Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djajN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djajN 41139
Description: Transfer lattice join to DVecA partial vector space closed subspace join. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 29, with closed subspace join rather than subspace sum. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaj.k = (join‘𝐾)
djaj.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djaj.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
djaj.j 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
djajN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)))

Proof of Theorem djajN
StepHypRef Expression
1 hllat 39364 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 hlop 39363 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
43ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ OP)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 djaj.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 djaj.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
85, 6, 7diadmclN 41039 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
98adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
115, 10opoccl 39195 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
124, 9, 11syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
135, 6lhpbase 40000 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1413ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
155, 10opoccl 39195 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
164, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
17 djaj.k . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
185, 17latjcl 18484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
192, 12, 16, 18syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
215, 20latmcl 18485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
222, 19, 14, 21syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
235, 6, 7diadmclN 41039 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
2423adantrl 716 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
255, 10opoccl 39195 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
264, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
275, 17latjcl 18484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
282, 26, 16, 27syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
295, 20latmcl 18485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
302, 28, 14, 29syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
315, 20latmcl 18485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
322, 22, 30, 31syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
33 eqid 2737 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
345, 33, 20latmle2 18510 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))
352, 22, 30, 34syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))
365, 33, 20latmle2 18510 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)
372, 28, 14, 36syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)
385, 33, 2, 32, 30, 14, 35, 37lattrd 18491 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)𝑊)
395, 33, 6, 7diaeldm 41038 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ dom 𝐼 ↔ ((((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)𝑊)))
4039adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ dom 𝐼 ↔ ((((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))(le‘𝐾)𝑊)))
4132, 38, 40mpbir2and 713 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ dom 𝐼)
42 eqid 2737 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43 eqid 2737 . . . 4 ((ocA‘𝐾)‘𝑊) = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
4417, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 41127 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))))
4541, 44syldan 591 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))))
46 hloml 39358 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
4746ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ OML)
485, 17latjcl 18484 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
492, 9, 24, 48syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
5033, 6, 7diadmleN 41040 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
5150adantrr 717 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
5233, 6, 7diadmleN 41040 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑌(le‘𝐾)𝑊)
5352adantrl 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑌(le‘𝐾)𝑊)
545, 33, 17latjle12 18495 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑊𝑌(le‘𝐾)𝑊) ↔ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊))
552, 9, 24, 14, 54syl13anc 1374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑊𝑌(le‘𝐾)𝑊) ↔ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊))
5651, 53, 55mpbi2and 712 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊)
575, 33, 17, 20, 10omlspjN 39262 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑊) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) = (𝑋 𝑌))
5847, 49, 14, 56, 57syl121anc 1377 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) = (𝑋 𝑌))
595, 17latjidm 18507 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
602, 16, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
6160oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋 𝑌) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊))) = ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
625, 17latjass 18528 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((𝑋 𝑌) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
632, 49, 16, 16, 62syl13anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((𝑋 𝑌) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
64 hlol 39362 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
6564ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ OL)
665, 17, 20, 10oldmm2 39219 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊)) = ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
6765, 49, 14, 66syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊)) = ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
685, 17, 20, 10oldmj1 39222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))
6965, 9, 24, 68syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))
705, 33, 20latleeqm1 18512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑋))
712, 9, 14, 70syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑋))
7251, 71mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑋)
7372fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
745, 17, 20, 10oldmm1 39218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
7565, 9, 14, 74syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
7673, 75eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
775, 33, 20latleeqm1 18512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑌(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑌))
782, 24, 14, 77syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑌(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑌(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑌))
7953, 78mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑌(meet‘𝐾)𝑊) = 𝑌)
8079fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌(meet‘𝐾)𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑌))
815, 17, 20, 10oldmm1 39218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌(meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
8265, 24, 14, 81syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌(meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
8380, 82eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
8476, 83oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
8569, 84eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
8685oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊) = (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
875, 20latmmdir 39236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) = (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))
8865, 19, 28, 14, 87syl13anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) = (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))
8986, 88eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊) = (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))
9089fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))(meet‘𝐾)𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))))
9167, 90eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))))
9291oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
9363, 92eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋 𝑌) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
9461, 93eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
9594oveq1d 7446 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((𝑋 𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) = ((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))
9658, 95eqtr3d 2779 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 𝑌) = ((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))
9796fveq2d 6910 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))
98 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
996, 7diaclN 41052 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼)
10099adantrr 717 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼)
1016, 42, 7diaelrnN 41047 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
102100, 101syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
1036, 7diaclN 41052 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑌) ∈ ran 𝐼)
104103adantrl 716 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼𝑌) ∈ ran 𝐼)
1056, 42, 7diaelrnN 41047 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑌) ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑌) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
106104, 105syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼𝑌) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
107 djaj.j . . . . 5 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
1086, 42, 7, 43, 107djavalN 41137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝐼𝑌) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
10998, 102, 106, 108syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
1105, 33, 20latmle2 18510 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)
1112, 19, 14, 110syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)
1125, 33, 6, 7diaeldm 41038 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)))
113112adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)))
11422, 111, 113mpbir2and 713 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼)
1155, 33, 6, 7diaeldm 41038 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)))
116115adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(le‘𝐾)𝑊)))
11730, 37, 116mpbir2and 713 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼)
11820, 6, 7diameetN 41058 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∩ (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))))
11998, 114, 117, 118syl12anc 837 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∩ (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))))
12017, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 41127 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)))
121120adantrr 717 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)))
12217, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 41127 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))
123122adantrl 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))
124121, 123ineq12d 4221 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)) ∩ (𝐼‘((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) = ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌))))
125119, 124eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊))) = ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌))))
126125fveq2d 6910 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
127109, 126eqtr4d 2780 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)(meet‘𝐾)((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))(meet‘𝐾)𝑊)))))
12845, 97, 1273eqtr4d 2787 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  occoc 17305  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476  OPcops 39173  OLcol 39175  OMLcoml 39176  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  DIsoAcdia 41030  ocAcocaN 41121  vAcdjaN 41133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-cmtN 39178  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-disoa 41031  df-docaN 41122  df-djaN 41134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator