Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkerval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkerval2 40825
Description: The Nth Dirichlet Kernel evaluated at a specific point 𝑆. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dirkerval2.1 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
Assertion
Ref Expression
dirkerval2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑆) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval2
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkerval2.1 . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
21dirkerval 40822 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
3 oveq1 6802 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 mod (2 · π)) = (𝑡 mod (2 · π)))
43eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑡 mod (2 · π)) = 0))
5 oveq2 6803 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡))
65fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)))
7 fvoveq1 6818 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → (sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑡 / 2)))
87oveq2d 6811 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))
96, 8oveq12d 6813 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))
104, 9ifbieq2d 4251 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))))
1110cbvmptv 4885 . . . 4 (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))))
122, 11syl6eq 2821 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))))
1312adantr 466 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝐷𝑁) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))))
14 simpr 471 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → 𝑡 = 𝑆)
1514oveq1d 6810 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (𝑡 mod (2 · π)) = (𝑆 mod (2 · π)))
1615eqeq1d 2773 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((𝑡 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 mod (2 · π)) = 0))
1714oveq2d 6811 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆))
1817fveq2d 6337 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)))
1914fvoveq1d 6817 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑆 / 2)))
2019oveq2d 6811 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))
2118, 20oveq12d 6813 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))))
2216, 21ifbieq2d 4251 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))
23 simpr 471 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
24 2re 11295 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26 nnre 11232 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2725, 26remulcld 10275 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
28 1red 10260 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
2927, 28readdcld 10274 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
30 pire 24430 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
3225, 31remulcld 10275 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ)
33 2cnd 11298 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3431recnd 10273 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
35 2pos 11317 . . . . . . . 8 0 < 2
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
3736gt0ne0d 10797 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
38 pipos 24432 . . . . . . . 8 0 < π
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < π)
4039gt0ne0d 10797 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → π ≠ 0)
4133, 34, 37, 40mulne0d 10884 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ≠ 0)
4229, 32, 41redivcld 11058 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ℝ)
4342ad2antrr 705 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ℝ)
44 dirker2re 40823 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)
4543, 44ifclda 4260 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))) ∈ ℝ)
4613, 22, 23, 45fvmptd 6432 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑆) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6795  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146   < clt 10279   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275   mod cmo 12875  sincsin 14999  πcpi 15002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  dirkerre  40826  dirkerper  40827  dirkerf  40828  dirkercncflem2  40835  fourierdlem66  40903
  Copyright terms: Public domain W3C validator