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Theorem dirkerval 44322
Description: The Nth Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dirkerval.1 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
Assertion
Ref Expression
dirkerval (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑁𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑁)
21oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝑚 = 𝑁𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑁))
32oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝑚 = 𝑁𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
43oveq1d 7372 . . . 4 ((𝑚 = 𝑁𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
51oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝑚 = 𝑁𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
65fvoveq1d 7379 . . . . 5 ((𝑚 = 𝑁𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
76oveq1d 7372 . . . 4 ((𝑚 = 𝑁𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
84, 7ifeq12d 4507 . . 3 ((𝑚 = 𝑁𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
98mpteq2dva 5205 . 2 (𝑚 = 𝑁 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
10 dirkerval.1 . . 3 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
11 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑚𝑠 ∈ ℝ) → 𝑛 = 𝑚)
1211oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑚𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
1312oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑚𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑚) + 1))
1413oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑚𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)))
1511oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑚𝑠 ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
1615fvoveq1d 7379 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑚𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1716oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑚𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
1814, 17ifeq12d 4507 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑚𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
1918mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
2019cbvmptv 5218 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
2110, 20eqtri 2764 . 2 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
22 reex 11142 . . 3 ℝ ∈ V
2322mptex 7173 . 2 (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ V
249, 21, 23fvmpt 6948 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208   mod cmo 13774  sincsin 15946  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360
This theorem is referenced by:  dirkerval2  44325  dirkerf  44328  dirkertrigeq  44332  dirkercncflem2  44335  dirkercncflem4  44337
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