Theorem diaocN 42183

Description: Value of partial isomorphism A at lattice orthocomplement (using a Sasaki projection to get orthocomplement relative to the fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaoc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
diaoc.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diaoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
diaoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaoc.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.n	⊢ 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaocN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem diaocN

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		diaoc.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diaoc.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	diadmclN 42095	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	6, 3, 4	diadmleN 42096	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
8		diaoc.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 6, 3, 8, 4	diass 42100	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
10	1, 5, 7, 9	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
11		diaoc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		diaoc.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13		diaoc.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
14		diaoc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
15	11, 12, 13, 3, 8, 4, 14	docavalN 42181	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
16	10, 15	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
17	3, 4	diaclN 42108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
18		intmin 4927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼 → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼‘𝑋))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼‘𝑋))
20	19	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧}) = (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))
21	3, 4	diaf11N 42107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
22		f1ocnvfv1 7284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
23	21, 22	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
24	20, 23	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧}) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) = ( ⊥ ‘𝑋))
26	25	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)))
27	26	fvoveq1d 7442	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
28	16, 27	eqtr2d 2796	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  occoc 17436  joincjn 18485  meetcmee 18486  HLchlt 40408  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  DIsoAcdia 42086  ocAcocaN 42177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-riotaBAD 40011

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8290  df-map 8849  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-llines 40556  df-lplanes 40557  df-lvols 40558  df-lines 40559  df-psubsp 40561  df-pmap 40562  df-padd 40854  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217  df-disoa 42087  df-docaN 42178

This theorem is used by:  doca2N  42184  djajN  42195