Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrle 37786
Description: The covers relation implies the "less than or equal to" relation. (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrle.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrle (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)

Proof of Theorem cvrle
StepHypRef Expression
1 cvrle.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrle.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrlt 37778 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
5 cvrle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
65, 2pltval 18226 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
76simprbda 500 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
84, 7syldan 592 1 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202   β‹– ccvr 37770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-plt 18224  df-covers 37774
This theorem is referenced by:  cvrnbtwn4  37787  cvrcmp  37791  atcvrj2b  37941  atexchcvrN  37949  llncmp  38031  llncvrlpln  38067  lplncmp  38071  lplncvrlvol  38125  lvolcmp  38126
  Copyright terms: Public domain W3C validator