Theorem atexchcvrN 40017

Description: Atom exchange property. Version of hlatexch2 39973 with covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atexchcvr.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atexchcvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atexchcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atexchcvrN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem atexchcvrN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl21 1264	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atexchcvr.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39866	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	1	hllatd 39941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
8		simpl22 1265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	3, 4	atbase 39866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpl23 1266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
12	3, 4	atbase 39866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14		atexchcvr.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	3, 14	latjcl 18452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
16	7, 10, 13, 15	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
17	1, 6, 16	3jca 1140	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
18		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19		atexchcvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
20	3, 18, 19	cvrle 39855	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
21	17, 20	sylancom 597	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
22	21	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
23	18, 14, 4	hlatexch2 39973	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)))
24		simpl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
25		simpl22 1265	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
26		simpl21 1264	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
27		simpl23 1266	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
28		simpl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝑅)
29		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))
30	18, 14, 19, 4	atcvrj2 40010	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅))
31	24, 25, 26, 27, 28, 29, 30	syl132anc 1406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅))
32	31	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅)))
33	22, 23, 32	3syld 60	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17226  lecple 17274  joincjn 18324  Latclat 18444   ⋖ ccvr 39839  Atomscatm 39840  HLchlt 39927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18307  df-poset 18326  df-plt 18341  df-lub 18357  df-glb 18358  df-join 18359  df-meet 18360  df-p0 18436  df-lat 18445  df-clat 18512  df-oposet 39753  df-ol 39755  df-oml 39756  df-covers 39843  df-ats 39844  df-atl 39875  df-cvlat 39899  df-hlat 39928

This theorem is referenced by:  atexchltN  40018