Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diameetN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diameetN 39522
Description: Partial isomorphism A of a lattice meet. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
diam.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
diam.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
diameetN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem diameetN
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
2 diam.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 simpll 766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 diam.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 diam.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
74, 5, 6diadmclN 39503 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
87adantrr 716 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
94, 5, 6diadmclN 39503 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
109adantrl 715 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
111, 2, 3, 8, 10meetval 18281 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1211fveq2d 6847 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})))
13 simpl 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14 prssi 4782 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom 𝐼)
1514adantl 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom 𝐼)
16 prnzg 4740 . . . 4 (𝑋 ∈ dom 𝐼 β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
1716ad2antrl 727 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
181, 5, 6diaglbN 39521 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, π‘Œ} βŠ† dom 𝐼 ∧ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯))
1913, 15, 17, 18syl12anc 836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯))
20 fveq2 6843 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘‹))
21 fveq2 6843 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘Œ))
2220, 21iinxprg 5050 . . 3 ((𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
2322adantl 483 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
2412, 19, 233eqtrd 2781 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {cpr 4589  βˆ© ciin 4956  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  glbcglb 18200  meetcmee 18202  HLchlt 37815  LHypclh 38450  DIsoAcdia 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-disoa 39495
This theorem is referenced by:  diainN  39523  djajN  39603
  Copyright terms: Public domain W3C validator