Theorem dirkerval 46106

Description: The N_th Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirkerval.1	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Assertion

Ref	Expression
dirkerval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑁)
2	1	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑁))
3	2	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
4	3	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
5	1	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
6	5	fvoveq1d 7453	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
7	6	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8	4, 7	ifeq12d 4547	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
9	8	mpteq2dva 5242	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
10		dirkerval.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
11		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑛 = 𝑚)
12	11	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
13	12	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑚) + 1))
14	13	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)))
15	11	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
16	15	fvoveq1d 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
17	16	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
18	14, 17	ifeq12d 4547	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
19	18	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
20	19	cbvmptv 5255	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
21	10, 20	eqtri 2765	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
22		reex 11246	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	mptex 7243	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ V
24	9, 21, 23	fvmpt 7016	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321   mod cmo 13909  sincsin 16099  πcpi 16102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  dirkerval2  46109  dirkerf  46112  dirkertrigeq  46116  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121