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Theorem dirkercncflem2 46119
Description: Lemma used to prove that the Dirichlet Kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem2.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem2.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
dirkercncflem2.g 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.yne0 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
dirkercncflem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
dirkercncflem2.i 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.l 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
dirkercncflem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dirkercncflem2.ymod (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
dirkercncflem2.11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷   𝑤,𝐹,𝑦   𝑤,𝐺,𝑦   𝑤,𝐻,𝑦   𝑤,𝐼,𝑦   𝑦,𝐿   𝑤,𝑁,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦   𝑦,𝑛   𝜑,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐿(𝑤,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem2
StepHypRef Expression
1 difss 4136 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
2 ioossre 13448 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
31, 2sstri 3993 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5 dirkercncflem2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℕ)
76nnred 12281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℝ)
8 halfre 12480 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 11290 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
114sselda 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
1210, 11remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℝ)
1312resincld 16179 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℝ)
14 dirkercncflem2.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
1513, 14fmptd 7134 . . 3 (𝜑𝐹:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
16 2re 12340 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
17 pire 26500 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
1816, 17remulcli 11277 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
2011rehalfcld 12513 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
2120resincld 16179 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
2219, 21remulcld 11291 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
23 dirkercncflem2.g . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
2422, 23fmptd 7134 . . 3 (𝜑𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
25 iooretop 24786 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
27 dirkercncflem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28 eqid 2737 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})
2914a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
3029oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
31 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
323, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
3332eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
3534oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
36 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
385nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
39 halfcn 12481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4138, 40addcld 11280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
4337sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
4442, 43mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
4544sincld 16166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
46 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
4745, 46fmptd 7134 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ)
48 ssid 4006 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
4948, 3pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ))
51 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
52 tgioo4 24826 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52dvres 25946 . . . . . . . . 9 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
5437, 47, 50, 53syl21anc 838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
55 retop 24782 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
56 rehaus 24820 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
5727elioored 45562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
58 uniretop 24783 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = (topGen‘ran (,))
5958sncld 23379 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6056, 57, 59sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6158difopn 23042 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6225, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
63 isopn3i 23090 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
6455, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
6564reseq2d 5997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
66 reelprrecn 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6841adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
69 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7068, 69mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
7170sincld 16166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
72 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
7371, 72fmptd 7134 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
74 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
76 dvsinax 45928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
7741, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
7877dmeqd 5916 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
79 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8070coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
8168, 80mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
8279, 81dmmptd 6713 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
8378, 82eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
8436, 83sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
85 dvres3 25948 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
8667, 73, 75, 84, 85syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
87 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8836, 87mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8988oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9077reseq1d 5996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
91 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9236, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
9390, 92eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9486, 89, 933eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9594reseq1d 5996 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
96 resmpt 6055 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
973, 96mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9865, 95, 973eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9935, 54, 983eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
100 dirkercncflem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
102101eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = 𝐻)
10330, 99, 1023eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐻)
104103dmeqd 5916 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐻)
10511recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
106105, 81syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
107100, 106dmmptd 6713 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐻 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
108104, 107eqtr2d 2778 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹))
109 eqimss 4042 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110108, 109syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
111 dirkercncflem2.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
112111a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
113 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
1143, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
115114eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
116115oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
118 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
119 picn 26501 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
120118, 119mulcli 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · π) ∈ ℂ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
12243halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
123122sincld 16166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
124121, 123mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
125 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
126124, 125fmptd 7134 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
12751, 52dvres 25946 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
12837, 126, 50, 127syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
12964reseq2d 5997 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
13036sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
131 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
132 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
134 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
136131, 132, 133, 135div13d 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = ((𝑦 / 2) · 1))
137 halfcl 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
138137mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 / 2) · 1) = (𝑦 / 2))
139136, 138eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = (𝑦 / 2))
140139fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
141140oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
142141eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
143130, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
145144mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
146145oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
147120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (2 · π) ∈ ℂ)
14839a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
149148, 69mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((1 / 2) · 𝑦) ∈ ℂ)
150149sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) ∈ ℂ)
151147, 150mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) ∈ ℂ)
152 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
153151, 152fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ)
154 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
155119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → π ∈ ℂ)
156154, 155mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
157 dvasinbx 45935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 · π) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
158156, 39, 157sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
159 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
160119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → π ∈ ℂ)
161159, 160, 148mul32d 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = ((2 · (1 / 2)) · π))
162134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
163159, 162recidd 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (1 / 2)) = 1)
164163oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · π) = (1 · π))
165160mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (1 · π) = π)
166161, 164, 1653eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = π)
167139fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
168167adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
169166, 168oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
170169mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
171158, 170eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
172171dmeqd 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
173 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
17469halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
175174coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
176160, 175mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
177173, 176dmmptd 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = ℂ)
178172, 177eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ℂ)
17936, 178sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
180 dvres3 25948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
18167, 153, 75, 179, 180syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
182 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
18336, 182mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
184183oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
185171reseq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
186181, 184, 1853eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
187 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
18836, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
189186, 188eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
190146, 189eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
191190reseq1d 5996 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
1924resmptd 6058 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
193129, 191, 1923eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
194117, 128, 1933eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
195194eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
19623a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
197196oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
198197eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D 𝐺))
199112, 195, 1983eqtrrd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐼)
200199dmeqd 5916 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = dom 𝐼)
201105, 176syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
202111, 201dmmptd 6713 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐼 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
203200, 202eqtr2d 2778 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺))
204 eqimss 4042 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
205203, 204syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
206105, 70syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
207206ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
208 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
209208fnmpt 6708 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
210207, 209syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
211 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
212 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
213212oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
214 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
21538adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℂ)
216 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
217216halfcld 12511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
218215, 217addcld 11280 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
219 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
220219elioored 45562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℝ)
221220recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℂ)
222221adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ℂ)
223218, 222mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
224211, 213, 214, 223fvmptd 7023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
225 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
226225anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ↔ (𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
227 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑤 mod (2 · π)))
228227neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0 ↔ (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0))
229226, 228imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)))
230 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
231 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
232230, 231, 1303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℂ)
233 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ∈ ℂ)
234119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ∈ ℂ)
235134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ≠ 0)
236 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
237 pipos 26502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
238236, 237gtneii 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ≠ 0)
240232, 233, 234, 235, 239divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
241240eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
242241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
243 dirkercncflem2.yne0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
244243neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
245105halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
246 sineq0 26566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
248244, 247mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
249242, 248eqneltrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
250 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
251 pirp 26503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℝ+
252 rpmulcl 13058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
253250, 251, 252mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ∈ ℝ+
254 mod0 13916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
25511, 253, 254sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
256249, 255mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
257256neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
258229, 257chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)
259258neneqd 2945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
260 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝜑)
261 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
262221ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 ∈ ℂ)
26357recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
264263ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℂ)
265 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2665nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
267 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
268267rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
269266, 268readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2705nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝑁)
271250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
272271rpreccld 13087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
273266, 272ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 < (𝑁 + (1 / 2)))
274265, 266, 269, 270, 273lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < (𝑁 + (1 / 2)))
275274gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)
27641, 275jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
277276ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
278 mulcan 11900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
279262, 264, 277, 278syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
280261, 279mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 = 𝑌)
281 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 mod (2 · π)) = (𝑌 mod (2 · π)))
282 dirkercncflem2.ymod . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
283281, 282sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
284260, 280, 283syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
285259, 284mtand 816 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
28641, 263mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
287286adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
288 elsn2g 4664 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
289287, 288syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
290285, 289mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})
291223, 290eldifd 3962 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
292224, 291eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
293 sinf 16160 . . . . . . . . . . . 12 sin:ℂ⟶ℂ
294293fdmi 6747 . . . . . . . . . . 11 dom sin = ℂ
295294eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 ℂ = dom sin
296295a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ℂ = dom sin)
297296difeq1d 4125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}) = (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
298292, 297eleqtrd 2843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
299298ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
300 fnfvrnss 7141 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})) → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
301210, 299, 300syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
302 uncom 4158 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
303302a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
30427snssd 4809 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
305 undif 4482 . . . . . . . . . 10 ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
306304, 305sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
307303, 306eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
308307mpteq1d 5237 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
309 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
310 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
311309, 310eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
312311adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
313 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
314313adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
315 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
316 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
317316adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
318 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
319 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 = 𝑌)
320 velsn 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑌} ↔ 𝑤 = 𝑌)
321319, 320sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
322321adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
323318, 322eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
324323adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
32541adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
326 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ)
327326recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℂ)
328327adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ ℂ)
329325, 328mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
330329adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
331315, 317, 324, 330fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
332314, 331eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
333312, 332pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
334333mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
335 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
336 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
337335, 336ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
338 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
339338mulc1cncf 24931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34041, 339syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34151cnfldtop 24804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
342 unicntop 24806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
343342restid 17478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
344341, 343ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
345344eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
34651, 345, 345cncfcn 24936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34774, 75, 346sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
348340, 347eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3492, 37sstrid 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
350342cnrest 23293 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
351348, 349, 350syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
352337, 351eqeltrrid 2846 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35351cnfldtopon 24803 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
354 resttopon 23169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
355353, 349, 354sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
356 cncnp 23288 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
357355, 353, 356sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
358352, 357mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
359358simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
360 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
361360eleq2d 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
362361rspccva 3621 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
363359, 27, 362syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
364334, 363eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
365307eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
366365oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
367366oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld)))
368367fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
369364, 368eleqtrd 2843 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
370308, 369eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
371 eqid 2737 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
372 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
373206, 208fmptd 7134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
3744, 36sstrdi 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℂ)
375371, 51, 372, 373, 374, 263ellimc 25908 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
376370, 375mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim 𝑌))
377134a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
378238a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ≠ 0)
379154, 155, 377, 378mulne0d 11915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
380263, 156, 379divcan1d 12044 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
381380eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
382381oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))))
383382fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))))
384263, 156, 379divcld 12043 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
38541, 384, 156mul12d 11470 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
38641, 154, 155mulassd 11284 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)))
387386eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π))
388387oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)))
38938, 40, 154adddird 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)))
390154, 377recid2d 12039 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 / 2) · 2) = 1)
391390oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)) = ((𝑁 · 2) + 1))
392389, 391eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + 1))
393392oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = (((𝑁 · 2) + 1) · π))
394393oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
395385, 388, 3943eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
39638, 154mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
397 1cnd 11256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
398396, 397addcld 11280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℂ)
399384, 398, 155mulassd 11284 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
400395, 399eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π))
401400fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)))
402 mod0 13916 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
40357, 253, 402sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
404282, 403mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4055nnzd 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
406 2z 12649 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
407406a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
408405, 407zmulcld 12728 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℤ)
409408peano2zd 12725 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℤ)
410404, 409zmulcld 12728 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ)
411 sinkpi 26564 . . . . . . . 8 (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
412410, 411syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
413383, 401, 4123eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = 0)
414 sincn 26488 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
415414a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
416415, 286cnlimci 25924 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) ∈ (sin lim ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
417413, 416eqeltrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (sin lim ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
418301, 376, 417limccog 45635 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim 𝑌))
41914a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
420213fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
421223sincld 16166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
422419, 420, 214, 421fvmptd 7023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑤) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
423224fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
424422, 423eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑤) = (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
425424mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹𝑤)) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
42615feqmptd 6977 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹𝑤)))
427 fcompt 7153 . . . . . . 7 ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
428293, 373, 427sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
429425, 426, 4283eqtr4rd 2788 . . . . 5 (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = 𝐹)
430429oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim 𝑌) = (𝐹 lim 𝑌))
431418, 430eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝑌))
432 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 = 𝑌)
433432iftrued 4533 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = 0)
434263, 154, 156, 377, 379divdiv32d 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) / 2))
435434oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)))
436263halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
437436, 156, 379divcan1d 12044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑌 / 2))
438384, 154, 156, 377div32d 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)))
439155, 154, 377divcan3d 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · π) / 2) = π)
440439oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
441438, 440eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
442435, 437, 4413eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 / 2) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
443442fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)))
444 sinkpi 26564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
445404, 444syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
446443, 445eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = 0)
447446oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · 0))
448156mul01d 11460 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · π) · 0) = 0)
449447, 448eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = 0)
450449eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
451450ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
452 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑌 / 2)))
453452oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
454453eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
455454adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
456433, 451, 4553eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
457 iffalse 4534 . . . . . . . . . 10 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = (𝐺𝑤))
458457adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = (𝐺𝑤))
459 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑤 / 2)))
460459oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑤 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
461120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · π) ∈ ℂ)
462328halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
463462sincld 16166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
464461, 463mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
465464adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
46623, 460, 324, 465fvmptd3 7039 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐺𝑤) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
467458, 466eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
468456, 467pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
469468mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
470 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
47175, 156, 75constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (2 · π)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
472 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
473 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
474134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
475472, 473, 474divrec2d 12047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 2) = ((1 / 2) · 𝑤))
476475mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
477 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
478477mulc1cncf 24931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
47939, 478ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
480476, 479eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
481480a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
482415, 481cncfmpt1f 24940 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
483471, 482mulcncf 25480 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
484470, 483, 349, 75, 464cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
485 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
48651, 485, 345cncfcn 24936 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
487349, 74, 486sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
488484, 487eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
489 cncnp 23288 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
490355, 353, 489sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
491488, 490mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
492491simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
493360eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
494493rspccva 3621 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
495492, 27, 494syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
496469, 495eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
497307mpteq1d 5237 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))))
498366eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
499498oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)))
500499fveq1d 6908 . . . . 5 (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
501496, 497, 5003eltr4d 2856 . . . 4 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
502 eqid 2737 . . . . 5 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)))
50311, 124syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
504503, 23fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
505371, 51, 502, 504, 374, 263ellimc 25908 . . . 4 (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
506501, 505mpbird 257 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝑌))
507256nrexdv 3149 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
508504ffund 6740 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐺)
509 fvelima 6974 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0)
510508, 509sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0)
511 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
512119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
513134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
514238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
515105, 511, 512, 513, 514divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
516515eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
517516adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
518 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 2 ∈ ℂ)
519119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → π ∈ ℂ)
520518, 519mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
521232adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
522521halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
523522sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
524520, 523mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
52523fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
526524, 525syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
527526eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = (𝐺𝑦))
528 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐺𝑦) = 0)
529527, 528eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
530120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (2 · π) ∈ ℂ)
531232halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
532531sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
533530, 532mul0ord 11913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
534533adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
535529, 534mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
536 2cnne0 12476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
537119, 238pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
538 mulne0 11905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (2 · π) ≠ 0)
539536, 537, 538mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ≠ 0
540539neii 2942 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (2 · π) = 0
541 pm2.53 852 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0) → (¬ (2 · π) = 0 → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
542535, 540, 541mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
543542adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
544105adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
545544halfcld 12511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
546545, 246syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
547543, 546mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
548517, 547eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
54911adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
550549, 253, 254sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
551548, 550mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
552551ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐺𝑦) = 0 → (𝑦 mod (2 · π)) = 0))
553552reximdva 3168 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
554553adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
555510, 554mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
556507, 555mtand 816 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
557 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
558111fvmpt2 7027 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐼𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
559557, 201, 558syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
560531coscld 16167 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
561560adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
562 dirkercncflem2.11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
563512, 561, 514, 562mulne0d 11915 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
564559, 563eqnetrd 3008 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼𝑦) ≠ 0)
565564neneqd 2945 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝐼𝑦) = 0)
566565nrexdv 3149 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
567201, 111fmptd 7134 . . . . . . 7 (𝜑𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
568567ffund 6740 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
569 fvelima 6974 . . . . . 6 ((Fun 𝐼 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
570568, 569sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
571566, 570mtand 816 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
572199imaeq1d 6077 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
573571, 572neleqtrrd 2864 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
574 dirkercncflem2.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
575574dirkerval2 46109 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
5765, 57, 575syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
577282iftrued 4533 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
578 dirkercncflem2.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
579578a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))))
580 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
581580adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
582154, 38mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
583582, 397addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
584583, 154, 155, 377, 378divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
585584eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
586582, 397, 154, 377divdird 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
58738, 154, 377divcan3d 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
588587oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
589586, 588eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
590589oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
591585, 590eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
592591ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
593310fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑌 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
594593oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))))
595 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑌 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
596595oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑌 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑌 / 2))))
597594, 596oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑌 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
598597adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
59938, 40, 263adddird 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)))
600397, 154, 263, 377div32d 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (1 · (𝑌 / 2)))
601436mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
602600, 601eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (𝑌 / 2))
603602oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)) = ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)))
60438, 263mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) ∈ ℂ)
605604, 436addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
606599, 603, 6053eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
607606fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))))
608604, 156, 379divcan1d 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑁 · 𝑌))
609608eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) = (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))
610609oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)) = ((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π))))
611610fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))) = (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))))
61238, 263, 156, 379divassd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) = (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))))
613405, 404zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
614612, 613eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ)
615 cosper 26524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑌 / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ) → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
616436, 614, 615syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
617607, 611, 6163eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
618617oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))))
619618oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
620436coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ∈ ℂ)
621263, 154, 155, 377, 378divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) = (𝑌 / (2 · π)))
622621, 404eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ)
623622zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℝ)
624623, 272ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)))
625 halflt1 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) < 1
626625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
627268, 267, 623, 626ltadd2dd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1))
628 btwnnz 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∧ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1)) → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
629622, 624, 627, 628syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
630 coseq0 45879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
631436, 630syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
632629, 631mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ (cos‘(𝑌 / 2)) = 0)
633632neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
63441, 155, 620, 378, 633divcan5rd 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
635619, 634eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
636635ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
637598, 636eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) / π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
638581, 592, 6373eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
639 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))
640639adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))
641 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))))
642 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑤))
643 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑤))
644642, 643oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
645644adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
646106, 100fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
647646ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
648647, 324ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻𝑤) ∈ ℂ)
649567ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
650649, 324ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) ∈ ℂ)
651111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
652 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
653652fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
654653oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
655119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → π ∈ ℂ)
656327halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
657656coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
658655, 657mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
659658ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
660651, 654, 324, 659fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
661537a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
662657ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
663 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝜑)
664 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
665664neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → ((cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ↔ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0))
666226, 665imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)))
667666, 562chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
668663, 324, 667syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
669 mulne0 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ ((cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
670661, 662, 668, 669syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
671660, 670eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) ≠ 0)
672648, 650, 671divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)) ∈ ℂ)
673641, 645, 324, 672fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
674100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
675317fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
676675oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
677329coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
678325, 677mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
679678adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
680674, 676, 324, 679fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
681680, 660oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
682640, 673, 6813eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
683638, 682pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
684683mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))))
685579, 684eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = 𝐿)
686349, 41, 75constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
687 cosf 16161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 cos:ℂ⟶ℂ
688231, 44sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
689 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
690688, 689fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
691 fcompt 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((cos:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
692687, 690, 691sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
693 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
694316adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
695 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
696693, 694, 695, 329fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
697696fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
698697mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
699692, 698eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
700349, 41, 75constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
701349, 75idcncfg 45888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
702700, 701mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
703 coscn 26489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
704703a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
705702, 704cncfco 24933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
706699, 705eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
707686, 706mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
708 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
709349, 155, 75constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
710 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
711134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
712328, 710, 711divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) = (𝑤 · (1 / 2)))
713712mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))))
714 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2)))
715 cncfmptid 24939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71674, 74, 715mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
717716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71874a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
719 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
720718, 719, 718constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72139, 720mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
722717, 721mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
723712, 462eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
724714, 722, 349, 75, 723cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
725713, 724eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
726704, 725cncfmpt1f 24940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
727709, 726mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
728 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
729728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
730 difssd 4137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
731658adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
732119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℂ)
733657adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
734238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ≠ 0)
735595adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
736633adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
737735, 736eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
738737adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
739738, 668pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
740732, 733, 734, 739mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
741740neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0)
742 elsng 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
743731, 742syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
744741, 743mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0})
745731, 744eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
746708, 727, 729, 730, 745cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
747707, 746divcncf 25482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
748747, 487eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
749579, 748eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
750 cncnp 23288 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
751355, 353, 750sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
752749, 751mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
753752simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
754360eleq2d 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
755754rspccva 3621 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
756753, 27, 755syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
757685, 756eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
758307mpteq1d 5237 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))))
759757, 758, 5003eltr4d 2856 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
760 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
761100fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ) → (𝐻𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
762557, 106, 761syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐻𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
763762, 559oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
764106, 201, 563divcld 12043 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ∈ ℂ)
765763, 764eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) ∈ ℂ)
766 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))
767765, 766fmptd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
768371, 51, 760, 767, 374, 263ellimc 25908 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
769759, 768mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌))
770103eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 = (ℝ D 𝐹))
771770fveq1d 6908 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
772199eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 = (ℝ D 𝐺))
773772fveq1d 6908 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑦) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))
774771, 773oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
775774mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))))
776775oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
777769, 776eleqtrd 2843 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
778577, 777eqeltrd 2841 . . . 4 (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
779576, 778eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
7804, 15, 24, 26, 27, 28, 110, 205, 431, 506, 556, 573, 779lhop 26055 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) lim 𝑌))
781574dirkerval 46106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
7825, 781syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
783782reseq1d 5996 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
7844resmptd 6058 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
785256iffalsed 4536 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
78613recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
78714fvmpt2 7027 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
788557, 786, 787syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
789557, 503, 525syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
790788, 789oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
791785, 790eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
792791mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))))
793783, 784, 7923eqtrrd 2782 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) = ((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
794793oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) lim 𝑌) = (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
795780, 794eleqtrd 2843 1 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387   mod cmo 13909  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  Clsdccld 23024  intcnt 23025   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233  Hauscha 23316  cnccncf 24902   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  46120
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