Theorem atexchcvrN 39897

Description: Atom exchange property. Version of hlatexch2 39853 with covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atexchcvr.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atexchcvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atexchcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atexchcvrN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem atexchcvrN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl21 1253	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atexchcvr.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39746	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	1	hllatd 39821	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
8		simpl22 1254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	3, 4	atbase 39746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpl23 1255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
12	3, 4	atbase 39746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14		atexchcvr.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	3, 14	latjcl 18394	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
16	7, 10, 13, 15	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
17	1, 6, 16	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19		atexchcvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
20	3, 18, 19	cvrle 39735	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
21	17, 20	sylancom 589	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
22	21	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
23	18, 14, 4	hlatexch2 39853	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)))
24		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
25		simpl22 1254	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
26		simpl21 1253	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
27		simpl23 1255	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
28		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝑅)
29		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))
30	18, 14, 19, 4	atcvrj2 39890	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅))
31	24, 25, 26, 27, 28, 29, 30	syl132anc 1391	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅))
32	31	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅)))
33	22, 23, 32	3syld 60	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  lecple 17216  joincjn 18266  Latclat 18386   ⋖ ccvr 39719  Atomscatm 39720  HLchlt 39807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808

This theorem is referenced by:  atexchltN  39898