Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diameetN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diameetN 40440
Description: Partial isomorphism A of a lattice meet. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
diam.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
diam.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
diameetN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem diameetN
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
2 diam.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 simpll 764 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 diam.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 diam.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
74, 5, 6diadmclN 40421 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
87adantrr 714 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
94, 5, 6diadmclN 40421 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
109adantrl 713 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
111, 2, 3, 8, 10meetval 18356 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1211fveq2d 6889 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})))
13 simpl 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14 prssi 4819 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom 𝐼)
1514adantl 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom 𝐼)
16 prnzg 4777 . . . 4 (𝑋 ∈ dom 𝐼 β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
1716ad2antrl 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
181, 5, 6diaglbN 40439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, π‘Œ} βŠ† dom 𝐼 ∧ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯))
1913, 15, 17, 18syl12anc 834 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯))
20 fveq2 6885 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘‹))
21 fveq2 6885 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘Œ))
2220, 21iinxprg 5085 . . 3 ((𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
2322adantl 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
2412, 19, 233eqtrd 2770 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ dom 𝐼)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {cpr 4625  βˆ© ciin 4991  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  glbcglb 18275  meetcmee 18277  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DIsoAcdia 40412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-disoa 40413
This theorem is referenced by:  diainN  40441  djajN  40521
  Copyright terms: Public domain W3C validator