Theorem csslss 21712

Description: A closed subspace of a pre-Hilbert space is a linear subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csslss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csslss.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csslss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝐿)

Proof of Theorem csslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csslss.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21705	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 21691	. . . 4 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊))
8		csslss.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
9	5, 1, 8	ocvlss 21693	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ∈ 𝐿)
10	7, 9	sylan2 601	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ∈ 𝐿)
11	4, 10	eqeltrd 2852	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  LSubSpclss 20967  PreHilcphl 21645  ocvcocv 21681  ClSubSpccss 21682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-ghm 19226  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lmhm 21058  df-lvec 21139  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-phl 21647  df-ocv 21684  df-css 21685

This theorem is referenced by:  ocvpj  21738  ishil2  21740  cmscsscms  25404  bncssbn  25405  chlcsschl  25409  cldcss  25472