Theorem cssincl 21625

Description: The zero subspace is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
css0.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssincl	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem cssincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21607	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝐴) ⊆ (Base‘𝑊)
4	1, 2	ocvss 21607	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) ⊆ (Base‘𝑊)
5	3, 4	unssi 4185	. . . 4 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)
6		css0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
7	1, 6, 2	ocvcss 21624	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
8	5, 7	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
9	2, 6	cssi 21621	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)))
10	2, 6	cssi 21621	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐵 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
11	9, 10	ineqan12d 4214	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
12	2	unocv 21617	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
13	11, 12	eqtr4di 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
14	13	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶))
15	8, 14	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶))
16	15	3impib 1113	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6551  Basecbs 17185  PreHilcphl 21561  ocvcocv 21597  ClSubSpccss 21598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-ghm 19173  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-rhm 20416  df-staf 20730  df-srng 20731  df-lmod 20750  df-lmhm 20912  df-lvec 20993  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-phl 21563  df-ocv 21600  df-css 21601

This theorem is referenced by: (None)