Theorem dirkerval 46046

Description: The N_th Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirkerval.1	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Assertion

Ref	Expression
dirkerval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑁)
2	1	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑁))
3	2	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
4	3	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
5	1	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
6	5	fvoveq1d 7452	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
7	6	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8	4, 7	ifeq12d 4551	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
9	8	mpteq2dva 5247	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
10		dirkerval.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
11		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑛 = 𝑚)
12	11	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
13	12	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑚) + 1))
14	13	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)))
15	11	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
16	15	fvoveq1d 7452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
17	16	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
18	14, 17	ifeq12d 4551	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
19	18	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
20	19	cbvmptv 5260	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
21	10, 20	eqtri 2762	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
22		reex 11243	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	mptex 7242	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ V
24	9, 21, 23	fvmpt 7015	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ifcif 4530   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318   mod cmo 13905  sincsin 16095  πcpi 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433

This theorem is referenced by:  dirkerval2  46049  dirkerf  46052  dirkertrigeq  46056  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem4  46061