Theorem diaocN 41420

Description: Value of partial isomorphism A at lattice orthocomplement (using a Sasaki projection to get orthocomplement relative to the fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaoc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
diaoc.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diaoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
diaoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaoc.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.n	⊢ 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaocN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem diaocN

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		diaoc.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diaoc.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	diadmclN 41332	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	6, 3, 4	diadmleN 41333	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
8		diaoc.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 6, 3, 8, 4	diass 41337	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
10	1, 5, 7, 9	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
11		diaoc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		diaoc.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13		diaoc.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
14		diaoc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
15	11, 12, 13, 3, 8, 4, 14	docavalN 41418	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
16	10, 15	syldan 592	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
17	3, 4	diaclN 41345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
18		intmin 4922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼 → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼‘𝑋))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼‘𝑋))
20	19	fveq2d 6837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧}) = (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))
21	3, 4	diaf11N 41344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
22		f1ocnvfv1 7222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
23	21, 22	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
24	20, 23	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧}) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6837	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) = ( ⊥ ‘𝑋))
26	25	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)))
27	26	fvoveq1d 7380	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
28	16, 27	eqtr2d 2771	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3398   ⊆ wss 3900  ∩ cint 4901   class class class wbr 5097  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624  –1-1-onto→wf1o 6490  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  lecple 17186  occoc 17187  joincjn 18236  meetcmee 18237  HLchlt 39645  LHypclh 40279  LTrncltrn 40396  DIsoAcdia 41323  ocAcocaN 41414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8767  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-oposet 39471  df-ol 39473  df-oml 39474  df-covers 39561  df-ats 39562  df-atl 39593  df-cvlat 39617  df-hlat 39646  df-llines 39793  df-lplanes 39794  df-lvols 39795  df-lines 39796  df-psubsp 39798  df-pmap 39799  df-padd 40091  df-lhyp 40283  df-laut 40284  df-ldil 40399  df-ltrn 40400  df-trl 40454  df-disoa 41324  df-docaN 41415

This theorem is referenced by:  doca2N  41421  djajN  41432