dirkercncflem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dirkercncflem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem dirkercncflem2 46642

Description: Lemma used to prove that the Dirichlet kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkercncflem2.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
dirkercncflem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.yne0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
dirkercncflem2.h	⊢ 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
dirkercncflem2.i	⊢ 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.l	⊢ 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
dirkercncflem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dirkercncflem2.ymod	⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
dirkercncflem2.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)

**Assertion**
Ref	Expression
dirkercncflem2	⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷‘𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim_ℂ 𝑌))

Distinct variable groups: 𝑤,𝐴,𝑦 𝑤,𝐵,𝑦 𝑦,𝐷 𝑤,𝐹,𝑦 𝑤,𝐺,𝑦 𝑤,𝐻,𝑦 𝑤,𝐼,𝑦 𝑦,𝐿 𝑤,𝑁,𝑦 𝑤,𝑌,𝑦 𝑦,𝑛 𝜑,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐴(𝑛) 𝐵(𝑛) 𝐷(𝑤,𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐺(𝑛) 𝐻(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝐿(𝑤,𝑛) 𝑁(𝑛) 𝑌(𝑛)

**Proof of Theorem dirkercncflem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
2		ioossre 13408	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
3	1, 2	sstri 3945	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5		dirkercncflem2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnred 12222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℝ)
8		halfre 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 11208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11	4	sselda 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	10, 11	remulcld 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℝ)
13	12	resincld 16158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℝ)
14		dirkercncflem2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
15	13, 14	fmptd 7091	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
16		2pire 26497	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
18	11	rehalfcld 12465	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
19	18	resincld 16158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
20	17, 19	remulcld 11209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
21		dirkercncflem2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
22	20, 21	fmptd 7091	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
23		iooretop 24805	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
25		dirkercncflem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})
27	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
28	27	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
29		resmpt 6023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
31	30	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
33	32	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
34		ax-resscn 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
36	5	nncnd 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
37		halfcn 12432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
39	36, 38	addcld 11198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
41	35	sselda 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcld 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
43	42	sincld 16145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
44		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
45	43, 44	fmptd 7091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ)
46		ssid 3958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
47	46, 3	pm3.2i 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ))
49		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
50		tgioo4 24845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
51	49, 50	dvres 25953	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
52	35, 45, 48, 51	syl21anc 848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
53		retop 24801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
54		rehaus 24839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
55	25	elioored 46089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
56		uniretop 24802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
57	56	sncld 23411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
58	54, 55, 57	sylancr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
59	56	difopn 23074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
60	23, 58, 59	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
61		isopn3i 23122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
62	53, 60, 61	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
63	62	reseq2d 5963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
64		reelprrecn 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
66	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
67		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
68	66, 67	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
69	68	sincld 16145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
70		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
71	69, 70	fmptd 7091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
72		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
74		dvsinax 46451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
75	39, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
76	75	dmeqd 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
77		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
78	68	coscld 16146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
79	66, 78	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
80	77, 79	dmmptd 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
81	76, 80	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
82	34, 81	sseqtrrid 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
83		dvres3 25955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
84	65, 71, 73, 82, 83	syl22anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
85		resmpt 6023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
86	34, 85	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
87	86	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
88	75	reseq1d 5962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
89		resmpt 6023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
90	34, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
91	88, 90	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
92	84, 87, 91	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
93	92	reseq1d 5962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
94		resmpt 6023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
95	3, 94	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
96	63, 93, 95	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
97	33, 52, 96	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
98		dirkercncflem2.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
100	99	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = 𝐻)
101	28, 97, 100	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐻)
102	101	dmeqd 5879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐻)
103	11	recnd 11207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
104	103, 79	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
105	98, 104	dmmptd 6662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
106	102, 105	eqtr2d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹))
107		eqimss 3994	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
108	106, 107	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
109		dirkercncflem2.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
110	109	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
111		resmpt 6023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
112	3, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
113	112	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
114	113	oveq2i 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
116		2picn 26499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
118	41	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
119	118	sincld 16145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
120	117, 119	mulcld 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
121		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
122	120, 121	fmptd 7091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
123	49, 50	dvres 25953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
124	35, 122, 48, 123	syl21anc 848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
125	62	reseq2d 5963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
126	34	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
127		1cnd 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
128		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
129		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
130		2ne0 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ≠ 0
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
132	127, 128, 129, 131	div13d 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = ((𝑦 / 2) · 1))
133		halfcl 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
134	133	mulridd 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 / 2) · 1) = (𝑦 / 2))
135	132, 134	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = (𝑦 / 2))
136	135	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
137	136	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
138	137	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
139	126, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
140	139	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
141	140	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
142	141	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
143	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · π) ∈ ℂ)
144	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
145	144, 67	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((1 / 2) · 𝑦) ∈ ℂ)
146	145	sincld 16145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) ∈ ℂ)
147	143, 146	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) ∈ ℂ)
148		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
149	147, 148	fmptd 7091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ)
150		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
151		picn 26498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ π ∈ ℂ
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
153	150, 152	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
154		dvasinbx 46458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · π) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
155	153, 37, 154	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
156		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
157	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → π ∈ ℂ)
158	156, 157, 144	mul32d 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = ((2 · (1 / 2)) · π))
159	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
160	156, 159	recidd 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (1 / 2)) = 1)
161	160	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · π) = (1 · π))
162	157	mullidd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 · π) = π)
163	158, 161, 162	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = π)
164	135	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
165	164	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
166	163, 165	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
167	166	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
168	155, 167	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
169	168	dmeqd 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
170		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
171	67	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
172	171	coscld 16146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
173	157, 172	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
174	170, 173	dmmptd 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = ℂ)
175	169, 174	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ℂ)
176	34, 175	sseqtrrid 3979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
177		dvres3 25955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
178	65, 149, 73, 176, 177	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
179		resmpt 6023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
180	34, 179	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
181	180	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
182	168	reseq1d 5962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
183	178, 181, 182	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
184		resmpt 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
185	34, 184	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
186	183, 185	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
187	142, 186	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
188	187	reseq1d 5962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
189	4	resmptd 6026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
190	125, 188, 189	3eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
191	115, 124, 190	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
192	191	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
193	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
194	193	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
195	194	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D 𝐺))
196	110, 192, 195	3eqtrrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐼)
197	196	dmeqd 5879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = dom 𝐼)
198	103, 173	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
199	109, 198	dmmptd 6662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
200	197, 199	eqtr2d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺))
201		eqimss 3994	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
202	200, 201	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
203	103, 68	syldan 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
204	203	ralrimiva 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
205		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
206	205	fnmpt 6657	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
207	204, 206	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
208		eqidd 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
209		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
210	209	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
211		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
212	36	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℂ)
213		1cnd 11172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
214	213	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
215	212, 214	addcld 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
216		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
217	216	elioored 46089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℝ)
218	217	recnd 11207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℂ)
219	218	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ℂ)
220	215, 219	mulcld 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
221	208, 210, 211, 220	fvmptd 6979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
222		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
223	222	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
224		oveq1 7399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑤 mod (2 · π)))
225	224	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0 ↔ (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0))
226	223, 225	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)))
227		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
228		elioore 13376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
229	227, 228, 126	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℂ)
230		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ∈ ℂ)
231	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ∈ ℂ)
232	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ≠ 0)
233		0re 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
234		pipos 26500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < π
235	233, 234	gtneii 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π ≠ 0
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ≠ 0)
237	229, 230, 231, 232, 236	divdiv1d 11995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
238	237	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
239	238	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
240		dirkercncflem2.yne0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
241	240	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
242	103	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
243		sineq0 26566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
245	241, 244	mtbid 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
246	239, 245	eqneltrd 2881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
247		2rp 12995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
248		pirp 26503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℝ⁺
249		rpmulcl 13015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
250	247, 248, 249	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
251		mod0 13883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
252	11, 250, 251	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
253	246, 252	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
254	253	neqned 2963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
255	226, 254	chvarvv 2008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)
256	255	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
257		simpll 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝜑)
258		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
259	218	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 ∈ ℂ)
260	55	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
261	260	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℂ)
262		0red 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
263	5	nnred 12222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
264		1red 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
265	264	rehalfcld 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
266	263, 265	readdcld 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
267	5	nngt0d 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
268	247	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
269	268	rpreccld 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ⁺)
270	263, 269	ltaddrpd 13067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + (1 / 2)))
271	262, 263, 266, 267, 270	lttrd 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 + (1 / 2)))
272	271	gt0ne0d 11748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)
273	39, 272	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
274	273	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
275		mulcan 11821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
276	259, 261, 274, 275	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
277	258, 276	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 = 𝑌)
278		oveq1 7399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 mod (2 · π)) = (𝑌 mod (2 · π)))
279		dirkercncflem2.ymod	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
280	278, 279	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑌) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
281	257, 277, 280	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
282	256, 281	mtand 825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
283	39, 260	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
284	283	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
285		elsn2g 4622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
286	284, 285	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
287	282, 286	mtbird 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})
288	220, 287	eldifd 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
289	221, 288	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
290		sinf 16139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
291	290	fdmi 6699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom sin = ℂ
292	291	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = dom sin
293	292	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ℂ = dom sin)
294	293	difeq1d 4079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}) = (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
295	289, 294	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
296	295	ralrimiva 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
297		fnfvrnss 7098	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})) → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
298	207, 296, 297	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
299		uncom 4111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
300	299	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
301	25	snssd 4744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
302		undif 4435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
303	301, 302	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
304	300, 303	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
305	304	mpteq1d 5189	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
306		iftrue 4485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
307		oveq2 7400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
308	306, 307	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
309	308	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
310		iffalse 4488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
311	310	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
312		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
313		oveq2 7400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
314	313	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
315		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
316		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 = 𝑌)
317		velsn 4597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑌} ↔ 𝑤 = 𝑌)
318	316, 317	sylnibr 331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
319	318	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
320	315, 319	eldifd 3915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
321	320	adantll 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
322	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
323		elioore 13376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ)
324	323	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℂ)
325	324	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ ℂ)
326	322, 325	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
327	326	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
328	312, 314, 321, 327	fvmptd 6979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
329	311, 328	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
330	309, 329	pm2.61dan 822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
331	330	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
332		ioosscn 13409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
333		resmpt 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
334	332, 333	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
335		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
336	335	mulc1cncf 24947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
337	39, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
338	49	cnfldtop 24823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top
339		unicntop 24825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
340	339	restid 17445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = (TopOpen‘ℂ_fld))
341	338, 340	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = (TopOpen‘ℂ_fld)
342	341	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)
343	49, 342, 342	cncfcn 24952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂ_fld) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
344	72, 73, 343	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂ_fld) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
345	337, 344	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
346	2, 35	sstrid 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
347	339	cnrest 23325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
348	345, 346, 347	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
349	334, 348	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
350	49	cnfldtopon 24822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
351		resttopon 23201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
352	350, 346, 351	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
353		cncnp 23320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))))
354	352, 350, 353	sylancl 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))))
355	349, 354	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦)))
356	355	simprd 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))
357		fveq2 6863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) = ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
358	357	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌)))
359	358	rspccva 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
360	356, 25, 359	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
361	331, 360	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
362	304	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
363	362	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
364	363	oveq1d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld)) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld)))
365	364	fveq1d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
366	361, 365	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
367	305, 366	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
368		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
369		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
370	203, 205	fmptd 7091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
371	4, 34	sstrdi 3948	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℂ)
372	368, 49, 369, 370, 371, 260	ellimc 25915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim_ℂ 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌)))
373	367, 372	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim_ℂ 𝑌))
374	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
375	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
376	150, 152, 374, 375	mulne0d 11836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
377	260, 153, 376	divcan1d 11965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
378	377	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
379	378	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))))
380	379	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))))
381	260, 153, 376	divcld 11964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
382	39, 381, 153	mul12d 11389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
383	39, 150, 152	mulassd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)))
384	383	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π))
385	384	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)))
386	36, 38, 150	adddird 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)))
387	150, 374	recid2d 11960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 2) = 1)
388	387	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)) = ((𝑁 · 2) + 1))
389	386, 388	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + 1))
390	389	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = (((𝑁 · 2) + 1) · π))
391	390	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
392	382, 385, 391	3eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
393	36, 150	mulcld 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
394		1cnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
395	393, 394	addcld 11198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℂ)
396	381, 395, 152	mulassd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
397	392, 396	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π))
398	397	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)))
399		mod0 13883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
400	55, 250, 399	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
401	279, 400	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
402	5	nnzd 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
403		2z 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
404	403	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
405	402, 404	zmulcld 12680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℤ)
406	405	peano2zd 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℤ)
407	401, 406	zmulcld 12680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ)
408		sinkpi 26564	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
409	407, 408	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
410	380, 398, 409	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = 0)
411		sincn 26484	. . . . . . . 8 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
412	411	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
413	412, 283	cnlimci 25931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) ∈ (sin lim_ℂ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
414	410, 413	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (sin lim_ℂ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
415	298, 373, 414	limccog 46160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim_ℂ 𝑌))
416	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
417	210	fveq2d 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
418	220	sincld 16145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
419	416, 417, 211, 418	fvmptd 6979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹‘𝑤) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
420	221	fveq2d 6867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
421	419, 420	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹‘𝑤) = (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
422	421	mpteq2dva 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
423	15	feqmptd 6931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹‘𝑤)))
424		fcompt 7111	. . . . . . 7 ⊢ ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
425	290, 370, 424	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
426	422, 423, 425	3eqtr4rd 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = 𝐹)
427	426	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim_ℂ 𝑌) = (𝐹 lim_ℂ 𝑌))
428	415, 427	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝑌))
429		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 = 𝑌)
430	429	iftrued 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤)) = 0)
431	260, 150, 153, 374, 376	divdiv32d 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / 2) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) / 2))
432	431	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)))
433	260	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
434	433, 153, 376	divcan1d 11965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑌 / 2))
435	381, 150, 153, 374	div32d 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)))
436	152, 150, 374	divcan3d 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) / 2) = π)
437	436	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
438	435, 437	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
439	432, 434, 438	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 2) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
440	439	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)))
441		sinkpi 26564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
442	401, 441	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
443	440, 442	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = 0)
444	443	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · 0))
445	153	mul01d 11379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) · 0) = 0)
446	444, 445	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = 0)
447	446	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
448	447	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
449		fvoveq1 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑌 / 2)))
450	449	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
451	450	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
452	451	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
453	430, 448, 452	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
454		iffalse 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤)) = (𝐺‘𝑤))
455	454	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤)) = (𝐺‘𝑤))
456		fvoveq1 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑤 / 2)))
457	456	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
458	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · π) ∈ ℂ)
459	325	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
460	459	sincld 16145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
461	458, 460	mulcld 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
462	461	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
463	21, 457, 321, 462	fvmptd3 6995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐺‘𝑤) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
464	455, 463	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
465	453, 464	pm2.61dan 822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
466	465	mpteq2dva 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
467		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
468	73, 153, 73	constcncfg 46410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (2 · π)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
469		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
470		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
471	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
472	469, 470, 471	divrec2d 11968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 2) = ((1 / 2) · 𝑤))
473	472	mpteq2ia 5194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
474		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
475	474	mulc1cncf 24947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
476	37, 475	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
477	473, 476	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
478	477	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
479	412, 478	cncfmpt1f 24956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
480	468, 479	mulcncf 25488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
481	467, 480, 346, 73, 461	cncfmptssg 46409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
482		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵))
483	49, 482, 342	cncfcn 24952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
484	346, 72, 483	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
485	481, 484	eleqtrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
486		cncnp 23320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))))
487	352, 350, 486	sylancl 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))))
488	485, 487	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦)))
489	488	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))
490	357	eleq2d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌)))
491	490	rspccva 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
492	489, 25, 491	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
493	466, 492	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
494	304	mpteq1d 5189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤))))
495	363	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)))
496	495	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld)) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld)))
497	496	fveq1d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
498	493, 494, 497	3eltr4d 2876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
499		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤)))
500	11, 120	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
501	500, 21	fmptd 7091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
502	368, 49, 499, 501, 371, 260	ellimc 25915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌)))
503	498, 502	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝑌))
504	253	nrexdv 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
505	501	ffund 6692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
506		fvelima 6928	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺‘𝑦) = 0)
507	505, 506	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺‘𝑦) = 0)
508		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
509	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
510	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
511	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
512	103, 508, 509, 510, 511	divdiv1d 11995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
513	512	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
514	513	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
515		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → 2 ∈ ℂ)
516	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → π ∈ ℂ)
517	515, 516	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
518	229	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
519	518	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
520	519	sincld 16145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
521	517, 520	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
522	21	fvmpt2 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
523	521, 522	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐺‘𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
524	523	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = (𝐺‘𝑦))
525		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐺‘𝑦) = 0)
526	524, 525	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
527	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (2 · π) ∈ ℂ)
528	229	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
529	528	sincld 16145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
530	527, 529	mul0ord 11832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
531	530	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
532	526, 531	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
533		2cnne0 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
534	151, 235	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
535		mulne0 11826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (2 · π) ≠ 0)
536	533, 534, 535	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ≠ 0
537	536	neii 2958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (2 · π) = 0
538		pm2.53 862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0) → (¬ (2 · π) = 0 → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
539	532, 537, 538	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
540	539	adantll 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
541	103	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
542	541	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
543	542, 243	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
544	540, 543	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
545	514, 544	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
546	11	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
547	546, 250, 251	sylancl 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
548	545, 547	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
549	548	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐺‘𝑦) = 0 → (𝑦 mod (2 · π)) = 0))
550	549	reximdva 3174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺‘𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
551	550	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺‘𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
552	507, 551	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
553	504, 552	mtand 825	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
554		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
555	109	fvmpt2 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐼‘𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
556	554, 198, 555	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼‘𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
557	528	coscld 16146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
558	557	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
559		dirkercncflem2.11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
560	509, 558, 511, 559	mulne0d 11836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
561	556, 560	eqnetrd 3023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼‘𝑦) ≠ 0)
562	561	neneqd 2961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝐼‘𝑦) = 0)
563	562	nrexdv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼‘𝑦) = 0)
564	198, 109	fmptd 7091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
565	564	ffund 6692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
566		fvelima 6928	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼‘𝑦) = 0)
567	565, 566	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼‘𝑦) = 0)
568	563, 567	mtand 825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
569	196	imaeq1d 6045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
570	568, 569	neleqtrrd 2884	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
571		dirkercncflem2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
572	571	dirkerval2 46632	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
573	5, 55, 572	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
574	279	iftrued 4487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
575		dirkercncflem2.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
576	575	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))))
577		iftrue 4485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
578	577	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
579	150, 36	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
580	579, 394	addcld 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
581	580, 150, 152, 374, 375	divdiv1d 11995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
582	581	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
583	579, 394, 150, 374	divdird 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
584	36, 150, 374	divcan3d 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
585	584	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
586	583, 585	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
587	586	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
588	582, 587	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
589	588	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
590	307	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
591	590	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))))
592		fvoveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
593	592	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑌 / 2))))
594	591, 593	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑌 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
595	594	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
596	36, 38, 260	adddird 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)))
597	394, 150, 260, 374	div32d 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (1 · (𝑌 / 2)))
598	433	mullidd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
599	597, 598	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (𝑌 / 2))
600	599	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)) = ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)))
601	36, 260	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) ∈ ℂ)
602	601, 433	addcomd 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
603	596, 600, 602	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
604	603	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))))
605	601, 153, 376	divcan1d 11965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑁 · 𝑌))
606	605	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) = (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))
607	606	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)) = ((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π))))
608	607	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))) = (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))))
609	36, 260, 153, 376	divassd 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) = (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))))
610	402, 401	zmulcld 12680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
611	609, 610	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ)
612		cosper 26524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑌 / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ) → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
613	433, 611, 612	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
614	604, 608, 613	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
615	614	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))))
616	615	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
617	433	coscld 16146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ∈ ℂ)
618	260, 150, 152, 374, 375	divdiv1d 11995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) = (𝑌 / (2 · π)))
619	618, 401	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ)
620	619	zred 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℝ)
621	620, 269	ltaddrpd 13067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)))
622		halflt1 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / 2) < 1
623	622	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
624	265, 264, 620, 623	ltadd2dd 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1))
625		btwnnz 12646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∧ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1)) → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
626	619, 621, 624, 625	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
627		coseq0 46402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
628	433, 627	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
629	626, 628	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ¬ (cos‘(𝑌 / 2)) = 0)
630	629	neqned 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
631	39, 152, 617, 375, 630	divcan5rd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
632	616, 631	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
633	632	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
634	595, 633	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) / π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
635	578, 589, 634	3eqtrrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤)))
636		iffalse 4488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))
637	636	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))
638		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦))))
639		fveq2 6863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑤))
640		fveq2 6863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑤))
641	639, 640	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)) = ((𝐻‘𝑤) / (𝐼‘𝑤)))
642	641	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)) = ((𝐻‘𝑤) / (𝐼‘𝑤)))
643	104, 98	fmptd 7091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
644	643	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
645	644, 321	ffvelcdmd 7062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻‘𝑤) ∈ ℂ)
646	564	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
647	646, 321	ffvelcdmd 7062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼‘𝑤) ∈ ℂ)
648	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
649		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
650	649	fvoveq1d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
651	650	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
652	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → π ∈ ℂ)
653	324	halfcld 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
654	653	coscld 16146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
655	652, 654	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
656	655	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
657	648, 651, 321, 656	fvmptd 6979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼‘𝑤) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
658	534	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
659	654	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
660		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝜑)
661		fvoveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
662	661	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ↔ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0))
663	223, 662	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)))
664	663, 559	chvarvv 2008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
665	660, 321, 664	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
666		mulne0 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ ((cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
667	658, 659, 665, 666	syl12anc 847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
668	657, 667	eqnetrd 3023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼‘𝑤) ≠ 0)
669	645, 647, 668	divcld 11964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻‘𝑤) / (𝐼‘𝑤)) ∈ ℂ)
670	638, 642, 321, 669	fvmptd 6979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤) = ((𝐻‘𝑤) / (𝐼‘𝑤)))
671	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
672	314	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
673	672	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
674	326	coscld 16146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
675	322, 674	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
676	675	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
677	671, 673, 321, 676	fvmptd 6979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
678	677, 657	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻‘𝑤) / (𝐼‘𝑤)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
679	637, 670, 678	3eqtrrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤)))
680	635, 679	pm2.61dan 822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤)))
681	680	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))))
682	576, 681	eqtr2d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))) = 𝐿)
683	346, 39, 73	constcncfg 46410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
684		cosf 16140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
685	228, 42	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
686		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
687	685, 686	fmptd 7091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
688		fcompt 7111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((cos:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
689	684, 687, 688	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
690		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
691	313	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
692		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
693	690, 691, 692, 326	fvmptd 6979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
694	693	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
695	694	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
696	689, 695	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
697	346, 39, 73	constcncfg 46410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
698	346, 73	idcncfg 46411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
699	697, 698	mulcncf 25488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
700		coscn 26485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
701	700	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
702	699, 701	cncfco 24949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
703	696, 702	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
704	683, 703	mulcncf 25488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
705		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
706	346, 152, 73	constcncfg 46410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
707		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
708	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
709	325, 707, 708	divrecd 11967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) = (𝑤 · (1 / 2)))
710	709	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))))
711		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2)))
712		cncfmptid 24955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
713	72, 72, 712	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
714	713	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
715	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
716		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
717	715, 716, 715	constcncfg 46410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
718	37, 717	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
719	714, 718	mulcncf 25488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
720	709, 459	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
721	711, 719, 346, 73, 720	cncfmptssg 46409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
722	710, 721	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
723	701, 722	cncfmpt1f 24956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
724	706, 723	mulcncf 25488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
725		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
726	725	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
727		difssd 4090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
728	655	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
729	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℂ)
730	654	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
731	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ≠ 0)
732	592	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
733	630	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
734	732, 733	eqnetrd 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
735	734	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
736	735, 665	pm2.61dan 822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
737	729, 730, 731, 736	mulne0d 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
738	737	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0)
739		elsng 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
740	728, 739	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
741	738, 740	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0})
742	728, 741	eldifd 3915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
743	705, 724, 726, 727, 742	cncfmptssg 46409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
744	704, 743	divcncf 25489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
745	744, 484	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
746	576, 745	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
747		cncnp 23320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))))
748	352, 350, 747	sylancl 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))))
749	746, 748	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦)))
750	749	simprd 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))
751	357	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) ↔ 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌)))
752	751	rspccva 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
753	750, 25, 752	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
754	682, 753	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
755	304	mpteq1d 5189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))))
756	754, 755, 497	3eltr4d 2876	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
757		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤)))
758	98	fvmpt2 6983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
759	554, 104, 758	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐻‘𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
760	759, 556	oveq12d 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
761	104, 198, 560	divcld 11964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ∈ ℂ)
762	760, 761	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)) ∈ ℂ)
763		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))
764	762, 763	fmptd 7091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦))):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
765	368, 49, 757, 764, 371, 260	ellimc 25915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌)))
766	756, 765	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌))
767	101	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (ℝ D 𝐹))
768	767	fveq1d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
769	196	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (ℝ D 𝐺))
770	769	fveq1d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑦) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))
771	768, 770	oveq12d 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
772	771	mpteq2dv 5193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))))
773	772	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻‘𝑦) / (𝐼‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌))
774	766, 773	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌))
775	574, 774	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌))
776	573, 775	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌))
777	4, 15, 22, 24, 25, 26, 108, 202, 428, 503, 553, 570, 776	lhop 26058	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌))
778	571	dirkerval 46629	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
779	5, 778	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
780	779	reseq1d 5962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
781	4	resmptd 6026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
782	253	iffalsed 4490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
783	13	recnd 11207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
784	14	fvmpt2 6983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
785	554, 783, 784	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹‘𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
786	554, 500, 522	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐺‘𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
787	785, 786	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
788	782, 787	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
789	788	mpteq2dva 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦))))
790	780, 781, 789	3eqtrrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦))) = ((𝐷‘𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
791	790	oveq1d 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦))) lim_ℂ 𝑌) = (((𝐷‘𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim_ℂ 𝑌))
792	777, 791	eleqtrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷‘𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim_ℂ 𝑌))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∨ wo 858 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ≠ wne 2956 ∀wral 3075 ∃wrex 3085 ∖ cdif 3901 ∪ cun 3902 ⊆ wss 3904 ifcif 4479 {csn 4581 {cpr 4583 class class class wbr 5099 ↦ cmpt 5180 dom cdm 5645 ran crn 5646 ↾ cres 5647 “ cima 5648 ∘ ccom 5649 Fun wfun 6511 Fn wfn 6512 ⟶wf 6513 ‘cfv 6517 (class class class)co 7392 ℂcc 11068 ℝcr 11069 0cc0 11070 1c1 11071 + caddc 11073 · cmul 11075 < clt 11213 / cdiv 11841 ℕcn 12207 2c2 12269 ℤcz 12565 ℝ⁺crp 12990 (,)cioo 13346 mod cmo 13876 sincsin 16076 cosccos 16077 πcpi 16079 ↾_t crest 17432 TopOpenctopn 17433 topGenctg 17449 ℂ_fldccnfld 21404 Topctop 22933 TopOnctopon 22950 Clsdccld 23056 intcnt 23057 Cn ccn 23264 CnP ccnp 23265 Hauscha 23348 –cn→ccncf 24918 lim_ℂ climc 25904 D cdv 25905

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-rep 5226 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5321 ax-pr 5389 ax-un 7714 ax-inf2 9593 ax-cnex 11126 ax-resscn 11127 ax-1cn 11128 ax-icn 11129 ax-addcl 11130 ax-addrcl 11131 ax-mulcl 11132 ax-mulrcl 11133 ax-mulcom 11134 ax-addass 11135 ax-mulass 11136 ax-distr 11137 ax-i2m1 11138 ax-1ne0 11139 ax-1rid 11140 ax-rnegex 11141 ax-rrecex 11142 ax-cnre 11143 ax-pre-lttri 11144 ax-pre-lttrn 11145 ax-pre-ltadd 11146 ax-pre-mulgt0 11147 ax-pre-sup 11148 ax-addf 11149

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4582 df-pr 4584 df-tp 4586 df-op 4588 df-uni 4865 df-int 4905 df-iun 4950 df-iin 4951 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5540 df-eprel 5545 df-po 5553 df-so 5554 df-fr 5598 df-se 5599 df-we 5600 df-xp 5651 df-rel 5652 df-cnv 5653 df-co 5654 df-dm 5655 df-rn 5656 df-res 5657 df-ima 5658 df-pred 6284 df-ord 6345 df-on 6346 df-lim 6347 df-suc 6348 df-iota 6473 df-fun 6519 df-fn 6520 df-f 6521 df-f1 6522 df-fo 6523 df-f1o 6524 df-fv 6525 df-isom 6526 df-riota 7349 df-ov 7395 df-oprab 7396 df-mpo 7397 df-of 7656 df-om 7843 df-1st 7966 df-2nd 7967 df-supp 8136 df-frecs 8257 df-wrecs 8288 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-1o 8432 df-2o 8433 df-er 8673 df-map 8805 df-pm 8806 df-ixp 8876 df-en 8924 df-dom 8925 df-sdom 8926 df-fin 8927 df-fsupp 9305 df-fi 9354 df-sup 9385 df-inf 9386 df-oi 9455 df-card 9894 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11413 df-neg 11414 df-div 11842 df-nn 12208 df-2 12277 df-3 12278 df-4 12279 df-5 12280 df-6 12281 df-7 12282 df-8 12283 df-9 12284 df-n0 12479 df-z 12566 df-dec 12686 df-uz 12837 df-q 12947 df-rp 12991 df-xneg 13111 df-xadd 13112 df-xmul 13113 df-ioo 13350 df-ioc 13351 df-ico 13352 df-icc 13353 df-fz 13510 df-fzo 13657 df-fl 13799 df-mod 13877 df-seq 14012 df-exp 14072 df-fac 14284 df-bc 14313 df-hash 14341 df-shft 15077 df-cj 15109 df-re 15110 df-im 15111 df-sqrt 15245 df-abs 15246 df-limsup 15481 df-clim 15498 df-rlim 15499 df-sum 15697 df-ef 16080 df-sin 16082 df-cos 16083 df-pi 16085 df-struct 17166 df-sets 17183 df-slot 17201 df-ndx 17213 df-base 17229 df-ress 17250 df-plusg 17282 df-mulr 17283 df-starv 17284 df-sca 17285 df-vsca 17286 df-ip 17287 df-tset 17288 df-ple 17289 df-ds 17291 df-unif 17292 df-hom 17293 df-cco 17294 df-rest 17434 df-topn 17435 df-0g 17453 df-gsum 17454 df-topgen 17455 df-pt 17456 df-prds 17459 df-xrs 17515 df-qtop 17520 df-imas 17521 df-xps 17523 df-mre 17597 df-mrc 17598 df-acs 17600 df-mgm 18657 df-sgrp 18736 df-mnd 18752 df-submnd 18801 df-mulg 19093 df-cntz 19340 df-cmn 19805 df-psmet 21396 df-xmet 21397 df-met 21398 df-bl 21399 df-mopn 21400 df-fbas 21401 df-fg 21402 df-cnfld 21405 df-top 22934 df-topon 22951 df-topsp 22973 df-bases 22986 df-cld 23059 df-ntr 23060 df-cls 23061 df-nei 23138 df-lp 23176 df-perf 23177 df-cn 23267 df-cnp 23268 df-t1 23354 df-haus 23355 df-cmp 23427 df-tx 23602 df-hmeo 23795 df-fil 23886 df-fm 23978 df-flim 23979 df-flf 23980 df-xms 24360 df-ms 24361 df-tms 24362 df-cncf 24920 df-limc 25908 df-dv 25909

This theorem is referenced by: dirkercncflem3 46643

W3C validator