Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssincl 20377
 Description: The zero subspace is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
css0.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cssincl ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem cssincl
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2798 . . . . . 6 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvss 20359 . . . . 5 ((ocv‘𝑊)‘𝐴) ⊆ (Base‘𝑊)
41, 2ocvss 20359 . . . . 5 ((ocv‘𝑊)‘𝐵) ⊆ (Base‘𝑊)
53, 4unssi 4112 . . . 4 (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)
6 css0.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
71, 6, 2ocvcss 20376 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵)) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
85, 7mpan2 690 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶)
92, 6cssi 20373 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐴 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)))
102, 6cssi 20373 . . . . . 6 (𝐵𝐶𝐵 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
119, 10ineqan12d 4141 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
122unocv 20369 . . . . 5 ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) = (((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐴)) ∩ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
1311, 12eqtr4di 2851 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))))
1413eleq1d 2874 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ((𝐴𝐵) ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘(((ocv‘𝑊)‘𝐴) ∪ ((ocv‘𝑊)‘𝐵))) ∈ 𝐶))
158, 14syl5ibrcom 250 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶))
16153impib 1113 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  PreHilcphl 20313  ocvcocv 20349  ClSubSpccss 20350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-ghm 18348  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-rnghom 19463  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-phl 20315  df-ocv 20352  df-css 20353 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator