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Theorem djajN 39603
Description: Transfer lattice join to DVecA partial vector space closed subspace join. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 29, with closed subspace join rather than subspace sum. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaj.k ∨ = (joinβ€˜πΎ)
djaj.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
djaj.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djaj.j 𝐽 = ((vAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
djajN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem djajN
StepHypRef Expression
1 hllat 37828 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 hlop 37827 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
43ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 djaj.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 djaj.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
85, 6, 7diadmclN 39503 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
98adantrr 716 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
115, 10opoccl 37659 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
124, 9, 11syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
135, 6lhpbase 38464 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1413ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
155, 10opoccl 37659 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
164, 14, 15syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 djaj.k . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
185, 17latjcl 18329 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 12, 16, 18syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
215, 20latmcl 18330 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
222, 19, 14, 21syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
235, 6, 7diadmclN 39503 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2423adantrl 715 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
255, 10opoccl 37659 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
264, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
275, 17latjcl 18329 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
282, 26, 16, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
295, 20latmcl 18330 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
302, 28, 14, 29syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
315, 20latmcl 18330 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
322, 22, 30, 31syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
33 eqid 2737 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
345, 33, 20latmle2 18355 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
352, 22, 30, 34syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
365, 33, 20latmle2 18355 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
372, 28, 14, 36syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
385, 33, 2, 32, 30, 14, 35, 37lattrd 18336 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)π‘Š)
395, 33, 6, 7diaeldm 39502 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ dom 𝐼 ↔ ((((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
4039adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ dom 𝐼 ↔ ((((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
4132, 38, 40mpbir2and 712 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ dom 𝐼)
42 eqid 2737 . . . 4 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
43 eqid 2737 . . . 4 ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4417, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 39591 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
4541, 44syldan 592 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
46 hloml 37822 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OML)
4746ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ OML)
485, 17latjcl 18329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
492, 9, 24, 48syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5033, 6, 7diadmleN 39504 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š)
5150adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š)
5233, 6, 7diadmleN 39504 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š)
5352adantrl 715 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š)
545, 33, 17latjle12 18340 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
552, 9, 24, 14, 54syl13anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
5651, 53, 55mpbi2and 711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
575, 33, 17, 20, 10omlspjN 37726 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
5847, 49, 14, 56, 57syl121anc 1376 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
595, 17latjidm 18352 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
602, 16, 59syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
6160oveq2d 7374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
625, 17latjass 18373 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
632, 49, 16, 16, 62syl13anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
64 hlol 37826 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
665, 17, 20, 10oldmm2 37683 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
6765, 49, 14, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
685, 17, 20, 10oldmj1 37686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
6965, 9, 24, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
705, 33, 20latleeqm1 18357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑋))
712, 9, 14, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑋))
7251, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑋)
7372fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
745, 17, 20, 10oldmm1 37682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
7565, 9, 14, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
7673, 75eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
775, 33, 20latleeqm1 18357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Œ))
782, 24, 14, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Œ))
7953, 78mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Œ)
8079fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))
815, 17, 20, 10oldmm1 37682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
8265, 24, 14, 81syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
8380, 82eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
8476, 83oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
8569, 84eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
8685oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
875, 20latmmdir 37700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
8865, 19, 28, 14, 87syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
8986, 88eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
9089fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
9167, 90eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
9291oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
9363, 92eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
9461, 93eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
9594oveq1d 7373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
9658, 95eqtr3d 2779 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
9796fveq2d 6847 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
98 simpl 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
996, 7diaclN 39516 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
10099adantrr 716 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
1016, 42, 7diaelrnN 39511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
102100, 101syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
1036, 7diaclN 39516 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
104103adantrl 715 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
1056, 42, 7diaelrnN 39511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
106104, 105syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
107 djaj.j . . . . 5 𝐽 = ((vAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1086, 42, 7, 43, 107djavalN 39601 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))))
10998, 102, 106, 108syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))))
1105, 33, 20latmle2 18355 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
1112, 19, 14, 110syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
1125, 33, 6, 7diaeldm 39502 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
113112adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
11422, 111, 113mpbir2and 712 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼)
1155, 33, 6, 7diaeldm 39502 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
116115adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
11730, 37, 116mpbir2and 712 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼)
11820, 6, 7diameetN 39522 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∩ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
11998, 114, 117, 118syl12anc 836 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∩ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
12017, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 39591 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)))
121120adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)))
12217, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 39591 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))
123122adantrl 715 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))
124121, 123ineq12d 4174 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∩ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ))))
125119, 124eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ))))
126125fveq2d 6847 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))))
127109, 126eqtr4d 2780 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
12845, 97, 1273eqtr4d 2787 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  occoc 17142  joincjn 18201  meetcmee 18202  Latclat 18321  OPcops 37637  OLcol 37639  OMLcoml 37640  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  DIsoAcdia 39494  ocAcocaN 39585  vAcdjaN 39597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-cmtN 37642  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-disoa 39495  df-docaN 39586  df-djaN 39598
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