Theorem cssincl 21643

Description: The zero subspace is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
css0.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssincl	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem cssincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 21625	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝐴) ⊆ (Base‘𝑊)
4	1, 2	ocvss 21625	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) ⊆ (Base‘𝑊)
5	3, 4	unssi 4143	. . . 4 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)
6		css0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
7	1, 6, 2	ocvcss 21642	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
8	5, 7	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
9	2, 6	cssi 21639	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)))
10	2, 6	cssi 21639	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐵 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
11	9, 10	ineqan12d 4174	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
12	2	unocv 21635	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
13	11, 12	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
14	13	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶))
15	8, 14	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶))
16	15	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  PreHilcphl 21579  ocvcocv 21615  ClSubSpccss 21616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-ghm 19142  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-rhm 20408  df-staf 20772  df-srng 20773  df-lmod 20813  df-lmhm 20974  df-lvec 21055  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-phl 21581  df-ocv 21618  df-css 21619

This theorem is referenced by: (None)