Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaocN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaocN 39591
Description: Value of partial isomorphism A at lattice orthocomplement (using a Sasaki projection to get orthocomplement relative to the fiducial co-atom π‘Š). (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diaoc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
diaoc.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
diaoc.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
diaoc.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
diaoc.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
diaoc.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
diaoc.n 𝑁 = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
diaocN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) ∧ π‘Š)) = (π‘β€˜(πΌβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem diaocN
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 diaoc.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 diaoc.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4diadmclN 39503 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 eqid 2737 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
76, 3, 4diadmleN 39504 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š)
8 diaoc.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
92, 6, 3, 8, 4diass 39508 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑇)
101, 5, 7, 9syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑇)
11 diaoc.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 diaoc.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 diaoc.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
14 diaoc.n . . . 4 𝑁 = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1511, 12, 13, 3, 8, 4, 14docavalN 39589 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑇) β†’ (π‘β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜((( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧})) ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) ∧ π‘Š)))
1610, 15syldan 592 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (π‘β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜((( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧})) ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) ∧ π‘Š)))
173, 4diaclN 39516 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
18 intmin 4930 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼 β†’ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧} = (πΌβ€˜π‘‹))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧} = (πΌβ€˜π‘‹))
2019fveq2d 6847 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧}) = (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)))
213, 4diaf11N 39515 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
22 f1ocnvfv1 7223 . . . . . . 7 ((𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2321, 22sylan 581 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2420, 23eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧}) = 𝑋)
2524fveq2d 6847 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧})) = ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
2625oveq1d 7373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧})) ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)))
2726fvoveq1d 7380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜βˆ© {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑧})) ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) ∧ π‘Š)) = (πΌβ€˜((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) ∧ π‘Š)))
2816, 27eqtr2d 2778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) ∧ π‘Š)) = (π‘β€˜(πΌβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408   βŠ† wss 3911  βˆ© cint 4908   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  occoc 17142  joincjn 18201  meetcmee 18202  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  DIsoAcdia 39494  ocAcocaN 39585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-disoa 39495  df-docaN 39586
This theorem is referenced by:  doca2N  39592  djajN  39603
  Copyright terms: Public domain W3C validator