Theorem cssincl 20832

Description: The zero subspace is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
css0.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssincl	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem cssincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvss 20814	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝐴) ⊆ (Base‘𝑊)
4	1, 2	ocvss 20814	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) ⊆ (Base‘𝑊)
5	3, 4	unssi 4161	. . . 4 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)
6		css0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
7	1, 6, 2	ocvcss 20831	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
8	5, 7	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
9	2, 6	cssi 20828	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)))
10	2, 6	cssi 20828	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐵 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
11	9, 10	ineqan12d 4191	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
12	2	unocv 20824	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
13	11, 12	syl6eqr 2874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
14	13	eleq1d 2897	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶))
15	8, 14	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶))
16	15	3impib 1112	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  PreHilcphl 20768  ocvcocv 20804  ClSubSpccss 20805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-rnghom 19467  df-staf 19616  df-srng 19617  df-lmod 19636  df-lmhm 19794  df-lvec 19875  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-phl 20770  df-ocv 20807  df-css 20808

This theorem is referenced by: (None)