Theorem diaocN 41985

Description: Value of partial isomorphism A at lattice orthocomplement (using a Sasaki projection to get orthocomplement relative to the fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaoc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
diaoc.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diaoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
diaoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaoc.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.n	⊢ 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaocN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem diaocN

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		diaoc.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diaoc.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	diadmclN 41897	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	6, 3, 4	diadmleN 41898	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
8		diaoc.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 6, 3, 8, 4	diass 41902	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
10	1, 5, 7, 9	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
11		diaoc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		diaoc.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13		diaoc.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
14		diaoc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
15	11, 12, 13, 3, 8, 4, 14	docavalN 41983	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
16	10, 15	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
17	3, 4	diaclN 41910	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
18		intmin 4931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼 → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼‘𝑋))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼‘𝑋))
20	19	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧}) = (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))
21	3, 4	diaf11N 41909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
22		f1ocnvfv1 7280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
23	21, 22	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
24	20, 23	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧}) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) = ( ⊥ ‘𝑋))
26	25	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)))
27	26	fvoveq1d 7438	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
28	16, 27	eqtr2d 2798	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∩ cint 4910   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  lecple 17353  occoc 17354  joincjn 18403  meetcmee 18404  HLchlt 40210  LHypclh 40844  LTrncltrn 40961  DIsoAcdia 41888  ocAcocaN 41979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-riotaBAD 39813

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8274  df-map 8831  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-oposet 40036  df-ol 40038  df-oml 40039  df-covers 40126  df-ats 40127  df-atl 40158  df-cvlat 40182  df-hlat 40211  df-llines 40358  df-lplanes 40359  df-lvols 40360  df-lines 40361  df-psubsp 40363  df-pmap 40364  df-padd 40656  df-lhyp 40848  df-laut 40849  df-ldil 40964  df-ltrn 40965  df-trl 41019  df-disoa 41889  df-docaN 41980

This theorem is used by:  doca2N  41986  djajN  41997