Theorem dirkerval2 46103

Description: The N_th Dirichlet Kernel evaluated at a specific point 𝑆. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirkerval2.1	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))

Assertion

Ref	Expression
dirkerval2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑆) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerval2

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerval2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
2	1	dirkerval 46100	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
3		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 mod (2 · π)) = (𝑡 mod (2 · π)))
4	3	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑡 mod (2 · π)) = 0))
5		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡))
6	5	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)))
7		fvoveq1 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑡 / 2)))
8	7	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))
9	6, 8	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))
10	4, 9	ifbieq2d 4532	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))))
11	10	cbvmptv 5230	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))))
12	2, 11	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝐷‘𝑁) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))))))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → 𝑡 = 𝑆)
15	14	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (𝑡 mod (2 · π)) = (𝑆 mod (2 · π)))
16	15	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((𝑡 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 mod (2 · π)) = 0))
17	14	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆))
18	17	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)))
19	14	fvoveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑆 / 2)))
20	19	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))
21	18, 20	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))))
22	16, 21	ifbieq2d 4532	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = 𝑆) → if((𝑡 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑡)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑡 / 2))))) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))
23		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
24		2re 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26		nnre 12252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	25, 26	remulcld 11270	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
28		1red 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	readdcld 11269	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
30		pire 26423	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
32	25, 31	remulcld 11270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ)
33		2cnd 12323	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
34	31	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
35		2pos 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
37	36	gt0ne0d 11806	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
38		pipos 26425	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < π)
40	39	gt0ne0d 11806	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → π ≠ 0)
41	33, 34, 37, 40	mulne0d 11894	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ≠ 0)
42	29, 32, 41	redivcld 12074	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ℝ)
43	42	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ℝ)
44		dirker2re 46101	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)
45	43, 44	ifclda 4541	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))) ∈ ℝ)
46	13, 22, 23, 45	fvmptd 6998	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑆) = if((𝑆 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300   mod cmo 13891  sincsin 16084  πcpi 16087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825

This theorem is referenced by:  dirkerre  46104  dirkerper  46105  dirkerf  46106  dirkercncflem2  46113  fourierdlem66  46181