Theorem cssincl 21724

Description: The zero subspace is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
css0.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssincl	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem cssincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21706	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝐴) ⊆ (Base‘𝑊)
4	1, 2	ocvss 21706	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) ⊆ (Base‘𝑊)
5	3, 4	unssi 4201	. . . 4 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)
6		css0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
7	1, 6, 2	ocvcss 21723	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
8	5, 7	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
9	2, 6	cssi 21720	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)))
10	2, 6	cssi 21720	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐵 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
11	9, 10	ineqan12d 4230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
12	2	unocv 21716	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
13	11, 12	eqtr4di 2793	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
14	13	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶))
15	8, 14	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶))
16	15	3impib 1115	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  PreHilcphl 21660  ocvcocv 21696  ClSubSpccss 21697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-rhm 20489  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-phl 21662  df-ocv 21699  df-css 21700

This theorem is referenced by: (None)