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Theorem djajN 40008
Description: Transfer lattice join to DVecA partial vector space closed subspace join. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 29, with closed subspace join rather than subspace sum. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaj.k ∨ = (joinβ€˜πΎ)
djaj.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
djaj.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djaj.j 𝐽 = ((vAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
djajN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem djajN
StepHypRef Expression
1 hllat 38233 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 hlop 38232 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
43ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 djaj.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 djaj.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
85, 6, 7diadmclN 39908 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
98adantrr 716 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
115, 10opoccl 38064 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
124, 9, 11syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
135, 6lhpbase 38869 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1413ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
155, 10opoccl 38064 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
164, 14, 15syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 djaj.k . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
185, 17latjcl 18392 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 12, 16, 18syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 eqid 2733 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
215, 20latmcl 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
222, 19, 14, 21syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
235, 6, 7diadmclN 39908 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2423adantrl 715 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
255, 10opoccl 38064 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
264, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
275, 17latjcl 18392 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
282, 26, 16, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
295, 20latmcl 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
302, 28, 14, 29syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
315, 20latmcl 18393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
322, 22, 30, 31syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
33 eqid 2733 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
345, 33, 20latmle2 18418 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
352, 22, 30, 34syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
365, 33, 20latmle2 18418 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
372, 28, 14, 36syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
385, 33, 2, 32, 30, 14, 35, 37lattrd 18399 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)π‘Š)
395, 33, 6, 7diaeldm 39907 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ dom 𝐼 ↔ ((((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
4039adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ dom 𝐼 ↔ ((((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
4132, 38, 40mpbir2and 712 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ dom 𝐼)
42 eqid 2733 . . . 4 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
43 eqid 2733 . . . 4 ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4417, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 39996 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
4541, 44syldan 592 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
46 hloml 38227 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OML)
4746ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ OML)
485, 17latjcl 18392 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
492, 9, 24, 48syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5033, 6, 7diadmleN 39909 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š)
5150adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š)
5233, 6, 7diadmleN 39909 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š)
5352adantrl 715 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š)
545, 33, 17latjle12 18403 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
552, 9, 24, 14, 54syl13anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
5651, 53, 55mpbi2and 711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
575, 33, 17, 20, 10omlspjN 38131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
5847, 49, 14, 56, 57syl121anc 1376 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
595, 17latjidm 18415 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
602, 16, 59syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
6160oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
625, 17latjass 18436 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
632, 49, 16, 16, 62syl13anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
64 hlol 38231 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
665, 17, 20, 10oldmm2 38088 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
6765, 49, 14, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
685, 17, 20, 10oldmj1 38091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
6965, 9, 24, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
705, 33, 20latleeqm1 18420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑋))
712, 9, 14, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑋))
7251, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = 𝑋)
7372fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
745, 17, 20, 10oldmm1 38087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
7565, 9, 14, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
7673, 75eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
775, 33, 20latleeqm1 18420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Œ))
782, 24, 14, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Š ↔ (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Œ))
7953, 78mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Œ)
8079fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))
815, 17, 20, 10oldmm1 38087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
8265, 24, 14, 81syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
8380, 82eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
8476, 83oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
8569, 84eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
8685oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
875, 20latmmdir 38105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
8865, 19, 28, 14, 87syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
8986, 88eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
9089fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
9167, 90eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
9291oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
9363, 92eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
9461, 93eqtr3d 2775 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
9594oveq1d 7424 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
9658, 95eqtr3d 2775 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
9796fveq2d 6896 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
98 simpl 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
996, 7diaclN 39921 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
10099adantrr 716 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
1016, 42, 7diaelrnN 39916 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
102100, 101syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
1036, 7diaclN 39921 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
104103adantrl 715 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
1056, 42, 7diaelrnN 39916 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
106104, 105syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
107 djaj.j . . . . 5 𝐽 = ((vAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1086, 42, 7, 43, 107djavalN 40006 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))))
10998, 102, 106, 108syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))))
1105, 33, 20latmle2 18418 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
1112, 19, 14, 110syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
1125, 33, 6, 7diaeldm 39907 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
113112adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
11422, 111, 113mpbir2and 712 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼)
1155, 33, 6, 7diaeldm 39907 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
116115adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ↔ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
11730, 37, 116mpbir2and 712 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼)
11820, 6, 7diameetN 39927 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼 ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∩ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
11998, 114, 117, 118syl12anc 836 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∩ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
12017, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 39996 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)))
121120adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)))
12217, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 39996 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))
123122adantrl 715 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))
124121, 123ineq12d 4214 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∩ (πΌβ€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ))))
125119, 124eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) = ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ))))
126125fveq2d 6896 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜π‘Œ)))))
127109, 126eqtr4d 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(πΌβ€˜(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
12845, 97, 1273eqtr4d 2783 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹)𝐽(πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  occoc 17205  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  OPcops 38042  OLcol 38044  OMLcoml 38045  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  DIsoAcdia 39899  ocAcocaN 39990  vAcdjaN 40002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-cmtN 38047  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-disoa 39900  df-docaN 39991  df-djaN 40003
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