 21688	. . . 4 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊))
8		csslss.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
9	5, 1, 8	ocvlss 21690	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ∈ 𝐿)
10	7, 9	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ∈ 𝐿)
11	4, 10	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  LSubSpclss 20929  PreHilcphl 21642  ocvcocv 21678  ClSubSpccss 21679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-phl 21644  df-ocv 21681  df-css 21682

This theorem is referenced by:  ocvpj  21737  ishil2  21739  cmscsscms  25407  bncssbn  25408  chlcsschl  25412  cldcss  25475