Theorem dirkerval 46371

Description: The N_th Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirkerval.1	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Assertion

Ref	Expression
dirkerval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑁)
2	1	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑁))
3	2	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
4	3	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
5	1	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
6	5	fvoveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
7	6	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8	4, 7	ifeq12d 4502	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
9	8	mpteq2dva 5192	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
10		dirkerval.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
11		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑛 = 𝑚)
12	11	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
13	12	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑚) + 1))
14	13	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)))
15	11	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
16	15	fvoveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
17	16	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
18	14, 17	ifeq12d 4502	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
19	18	mpteq2dva 5192	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
20	19	cbvmptv 5203	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
21	10, 20	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
22		reex 11121	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	mptex 7171	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ V
24	9, 21, 23	fvmpt 6942	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   / cdiv 11798  ℕcn 12149  2c2 12204   mod cmo 13793  sincsin 15990  πcpi 15993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  dirkerval2  46374  dirkerf  46377  dirkertrigeq  46381  dirkercncflem2  46384  dirkercncflem4  46386