Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrle 35303
Description: The covers relation implies the "less than or equal to" relation. (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrle.l = (le‘𝐾)
cvrle.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrle (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 𝑌)

Proof of Theorem cvrle
StepHypRef Expression
1 cvrle.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2803 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrle.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 35295 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 cvrle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
65, 2pltval 17279 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
76simprbda 493 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → 𝑋 𝑌)
84, 7syldan 586 1 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2975   class class class wbr 4847  cfv 6105  Basecbs 16188  lecple 16278  ltcplt 17260  ccvr 35287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-ral 3098  df-rex 3099  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fv 6113  df-plt 17277  df-covers 35291
This theorem is referenced by:  cvrnbtwn4  35304  cvrcmp  35308  atcvrj2b  35457  atexchcvrN  35465  llncmp  35547  llncvrlpln  35583  lplncmp  35587  lplncvrlvol  35641  lvolcmp  35642
  Copyright terms: Public domain W3C validator