Theorem csslss 21651

Description: A closed subspace of a pre-Hilbert space is a linear subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csslss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csslss.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csslss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝐿)

Proof of Theorem csslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csslss.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21644	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 21630	. . . 4 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊))
8		csslss.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
9	5, 1, 8	ocvlss 21632	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ∈ 𝐿)
10	7, 9	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ∈ 𝐿)
11	4, 10	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  LSubSpclss 20887  PreHilcphl 21584  ocvcocv 21620  ClSubSpccss 21621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-plusg 17195  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-ghm 19147  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lmhm 20979  df-lvec 21060  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-phl 21586  df-ocv 21623  df-css 21624

This theorem is referenced by:  ocvpj  21677  ishil2  21679  cmscsscms  25334  bncssbn  25335  chlcsschl  25339  cldcss  25402