Theorem diaocN 41632

Description: Value of partial isomorphism A at lattice orthocomplement (using a Sasaki projection to get orthocomplement relative to the fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaoc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
diaoc.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diaoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
diaoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaoc.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.n	⊢ 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaocN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem diaocN

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		diaoc.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		diaoc.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	diadmclN 41544	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	6, 3, 4	diadmleN 41545	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
8		diaoc.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 6, 3, 8, 4	diass 41549	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
10	1, 5, 7, 9	syl12anc 843	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇)
11		diaoc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		diaoc.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13		diaoc.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
14		diaoc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
15	11, 12, 13, 3, 8, 4, 14	docavalN 41630	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
16	10, 15	syldan 598	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
17	3, 4	diaclN 41557	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
18		intmin 4901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼 → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼‘𝑋))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼‘𝑋))
20	19	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧}) = (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))
21	3, 4	diaf11N 41556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
22		f1ocnvfv1 7224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
23	21, 22	sylan 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
24	20, 23	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧}) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) = ( ⊥ ‘𝑋))
26	25	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)))
27	26	fvoveq1d 7382	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑧})) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)))
28	16, 27	eqtr2d 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑊)) ∧ 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393   ⊆ wss 3885  ∩ cint 4880   class class class wbr 5075  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  ran crn 5622  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  lecple 17222  occoc 17223  joincjn 18272  meetcmee 18273  HLchlt 39857  LHypclh 40491  LTrncltrn 40608  DIsoAcdia 41535  ocAcocaN 41626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-riotaBAD 39460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-undef 8217  df-map 8769  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-llines 40005  df-lplanes 40006  df-lvols 40007  df-lines 40008  df-psubsp 40010  df-pmap 40011  df-padd 40303  df-lhyp 40495  df-laut 40496  df-ldil 40611  df-ltrn 40612  df-trl 40666  df-disoa 41536  df-docaN 41627

This theorem is referenced by:  doca2N  41633  djajN  41644