Theorem diameetN 41628

Description: Partial isomorphism A of a lattice meet. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diam.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diam.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diameetN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem diameetN

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		diam.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simpll 774	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ HL)
4		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		diam.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		diam.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	diadmclN 41609	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9	4, 5, 6	diadmclN 41609	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
10	9	adantrl 724	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
11	1, 2, 3, 8, 10	meetval 18397	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
12	11	fveq2d 6860	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
13		simpl 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		prssi 4773	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼)
15	14	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼)
16		prnzg 4731	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐼 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
17	16	ad2antrl 736	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
18	1, 5, 6	diaglbN 41627	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥))
19	13, 15, 17, 18	syl12anc 845	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥))
20		fveq2 6856	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑋))
21		fveq2 6856	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑌))
22	20, 21	iinxprg 5040	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
23	22	adantl 484	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
24	12, 19, 23	3eqtrd 2795	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  {cpr 4578  ∩ ciin 4944  dom cdm 5640  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  glbcglb 18318  meetcmee 18320  HLchlt 39922  LHypclh 40556  DIsoAcdia 41600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-map 8798  df-proset 18302  df-poset 18321  df-plt 18336  df-lub 18352  df-glb 18353  df-join 18354  df-meet 18355  df-p0 18431  df-p1 18432  df-lat 18440  df-clat 18507  df-oposet 39748  df-ol 39750  df-oml 39751  df-covers 39838  df-ats 39839  df-atl 39870  df-cvlat 39894  df-hlat 39923  df-lhyp 40560  df-laut 40561  df-ldil 40676  df-ltrn 40677  df-trl 40731  df-disoa 41601

This theorem is referenced by:  diainN  41629  djajN  41709