Theorem diadmclN 39903

Description: A member of domain of the partial isomorphism A is a lattice element. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diadmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diadmcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diadmcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diadmclN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem diadmclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diadmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		diadmcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diadmcl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	diaeldm 39902	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)))
6	5	simprbda 499	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203  LHypclh 38850  DIsoAcdia 39894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-disoa 39895

This theorem is referenced by:  diameetN  39922  docaclN  39990  diaocN  39991  doca2N  39992  djajN  40003