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Theorem atexchcvrN 37949
Description: Atom exchange property. Version of hlatexch2 37905 with covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atexchcvr.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atexchcvr.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
atexchcvr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atexchcvrN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄𝐢(𝑃 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem atexchcvrN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1252 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 atexchcvr.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4atbase 37797 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
71hllatd 37872 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
8 simpl22 1253 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
93, 4atbase 37797 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simpl23 1254 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
123, 4atbase 37797 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 atexchcvr.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
153, 14latjcl 18333 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
167, 10, 13, 15syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
171, 6, 163jca 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
18 eqid 2733 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
19 atexchcvr.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
203, 18, 19cvrle 37786 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
2117, 20sylancom 589 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
2221ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
2318, 14, 4hlatexch2 37905 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)))
24 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
25 simpl22 1253 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
26 simpl21 1252 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
27 simpl23 1254 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
28 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
29 simpr 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅))
3018, 14, 19, 4atcvrj2 37942 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑅 ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄𝐢(𝑃 ∨ 𝑅))
3124, 25, 26, 27, 28, 29, 30syl132anc 1389 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄𝐢(𝑃 ∨ 𝑅))
3231ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄𝐢(𝑃 ∨ 𝑅)))
3322, 23, 323syld 60 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃𝐢(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄𝐢(𝑃 ∨ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  Latclat 18325   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  atexchltN  37950
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