Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djajN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djajN 38888
Description: Transfer lattice join to DVecA partial vector space closed subspace join. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 29, with closed subspace join rather than subspace sum. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaj.k = (join‘𝐾)
djaj.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djaj.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
djaj.j 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
djajN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)))

Proof of Theorem djajN
StepHypRef Expression
1 hllat 37114 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 hlop 37113 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
43ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ OP)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 djaj.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 djaj.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
85, 6, 7diadmclN 38788 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
98adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
115, 10opoccl 36945 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
124, 9, 11syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
135, 6lhpbase 37749 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1413ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
155, 10opoccl 36945 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
164, 14, 15syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
17 djaj.k . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
185, 17latjcl 17945 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
192, 12, 16, 18syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
215, 20latmcl 17946 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
222, 19, 14, 21syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
235, 6, 7diadmclN 38788 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
2423adantrl 716 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
255, 10opoccl 36945 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
264, 24, 25syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
275, 17latjcl 17945 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
282, 26, 16, 27syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
295, 20latmcl 17946 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
302, 28, 14, 29syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
315, 20latmcl 17946 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
322, 22, 30, 31syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
33 eqid 2737 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
345, 33, 20latmle2 17971 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))
352, 22, 30, 34syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))
365, 33, 20latmle2 17971 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)
372, 28, 14, 36syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)
385, 33, 2, 32, 30, 14, 35, 37lattrd 17952 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)𝑊)
395, 33, 6, 7diaeldm 38787 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ dom 𝐼 ↔ ((((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)𝑊)))
4039adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ dom 𝐼 ↔ ((((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)𝑊)))
4132, 38, 40mpbir2and 713 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ dom 𝐼)
42 eqid 2737 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43 eqid 2737 . . . 4 ((ocA‘𝐾)‘𝑊) = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
4417, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 38876 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))))
4541, 44syldan 594 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))))
46 hloml 37108 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
4746ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ OML)
485, 17latjcl 17945 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
492, 9, 24, 48syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
5033, 6, 7diadmleN 38789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
5150adantrr 717 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
5233, 6, 7diadmleN 38789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑌(le‘𝐾)𝑊)
5352adantrl 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑌(le‘𝐾)𝑊)
545, 33, 17latjle12 17956 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑊𝑌(le‘𝐾)𝑊) ↔ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊))
552, 9, 24, 14, 54syl13anc 1374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑊𝑌(le‘𝐾)𝑊) ↔ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊))
5651, 53, 55mpbi2and 712 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊)
575, 33, 17, 20, 10omlspjN 37012 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) = (𝑋 𝑌))
5847, 49, 14, 56, 57syl121anc 1377 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) = (𝑋 𝑌))
595, 17latjidm 17968 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
602, 16, 59syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
6160oveq2d 7229 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋 𝑌) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊))) = ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
625, 17latjass 17989 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((𝑋 𝑌) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
632, 49, 16, 16, 62syl13anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((𝑋 𝑌) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
64 hlol 37112 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
6564ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ OL)
665, 17, 20, 10oldmm2 36969 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊)) = ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
6765, 49, 14, 66syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊)) = ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
685, 17, 20, 10oldmj1 36972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))
6965, 9, 24, 68syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))
705, 33, 20latleeqm1 17973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑋))
712, 9, 14, 70syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑋))
7251, 71mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑋)
7372fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
745, 17, 20, 10oldmm1 36968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
7565, 9, 14, 74syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
7673, 75eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
775, 33, 20latleeqm1 17973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑌(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑌))
782, 24, 14, 77syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑌(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑌(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑌))
7953, 78mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑌(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑌)
8079fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌(meet‘𝐾)𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑌))
815, 17, 20, 10oldmm1 36968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌(meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
8265, 24, 14, 81syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌(meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
8380, 82eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
8476, 83oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
8569, 84eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
8685oveq1d 7228 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊) = (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
875, 20latmmdir 36986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) = (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))
8865, 19, 28, 14, 87syl13anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) = (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))
8986, 88eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊) = (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))
9089fveq2d 6721 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))))
9167, 90eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))))
9291oveq1d 7228 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
9363, 92eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋 𝑌) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
9461, 93eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
9594oveq1d 7228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) = ((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))
9658, 95eqtr3d 2779 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 𝑌) = ((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))
9796fveq2d 6721 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))
98 simpl 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
996, 7diaclN 38801 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼)
10099adantrr 717 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼)
1016, 42, 7diaelrnN 38796 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
102100, 101syldan 594 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
1036, 7diaclN 38801 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑌) ∈ ran 𝐼)
104103adantrl 716 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼𝑌) ∈ ran 𝐼)
1056, 42, 7diaelrnN 38796 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑌) ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑌) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
106104, 105syldan 594 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼𝑌) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
107 djaj.j . . . . 5 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
1086, 42, 7, 43, 107djavalN 38886 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝐼𝑌) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
10998, 102, 106, 108syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
1105, 33, 20latmle2 17971 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)
1112, 19, 14, 110syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)
1125, 33, 6, 7diaeldm 38787 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)))
113112adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)))
11422, 111, 113mpbir2and 713 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼)
1155, 33, 6, 7diaeldm 38787 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)))
116115adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)))
11730, 37, 116mpbir2and 713 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼)
11820, 6, 7diameetN 38807 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∩ (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))))
11998, 114, 117, 118syl12anc 837 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∩ (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))))
12017, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 38876 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)))
121120adantrr 717 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)))
12217, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 38876 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))
123122adantrl 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))
124121, 123ineq12d 4128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∩ (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) = ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌))))
125119, 124eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) = ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌))))
126125fveq2d 6721 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
127109, 126eqtr4d 2780 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))))
12845, 97, 1273eqtr4d 2787 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cin 3865  wss 3866   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ran crn 5552  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  occoc 16810  joincjn 17818  meetcmee 17819  Latclat 17937  OPcops 36923  OLcol 36925  OMLcoml 36926  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  DIsoAcdia 38779  ocAcocaN 38870  vAcdjaN 38882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-riotaBAD 36704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-undef 8015  df-map 8510  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-cmtN 36928  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-disoa 38780  df-docaN 38871  df-djaN 38883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator