Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atexchcvrN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atexchcvrN 36126
Description: Atom exchange property. Version of hlatexch2 36082 with covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atexchcvr.j = (join‘𝐾)
atexchcvr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atexchcvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atexchcvrN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅)))

Proof of Theorem atexchcvrN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1244 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐴)
3 eqid 2795 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 atexchcvr.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 35975 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
71hllatd 36050 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
8 simpl22 1245 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
93, 4atbase 35975 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpl23 1246 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
123, 4atbase 35975 . . . . . . 7 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14 atexchcvr.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
153, 14latjcl 17490 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
167, 10, 13, 15syl3anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
171, 6, 163jca 1121 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
18 eqid 2795 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19 atexchcvr.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
203, 18, 19cvrle 35964 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
2117, 20sylancom 588 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
2221ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
2318, 14, 4hlatexch2 36082 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)))
24 simpl1 1184 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
25 simpl22 1245 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑄𝐴)
26 simpl21 1244 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑃𝐴)
27 simpl23 1246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑅𝐴)
28 simpl3 1186 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑃𝑅)
29 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅))
3018, 14, 19, 4atcvrj2 36119 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑅𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅))
3124, 25, 26, 27, 28, 29, 30syl132anc 1381 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅))
3231ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅)))
3322, 23, 323syld 60 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  Latclat 17484  ccvr 35948  Atomscatm 35949  HLchlt 36036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-lat 17485  df-clat 17547  df-oposet 35862  df-ol 35864  df-oml 35865  df-covers 35952  df-ats 35953  df-atl 35984  df-cvlat 36008  df-hlat 36037
This theorem is referenced by:  atexchltN  36127
  Copyright terms: Public domain W3C validator