Theorem dirkerval2 43310

Description: The N_th Dirichlet Kernel evaluated at a specific point 𝑆. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirkerval2.1	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Assertion

Ref	Expression
dirkerval2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑆) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval2

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerval2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
2	1	dirkerval 43307	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
3		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 mod (2 · π)) = (𝑡 mod (2 · π)))
4	3	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑡 mod (2 · π)) = 0))
5		oveq2 7221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡))
6	5	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)))
7		fvoveq1 7236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑡 / 2)))
8	7	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))
9	6, 8	oveq12d 7231	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))
10	4, 9	ifbieq2d 4465	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))))
11	10	cbvmptv 5158	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))))
12	2, 11	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))))
13	12	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝐷‘𝑁) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))))
14		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → 𝑡 = 𝑆)
15	14	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (𝑡 mod (2 · π)) = (𝑆 mod (2 · π)))
16	15	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((𝑡 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 mod (2 · π)) = 0))
17	14	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆))
18	17	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)))
19	14	fvoveq1d 7235	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑆 / 2)))
20	19	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))
21	18, 20	oveq12d 7231	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))))
22	16, 21	ifbieq2d 4465	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))
23		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
24		2re 11904	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26		nnre 11837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	25, 26	remulcld 10863	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
28		1red 10834	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	readdcld 10862	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
30		pire 25348	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
32	25, 31	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ)
33		2cnd 11908	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
34	31	recnd 10861	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
35		2pos 11933	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
37	36	gt0ne0d 11396	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
38		pipos 25350	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < π)
40	39	gt0ne0d 11396	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → π ≠ 0)
41	33, 34, 37, 40	mulne0d 11484	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ≠ 0)
42	29, 32, 41	redivcld 11660	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ℝ)
43	42	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ℝ)
44		dirker2re 43308	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)
45	43, 44	ifclda 4474	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))) ∈ ℝ)
46	13, 22, 23, 45	fvmptd 6825	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑆) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ifcif 4439   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867   / cdiv 11489  ℕcn 11830  2c2 11885   mod cmo 13442  sincsin 15625  πcpi 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764

This theorem is referenced by:  dirkerre  43311  dirkerper  43312  dirkerf  43313  dirkercncflem2  43320  fourierdlem66  43388