Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkerval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkerval2 44810
Description: The Nth Dirichlet Kernel evaluated at a specific point 𝑆. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dirkerval2.1 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
Assertion
Ref Expression
dirkerval2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘†) = if((𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2))))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkerval2.1 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
21dirkerval 44807 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
3 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = (𝑑 mod (2 Β· Ο€)))
43eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑑 mod (2 Β· Ο€)) = 0))
5 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑))
65fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))
7 fvoveq1 7432 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) = (sinβ€˜(𝑑 / 2)))
87oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))
96, 8oveq12d 7427 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))
104, 9ifbieq2d 4555 . . . . 5 (𝑠 = 𝑑 β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = if((𝑑 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))))
1110cbvmptv 5262 . . . 4 (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if((𝑑 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))))
122, 11eqtrdi 2789 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if((𝑑 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))))
1312adantr 482 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if((𝑑 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))))
14 simpr 486 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ 𝑑 = 𝑆)
1514oveq1d 7424 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ (𝑑 mod (2 Β· Ο€)) = (𝑆 mod (2 Β· Ο€)))
1615eqeq1d 2735 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ ((𝑑 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0))
1714oveq2d 7425 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆))
1817fveq2d 6896 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)))
1914fvoveq1d 7431 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ (sinβ€˜(𝑑 / 2)) = (sinβ€˜(𝑆 / 2)))
2019oveq2d 7425 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2))))
2118, 20oveq12d 7427 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2)))))
2216, 21ifbieq2d 4555 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 = 𝑆) β†’ if((𝑑 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) = if((𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2))))))
23 simpr 486 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
24 2re 12286 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
26 nnre 12219 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2725, 26remulcld 11244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
28 1red 11215 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
2927, 28readdcld 11243 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
30 pire 25968 . . . . . . 7 Ο€ ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ ℝ)
3225, 31remulcld 11244 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
33 2cnd 12290 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
3431recnd 11242 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
35 2pos 12315 . . . . . . . 8 0 < 2
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 2)
3736gt0ne0d 11778 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
38 pipos 25970 . . . . . . . 8 0 < Ο€
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < Ο€)
4039gt0ne0d 11778 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
4133, 34, 37, 40mulne0d 11866 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
4229, 32, 41redivcld 12042 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
4342ad2antrr 725 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
44 dirker2re 44808 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)
4543, 44ifclda 4564 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ if((𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2))))) ∈ ℝ)
4613, 22, 23, 45fvmptd 7006 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘†) = if((𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267   mod cmo 13834  sincsin 16007  Ο€cpi 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dirkerre  44811  dirkerper  44812  dirkerf  44813  dirkercncflem2  44820  fourierdlem66  44888
  Copyright terms: Public domain W3C validator