Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkerval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkerval2 46015
Description: The Nth Dirichlet Kernel evaluated at a specific point 𝑆. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dirkerval2.1 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
Assertion
Ref Expression
dirkerval2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑆) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval2
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkerval2.1 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
21dirkerval 46012 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
3 oveq1 7455 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 mod (2 · π)) = (𝑡 mod (2 · π)))
43eqeq1d 2742 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑡 mod (2 · π)) = 0))
5 oveq2 7456 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡))
65fveq2d 6924 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)))
7 fvoveq1 7471 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → (sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑡 / 2)))
87oveq2d 7464 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))
96, 8oveq12d 7466 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))
104, 9ifbieq2d 4574 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))))
1110cbvmptv 5279 . . . 4 (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))))
122, 11eqtrdi 2796 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))))
1312adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝐷𝑁) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))))
14 simpr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → 𝑡 = 𝑆)
1514oveq1d 7463 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (𝑡 mod (2 · π)) = (𝑆 mod (2 · π)))
1615eqeq1d 2742 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((𝑡 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 mod (2 · π)) = 0))
1714oveq2d 7464 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆))
1817fveq2d 6924 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)))
1914fvoveq1d 7470 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑆 / 2)))
2019oveq2d 7464 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))
2118, 20oveq12d 7466 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))))
2216, 21ifbieq2d 4574 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))
23 simpr 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
24 2re 12367 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26 nnre 12300 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2725, 26remulcld 11320 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
28 1red 11291 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
2927, 28readdcld 11319 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
30 pire 26518 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
3225, 31remulcld 11320 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ)
33 2cnd 12371 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3431recnd 11318 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
35 2pos 12396 . . . . . . . 8 0 < 2
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
3736gt0ne0d 11854 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
38 pipos 26520 . . . . . . . 8 0 < π
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < π)
4039gt0ne0d 11854 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → π ≠ 0)
4133, 34, 37, 40mulne0d 11942 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ≠ 0)
4229, 32, 41redivcld 12122 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ℝ)
4342ad2antrr 725 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ℝ)
44 dirker2re 46013 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)
4543, 44ifclda 4583 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))) ∈ ℝ)
4613, 22, 23, 45fvmptd 7036 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑆) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  ifcif 4548   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   / cdiv 11947  cn 12293  2c2 12348   mod cmo 13920  sincsin 16111  πcpi 16114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922
This theorem is referenced by:  dirkerre  46016  dirkerper  46017  dirkerf  46018  dirkercncflem2  46025  fourierdlem66  46093
  Copyright terms: Public domain W3C validator