Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem2 42274
Description: Lemma used to prove that the Dirichlet Kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem2.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem2.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
dirkercncflem2.g 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.yne0 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
dirkercncflem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
dirkercncflem2.i 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.l 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
dirkercncflem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dirkercncflem2.ymod (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
dirkercncflem2.11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷   𝑤,𝐹,𝑦   𝑤,𝐺,𝑦   𝑤,𝐻,𝑦   𝑤,𝐼,𝑦   𝑦,𝐿   𝑤,𝑁,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦   𝑦,𝑛   𝜑,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐿(𝑤,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem2
StepHypRef Expression
1 difss 4112 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
2 ioossre 12793 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
31, 2sstri 3980 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5 dirkercncflem2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℕ)
76nnred 11647 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℝ)
8 halfre 11845 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 10664 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
114sselda 3971 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
1210, 11remulcld 10665 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℝ)
1312resincld 15491 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℝ)
14 dirkercncflem2.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
1513, 14fmptd 6876 . . 3 (𝜑𝐹:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
16 2re 11705 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
17 pire 24978 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
1816, 17remulcli 10651 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
2011rehalfcld 11878 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
2120resincld 15491 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
2219, 21remulcld 10665 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
23 dirkercncflem2.g . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
2422, 23fmptd 6876 . . 3 (𝜑𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
25 iooretop 23308 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
27 dirkercncflem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28 eqid 2826 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})
2914a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
3029oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
31 resmpt 5904 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
323, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
3332eqcomi 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
3534oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
36 ax-resscn 10588 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
385nncnd 11648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
39 halfcn 11846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4138, 40addcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
4337sselda 3971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
4442, 43mulcld 10655 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
4544sincld 15478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
46 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
4745, 46fmptd 6876 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ)
48 ssid 3993 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
4948, 3pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ))
51 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5251tgioo2 23345 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52dvres 24443 . . . . . . . . 9 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
5437, 47, 50, 53syl21anc 835 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
55 retop 23304 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
56 rehaus 23341 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
5727elioored 41709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
58 uniretop 23305 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = (topGen‘ran (,))
5958sncld 21914 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6056, 57, 59sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6158difopn 21577 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6225, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
63 isopn3i 21625 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
6455, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
6564reseq2d 5852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
66 reelprrecn 10623 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6841adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
69 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7068, 69mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
7170sincld 15478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
72 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
7371, 72fmptd 6876 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
74 ssid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
76 dvsinax 42081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
7741, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
7877dmeqd 5773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
79 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8070coscld 15479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
8168, 80mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
8279, 81dmmptd 6492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
8378, 82eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
8436, 83sseqtrrid 4024 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
85 dvres3 24445 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
8667, 73, 75, 84, 85syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
87 resmpt 5904 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8836, 87mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8988oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9077reseq1d 5851 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
91 resmpt 5904 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9236, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
9390, 92syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9486, 89, 933eqtr3d 2869 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9594reseq1d 5851 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
96 resmpt 5904 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
973, 96mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9865, 95, 973eqtrd 2865 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9935, 54, 983eqtrd 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
100 dirkercncflem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
102101eqcomd 2832 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = 𝐻)
10330, 99, 1023eqtrd 2865 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐻)
104103dmeqd 5773 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐻)
10511recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
106105, 81syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
107100, 106dmmptd 6492 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐻 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
108104, 107eqtr2d 2862 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹))
109 eqimss 4027 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110108, 109syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
111 dirkercncflem2.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
112111a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
113 resmpt 5904 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
1143, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
115114eqcomi 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
116115oveq2i 7161 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
118 2cn 11706 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
119 picn 24979 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
120118, 119mulcli 10642 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · π) ∈ ℂ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
12243halfcld 11876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
123122sincld 15478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
124121, 123mulcld 10655 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
125 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
126124, 125fmptd 6876 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
12751, 52dvres 24443 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
12837, 126, 50, 127syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
12964reseq2d 5852 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
13036sseli 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
131 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
132 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
134 2ne0 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
136131, 132, 133, 135div13d 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = ((𝑦 / 2) · 1))
137 halfcl 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
138137mulid1d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 / 2) · 1) = (𝑦 / 2))
139136, 138eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = (𝑦 / 2))
140139fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
141140oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
142141eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
143130, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
145144mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
146145oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
147120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (2 · π) ∈ ℂ)
14839a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
149148, 69mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((1 / 2) · 𝑦) ∈ ℂ)
150149sincld 15478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) ∈ ℂ)
151147, 150mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) ∈ ℂ)
152 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
153151, 152fmptd 6876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ)
154 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
155119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → π ∈ ℂ)
156154, 155mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
157 dvasinbx 42089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 · π) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
158156, 39, 157sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
159 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
160119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → π ∈ ℂ)
161159, 160, 148mul32d 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = ((2 · (1 / 2)) · π))
162134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
163159, 162recidd 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (1 / 2)) = 1)
164163oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · π) = (1 · π))
165160mulid2d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (1 · π) = π)
166161, 164, 1653eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = π)
167139fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
168167adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
169166, 168oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
170169mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
171158, 170eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
172171dmeqd 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
173 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
17469halfcld 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
175174coscld 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
176160, 175mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
177173, 176dmmptd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = ℂ)
178172, 177eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ℂ)
17936, 178sseqtrrid 4024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
180 dvres3 24445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
18167, 153, 75, 179, 180syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
182 resmpt 5904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
18336, 182mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
184183oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
185171reseq1d 5851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
186181, 184, 1853eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
187 resmpt 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
18836, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
189186, 188syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
190146, 189eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
191190reseq1d 5851 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
1924resmptd 5907 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
193129, 191, 1923eqtrd 2865 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
194117, 128, 1933eqtrd 2865 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
195194eqcomd 2832 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
19623a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
197196oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
198197eqcomd 2832 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D 𝐺))
199112, 195, 1983eqtrrd 2866 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐼)
200199dmeqd 5773 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = dom 𝐼)
201105, 176syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
202111, 201dmmptd 6492 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐼 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
203200, 202eqtr2d 2862 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺))
204 eqimss 4027 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
205203, 204syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
206105, 70syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
207206ralrimiva 3187 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
208 eqid 2826 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
209208fnmpt 6487 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
210207, 209syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
211 eqidd 2827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
212 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
213212oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
214 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
21538adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℂ)
216 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
217216halfcld 11876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
218215, 217addcld 10654 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
219 eldifi 4107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
220219elioored 41709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℝ)
221220recnd 10663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℂ)
222221adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ℂ)
223218, 222mulcld 10655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
224211, 213, 214, 223fvmptd 6773 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
225 eleq1w 2900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
226225anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ↔ (𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
227 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑤 mod (2 · π)))
228227neeq1d 3080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0 ↔ (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0))
229226, 228imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)))
230 eldifi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
231 elioore 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
232230, 231, 1303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℂ)
233 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ∈ ℂ)
234119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ∈ ℂ)
235134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ≠ 0)
236 0re 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
237 pipos 24980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
238236, 237gtneii 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ≠ 0)
240232, 233, 234, 235, 239divdiv1d 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
241240eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
242241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
243 dirkercncflem2.yne0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
244243neneqd 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
245105halfcld 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
246 sineq0 25043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
248244, 247mtbid 325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
249242, 248eqneltrd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
250 2rp 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
251 pirp 24981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℝ+
252 rpmulcl 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
253250, 251, 252mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ∈ ℝ+
254 mod0 13239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
25511, 253, 254sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
256249, 255mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
257256neqned 3028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
258229, 257chvarv 2410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)
259258neneqd 3026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
260 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝜑)
261 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
262221ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 ∈ ℂ)
26357recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
264263ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℂ)
265 0red 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2665nnred 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
267 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
268267rehalfcld 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
269266, 268readdcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2705nngt0d 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝑁)
271250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
272271rpreccld 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
273266, 272ltaddrpd 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 < (𝑁 + (1 / 2)))
274265, 266, 269, 270, 273lttrd 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < (𝑁 + (1 / 2)))
275274gt0ne0d 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)
27641, 275jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
277276ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
278 mulcan 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
279262, 264, 277, 278syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
280261, 279mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 = 𝑌)
281 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 mod (2 · π)) = (𝑌 mod (2 · π)))
282 dirkercncflem2.ymod . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
283281, 282sylan9eqr 2883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
284260, 280, 283syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
285259, 284mtand 812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
28641, 263mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
287286adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
288 elsn2g 4600 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
289287, 288syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
290285, 289mtbird 326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})
291223, 290eldifd 3951 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
292224, 291eqeltrd 2918 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
293 sinf 15472 . . . . . . . . . . . 12 sin:ℂ⟶ℂ
294293fdmi 6523 . . . . . . . . . . 11 dom sin = ℂ
295294eqcomi 2835 . . . . . . . . . 10 ℂ = dom sin
296295a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ℂ = dom sin)
297296difeq1d 4102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}) = (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
298292, 297eleqtrd 2920 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
299298ralrimiva 3187 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
300 fnfvrnss 6882 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})) → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
301210, 299, 300syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
302 uncom 4133 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
303302a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
30427snssd 4741 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
305 undif 4433 . . . . . . . . . 10 ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
306304, 305sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
307303, 306eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
308307mpteq1d 5152 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
309 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
310 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
311309, 310eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
312311adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
313 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
314313adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
315 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
316 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
317316adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
318 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
319 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 = 𝑌)
320 velsn 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑌} ↔ 𝑤 = 𝑌)
321319, 320sylnibr 330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
322321adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
323318, 322eldifd 3951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
324323adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
32541adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
326 elioore 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ)
327326recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℂ)
328327adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ ℂ)
329325, 328mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
330329adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
331315, 317, 324, 330fvmptd 6773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
332314, 331eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
333312, 332pm2.61dan 809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
334333mpteq2dva 5158 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
335 ioosscn 41653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
336 resmpt 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
337335, 336ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
338 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
339338mulc1cncf 23447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34041, 339syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34151cnfldtop 23326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
342 unicntop 23328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
343342restid 16702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
344341, 343ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
345344eqcomi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
34651, 345, 345cncfcn 23451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34774, 75, 346sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
348340, 347eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3492, 37sstrid 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
350342cnrest 21828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
351348, 349, 350syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
352337, 351eqeltrrid 2923 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35351cnfldtopon 23325 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
354 resttopon 21704 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
355353, 349, 354sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
356 cncnp 21823 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
357355, 353, 356sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
358352, 357mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
359358simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
360 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
361360eleq2d 2903 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
362361rspccva 3626 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
363359, 27, 362syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
364334, 363eqeltrd 2918 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
365307eqcomd 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
366365oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
367366oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld)))
368367fveq1d 6671 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
369364, 368eleqtrd 2920 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
370308, 369eqeltrd 2918 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
371 eqid 2826 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
372 eqid 2826 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
373206, 208fmptd 6876 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
3744, 36sstrdi 3983 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℂ)
375371, 51, 372, 373, 374, 263ellimc 24405 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
376370, 375mpbird 258 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim 𝑌))
377134a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
378238a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ≠ 0)
379154, 155, 377, 378mulne0d 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
380263, 156, 379divcan1d 11411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
381380eqcomd 2832 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
382381oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))))
383382fveq2d 6673 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))))
384263, 156, 379divcld 11410 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
38541, 384, 156mul12d 10843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
38641, 154, 155mulassd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)))
387386eqcomd 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π))
388387oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)))
38938, 40, 154adddird 10660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)))
390154, 377recid2d 11406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 / 2) · 2) = 1)
391390oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)) = ((𝑁 · 2) + 1))
392389, 391eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + 1))
393392oveq1d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = (((𝑁 · 2) + 1) · π))
394393oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
395385, 388, 3943eqtrd 2865 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
39638, 154mulcld 10655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
397 1cnd 10630 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
398396, 397addcld 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℂ)
399384, 398, 155mulassd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
400395, 399eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π))
401400fveq2d 6673 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)))
402 mod0 13239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
40357, 253, 402sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
404282, 403mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4055nnzd 12080 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
406 2z 12008 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
407406a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
408405, 407zmulcld 12087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℤ)
409408peano2zd 12084 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℤ)
410404, 409zmulcld 12087 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ)
411 sinkpi 25041 . . . . . . . 8 (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
412410, 411syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
413383, 401, 4123eqtrd 2865 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = 0)
414 sincn 24966 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
415414a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
416415, 286cnlimci 24421 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) ∈ (sin lim ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
417413, 416eqeltrrd 2919 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (sin lim ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
418301, 376, 417limccog 41785 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim 𝑌))
41914a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
420213fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
421223sincld 15478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
422419, 420, 214, 421fvmptd 6773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑤) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
423224fveq2d 6673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
424422, 423eqtr4d 2864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑤) = (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
425424mpteq2dva 5158 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹𝑤)) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
42615feqmptd 6732 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹𝑤)))
427 fcompt 6893 . . . . . . 7 ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
428293, 373, 427sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
429425, 426, 4283eqtr4rd 2872 . . . . 5 (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = 𝐹)
430429oveq1d 7165 . . . 4 (𝜑 → ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim 𝑌) = (𝐹 lim 𝑌))
431418, 430eleqtrd 2920 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝑌))
432 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 = 𝑌)
433432iftrued 4478 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = 0)
434263, 154, 156, 377, 379divdiv32d 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) / 2))
435434oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)))
436263halfcld 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
437436, 156, 379divcan1d 11411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑌 / 2))
438384, 154, 156, 377div32d 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)))
439155, 154, 377divcan3d 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · π) / 2) = π)
440439oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
441438, 440eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
442435, 437, 4413eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 / 2) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
443442fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)))
444 sinkpi 25041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
445404, 444syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
446443, 445eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = 0)
447446oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · 0))
448156mul01d 10833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · π) · 0) = 0)
449447, 448eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = 0)
450449eqcomd 2832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
451450ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
452 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑌 / 2)))
453452oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
454453eqcomd 2832 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
455454adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
456433, 451, 4553eqtrd 2865 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
457 iffalse 4479 . . . . . . . . . 10 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = (𝐺𝑤))
458457adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = (𝐺𝑤))
459 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑤 / 2)))
460459oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑤 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
461120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · π) ∈ ℂ)
462328halfcld 11876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
463462sincld 15478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
464461, 463mulcld 10655 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
465464adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
46623, 460, 324, 465fvmptd3 6789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐺𝑤) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
467458, 466eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
468456, 467pm2.61dan 809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
469468mpteq2dva 5158 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
470 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
47175, 156, 75constcncfg 42038 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (2 · π)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
472 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
473 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
474134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
475472, 473, 474divrec2d 11414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 2) = ((1 / 2) · 𝑤))
476475mpteq2ia 5154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
477 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
478477mulc1cncf 23447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
47939, 478ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
480476, 479eqeltri 2914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
481480a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
482415, 481cncfmpt1f 23455 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
483471, 482mulcncf 23981 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
484470, 483, 349, 75, 464cncfmptssg 42037 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
485 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
48651, 485, 345cncfcn 23451 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
487349, 74, 486sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
488484, 487eleqtrd 2920 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
489 cncnp 21823 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
490355, 353, 489sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
491488, 490mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
492491simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
493360eleq2d 2903 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
494493rspccva 3626 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
495492, 27, 494syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
496469, 495eqeltrd 2918 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
497307mpteq1d 5152 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))))
498366eqcomd 2832 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
499498oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)))
500499fveq1d 6671 . . . . 5 (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
501496, 497, 5003eltr4d 2933 . . . 4 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
502 eqid 2826 . . . . 5 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)))
50311, 124syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
504503, 23fmptd 6876 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
505371, 51, 502, 504, 374, 263ellimc 24405 . . . 4 (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
506501, 505mpbird 258 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝑌))
507256nrexdv 3275 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
508504ffund 6517 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐺)
509 fvelima 6730 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0)
510508, 509sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0)
511 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
512119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
513134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
514238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
515105, 511, 512, 513, 514divdiv1d 11441 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
516515eqcomd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
517516adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
518 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 2 ∈ ℂ)
519119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → π ∈ ℂ)
520518, 519mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
521232adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
522521halfcld 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
523522sincld 15478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
524520, 523mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
52523fvmpt2 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
526524, 525syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
527526eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = (𝐺𝑦))
528 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐺𝑦) = 0)
529527, 528eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
530120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (2 · π) ∈ ℂ)
531232halfcld 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
532531sincld 15478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
533530, 532mul0ord 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
534533adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
535529, 534mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
536 2cnne0 11841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
537119, 238pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
538 mulne0 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (2 · π) ≠ 0)
539536, 537, 538mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ≠ 0
540539neii 3023 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (2 · π) = 0
541 pm2.53 847 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0) → (¬ (2 · π) = 0 → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
542535, 540, 541mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
543542adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
544105adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
545544halfcld 11876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
546545, 246syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
547543, 546mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
548517, 547eqeltrd 2918 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
54911adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
550549, 253, 254sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
551548, 550mpbird 258 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
552551ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐺𝑦) = 0 → (𝑦 mod (2 · π)) = 0))
553552reximdva 3279 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
554553adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
555510, 554mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
556507, 555mtand 812 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
557 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
558111fvmpt2 6777 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐼𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
559557, 201, 558syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
560531coscld 15479 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
561560adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
562 dirkercncflem2.11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
563512, 561, 514, 562mulne0d 11286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
564559, 563eqnetrd 3088 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼𝑦) ≠ 0)
565564neneqd 3026 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝐼𝑦) = 0)
566565nrexdv 3275 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
567201, 111fmptd 6876 . . . . . . 7 (𝜑𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
568567ffund 6517 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
569 fvelima 6730 . . . . . 6 ((Fun 𝐼 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
570568, 569sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
571566, 570mtand 812 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
572199imaeq1d 5927 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
573571, 572neleqtrrd 2940 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
574 dirkercncflem2.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
575574dirkerval2 42264 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
5765, 57, 575syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
577282iftrued 4478 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
578 dirkercncflem2.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
579578a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))))
580 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
581580adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
582154, 38mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
583582, 397addcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
584583, 154, 155, 377, 378divdiv1d 11441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
585584eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
586582, 397, 154, 377divdird 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
58738, 154, 377divcan3d 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
588587oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
589586, 588eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
590589oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
591585, 590eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
592591ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
593310fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑌 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
594593oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))))
595 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑌 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
596595oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑌 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑌 / 2))))
597594, 596oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑌 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
598597adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
59938, 40, 263adddird 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)))
600397, 154, 263, 377div32d 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (1 · (𝑌 / 2)))
601436mulid2d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
602600, 601eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (𝑌 / 2))
603602oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)) = ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)))
60438, 263mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) ∈ ℂ)
605604, 436addcomd 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
606599, 603, 6053eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
607606fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))))
608604, 156, 379divcan1d 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑁 · 𝑌))
609608eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) = (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))
610609oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)) = ((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π))))
611610fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))) = (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))))
61238, 263, 156, 379divassd 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) = (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))))
613405, 404zmulcld 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
614612, 613eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ)
615 cosper 25002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑌 / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ) → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
616436, 614, 615syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
617607, 611, 6163eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
618617oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))))
619618oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
620436coscld 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ∈ ℂ)
621263, 154, 155, 377, 378divdiv1d 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) = (𝑌 / (2 · π)))
622621, 404eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ)
623622zred 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℝ)
624623, 272ltaddrpd 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)))
625 halflt1 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) < 1
626625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
627268, 267, 623, 626ltadd2dd 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1))
628 btwnnz 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∧ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1)) → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
629622, 624, 627, 628syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
630 coseq0 42029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
631436, 630syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
632629, 631mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ (cos‘(𝑌 / 2)) = 0)
633632neqned 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
63441, 155, 620, 378, 633divcan5rd 11437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
635619, 634eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
636635ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
637598, 636eqtr2d 2862 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) / π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
638581, 592, 6373eqtrrd 2866 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
639 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))
640639adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))
641 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))))
642 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑤))
643 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑤))
644642, 643oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
645644adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
646106, 100fmptd 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
647646ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
648647, 324ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻𝑤) ∈ ℂ)
649567ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
650649, 324ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) ∈ ℂ)
651111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
652 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
653652fvoveq1d 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
654653oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
655119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → π ∈ ℂ)
656327halfcld 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
657656coscld 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
658655, 657mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
659658ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
660651, 654, 324, 659fvmptd 6773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
661537a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
662657ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
663 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝜑)
664 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
665664neeq1d 3080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → ((cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ↔ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0))
666226, 665imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)))
667666, 562chvarv 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
668663, 324, 667syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
669 mulne0 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ ((cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
670661, 662, 668, 669syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
671660, 670eqnetrd 3088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) ≠ 0)
672648, 650, 671divcld 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)) ∈ ℂ)
673641, 645, 324, 672fvmptd 6773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
674100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
675317fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
676675oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
677329coscld 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
678325, 677mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
679678adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
680674, 676, 324, 679fvmptd 6773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
681680, 660oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
682640, 673, 6813eqtrrd 2866 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
683638, 682pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
684683mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))))
685579, 684eqtr2d 2862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = 𝐿)
686349, 41, 75constcncfg 42038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
687 cosf 15473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 cos:ℂ⟶ℂ
688231, 44sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
689 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
690688, 689fmptd 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
691 fcompt 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((cos:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
692687, 690, 691sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
693 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
694316adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
695 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
696693, 694, 695, 329fvmptd 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
697696fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
698697mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
699692, 698eqtr2d 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
700349, 41, 75constcncfg 42038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
701349, 75idcncfg 42039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
702700, 701mulcncf 23981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
703 coscn 24967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
704703a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
705702, 704cncfco 23449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
706699, 705eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
707686, 706mulcncf 23981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
708 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
709349, 155, 75constcncfg 42038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
710 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
711134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
712328, 710, 711divrecd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) = (𝑤 · (1 / 2)))
713712mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))))
714 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2)))
715 cncfmptid 23454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71674, 74, 715mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
717716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71874a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
719 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
720718, 719, 718constcncfg 42038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72139, 720mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
722717, 721mulcncf 23981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
723712, 462eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
724714, 722, 349, 75, 723cncfmptssg 42037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
725713, 724eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
726704, 725cncfmpt1f 23455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
727709, 726mulcncf 23981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
728 ssid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
729728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
730 difssd 4113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
731658adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
732119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℂ)
733657adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
734238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ≠ 0)
735595adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
736633adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
737735, 736eqnetrd 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
738737adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
739738, 668pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
740732, 733, 734, 739mulne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
741740neneqd 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0)
742 elsng 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
743731, 742syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
744741, 743mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0})
745731, 744eldifd 3951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
746708, 727, 729, 730, 745cncfmptssg 42037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
747707, 746divcncf 23982 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
748747, 487eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
749579, 748eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
750 cncnp 21823 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
751355, 353, 750sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
752749, 751mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
753752simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
754360eleq2d 2903 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
755754rspccva 3626 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
756753, 27, 755syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
757685, 756eqeltrd 2918 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
758307mpteq1d 5152 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))))
759757, 758, 5003eltr4d 2933 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
760 eqid 2826 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
761100fvmpt2 6777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ) → (𝐻𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
762557, 106, 761syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐻𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
763762, 559oveq12d 7168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
764106, 201, 563divcld 11410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ∈ ℂ)
765763, 764eqeltrd 2918 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) ∈ ℂ)
766 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))
767765, 766fmptd 6876 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
768371, 51, 760, 767, 374, 263ellimc 24405 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
769759, 768mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌))
770103eqcomd 2832 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 = (ℝ D 𝐹))
771770fveq1d 6671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
772199eqcomd 2832 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 = (ℝ D 𝐺))
773772fveq1d 6671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑦) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))
774771, 773oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
775774mpteq2dv 5159 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))))
776775oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
777769, 776eleqtrd 2920 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
778577, 777eqeltrd 2918 . . . 4 (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
779576, 778eqeltrd 2918 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
7804, 15, 24, 26, 27, 28, 110, 205, 431, 506, 556, 573, 779lhop 24547 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) lim 𝑌))
781574dirkerval 42261 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
7825, 781syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
783782reseq1d 5851 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
7844resmptd 5907 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
785256iffalsed 4481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
78613recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
78714fvmpt2 6777 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
788557, 786, 787syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
789557, 503, 525syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
790788, 789oveq12d 7168 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
791785, 790eqtr4d 2864 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
792791mpteq2dva 5158 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))))
793783, 784, 7923eqtrrd 2866 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) = ((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
794793oveq1d 7165 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) lim 𝑌) = (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
795780, 794eleqtrd 2920 1 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  cdif 3937  cun 3938  wss 3940  ifcif 4470  {csn 4564  {cpr 4566   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  ran crn 5555  cres 5556  cima 5557  ccom 5558  Fun wfun 6348   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  cz 11975  +crp 12384  (,)cioo 12733   mod cmo 13232  sincsin 15412  cosccos 15413  πcpi 15415  t crest 16689  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  fldccnfld 20480  Topctop 21436  TopOnctopon 21453  Clsdccld 21559  intcnt 21560   Cn ccn 21767   CnP ccnp 21768  Hauscha 21851  cnccncf 23418   lim climc 24394   D cdv 24395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-t1 21857  df-haus 21858  df-cmp 21930  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399
This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  42275
  Copyright terms: Public domain W3C validator