Theorem diameetN 41013

Description: Partial isomorphism A of a lattice meet. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diam.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
diam.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diameetN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem diameetN

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		diam.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ HL)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		diam.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		diam.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	diadmclN 40994	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantrr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9	4, 5, 6	diadmclN 40994	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
10	9	adantrl 715	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
11	1, 2, 3, 8, 10	meetval 18461	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
12	11	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
13		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		prssi 4846	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼)
16		prnzg 4803	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐼 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
17	16	ad2antrl 727	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
18	1, 5, 6	diaglbN 41012	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥))
19	13, 15, 17, 18	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥))
20		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑋))
21		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑌))
22	20, 21	iinxprg 5112	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
23	22	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
24	12, 19, 23	3eqtrd 2784	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {cpr 4650  ∩ ciin 5016  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  glbcglb 18380  meetcmee 18382  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DIsoAcdia 40985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-disoa 40986

This theorem is referenced by:  diainN  41014  djajN  41094