Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrle 38651
Description: The covers relation implies the "less than or equal to" relation. (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrle.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrle (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)

Proof of Theorem cvrle
StepHypRef Expression
1 cvrle.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . . 3 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrle.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrlt 38643 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
5 cvrle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
65, 2pltval 18293 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
76simprbda 498 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
84, 7syldan 590 1 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  lecple 17209  ltcplt 18269   β‹– ccvr 38635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-plt 18291  df-covers 38639
This theorem is referenced by:  cvrnbtwn4  38652  cvrcmp  38656  atcvrj2b  38806  atexchcvrN  38814  llncmp  38896  llncvrlpln  38932  lplncmp  38936  lplncvrlvol  38990  lvolcmp  38991
  Copyright terms: Public domain W3C validator