Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β πΎ β HL) |
2 | | simpl21 1252 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β π β π΄) |
3 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
4 | | atexchcvr.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 3, 4 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
6 | 2, 5 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β π β (BaseβπΎ)) |
7 | 1 | hllatd 37872 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β πΎ β Lat) |
8 | | simpl22 1253 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β π β π΄) |
9 | 3, 4 | atbase 37797 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β π β (BaseβπΎ)) |
11 | | simpl23 1254 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β π
β π΄) |
12 | 3, 4 | atbase 37797 |
. . . . . . 7
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β π
β (BaseβπΎ)) |
14 | | atexchcvr.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | 3, 14 | latjcl 18333 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
16 | 7, 10, 13, 15 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
17 | 1, 6, 16 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β (πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ))) |
18 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
19 | | atexchcvr.c |
. . . . 5
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
20 | 3, 18, 19 | cvrle 37786 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β π(leβπΎ)(π β¨ π
)) |
21 | 17, 20 | sylancom 589 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ ππΆ(π β¨ π
)) β π(leβπΎ)(π β¨ π
)) |
22 | 21 | ex 414 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β (ππΆ(π β¨ π
) β π(leβπΎ)(π β¨ π
))) |
23 | 18, 14, 4 | hlatexch2 37905 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β (π(leβπΎ)(π β¨ π
) β π(leβπΎ)(π β¨ π
))) |
24 | | simpl1 1192 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π
)) β πΎ β HL) |
25 | | simpl22 1253 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π
)) β π β π΄) |
26 | | simpl21 1252 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π
)) β π β π΄) |
27 | | simpl23 1254 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π
)) β π
β π΄) |
28 | | simpl3 1194 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π
)) β π β π
) |
29 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π
)) β π(leβπΎ)(π β¨ π
)) |
30 | 18, 14, 19, 4 | atcvrj2 37942 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π(leβπΎ)(π β¨ π
))) β ππΆ(π β¨ π
)) |
31 | 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 | syl132anc 1389 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π
)) β ππΆ(π β¨ π
)) |
32 | 31 | ex 414 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β (π(leβπΎ)(π β¨ π
) β ππΆ(π β¨ π
))) |
33 | 22, 23, 32 | 3syld 60 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β (ππΆ(π β¨ π
) β ππΆ(π β¨ π
))) |