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Theorem dirkercncflem2 40961
Description: Lemma used to prove that the Dirichlet Kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem2.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem2.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
dirkercncflem2.g 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.yne0 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
dirkercncflem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
dirkercncflem2.i 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.l 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
dirkercncflem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dirkercncflem2.ymod (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
dirkercncflem2.11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷   𝑤,𝐹,𝑦   𝑤,𝐺,𝑦   𝑤,𝐻,𝑦   𝑤,𝐼,𝑦   𝑦,𝐿   𝑤,𝑁,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦   𝑦,𝑛   𝜑,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐿(𝑤,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem2
StepHypRef Expression
1 difss 3901 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
2 ioossre 12440 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
31, 2sstri 3772 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5 dirkercncflem2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℕ)
76nnred 11293 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℝ)
8 halfre 11494 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 10325 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
114sselda 3763 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
1210, 11remulcld 10326 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℝ)
1312resincld 15158 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℝ)
14 dirkercncflem2.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
1513, 14fmptd 6576 . . 3 (𝜑𝐹:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
16 2re 11348 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
17 pire 24505 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
1816, 17remulcli 10312 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
2011rehalfcld 11527 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
2120resincld 15158 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
2219, 21remulcld 10326 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
23 dirkercncflem2.g . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
2422, 23fmptd 6576 . . 3 (𝜑𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
25 iooretop 22851 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
27 dirkercncflem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28 eqid 2765 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})
2914a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
3029oveq2d 6860 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
31 resmpt 5628 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
323, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
3332eqcomi 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
3534oveq2d 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
36 ax-resscn 10248 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
385nncnd 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
39 halfcn 11495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4138, 40addcld 10315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
4337sselda 3763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
4442, 43mulcld 10316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
4544sincld 15145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
46 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
4745, 46fmptd 6576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ)
48 ssid 3785 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
4948, 3pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ))
51 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5251tgioo2 22888 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52dvres 23969 . . . . . . . . 9 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
5437, 47, 50, 53syl21anc 866 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
55 retop 22847 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
56 rehaus 22884 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
5727elioored 40417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
58 uniretop 22848 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = (topGen‘ran (,))
5958sncld 21458 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6056, 57, 59sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6158difopn 21121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6225, 60, 61sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
63 isopn3i 21169 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
6455, 62, 63sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
6564reseq2d 5567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
66 reelprrecn 10283 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6841adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
69 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7068, 69mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
7170sincld 15145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
72 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
7371, 72fmptd 6576 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
74 ssid 3785 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
76 dvsinax 40768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
7741, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
7877dmeqd 5496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
79 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8070coscld 15146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
8168, 80mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
8279, 81dmmptd 6204 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
8378, 82eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
8436, 83syl5sseqr 3816 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
85 dvres3 23971 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
8667, 73, 75, 84, 85syl22anc 867 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
87 resmpt 5628 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8836, 87mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8988oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9077reseq1d 5566 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
91 resmpt 5628 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9236, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
9390, 92syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9486, 89, 933eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9594reseq1d 5566 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
96 resmpt 5628 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
973, 96mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9865, 95, 973eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9935, 54, 983eqtrd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
100 dirkercncflem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
102101eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = 𝐻)
10330, 99, 1023eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐻)
104103dmeqd 5496 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐻)
10511recnd 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
106105, 81syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
107100, 106dmmptd 6204 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐻 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
108104, 107eqtr2d 2800 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹))
109 eqimss 3819 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110108, 109syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
111 dirkercncflem2.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
112111a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
113 resmpt 5628 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
1143, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
115114eqcomi 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
116115oveq2i 6855 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
118 2cn 11349 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
119 picn 24506 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
120118, 119mulcli 10303 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · π) ∈ ℂ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
12243halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
123122sincld 15145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
124121, 123mulcld 10316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
125 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
126124, 125fmptd 6576 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
12751, 52dvres 23969 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
12837, 126, 50, 127syl21anc 866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
12964reseq2d 5567 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
13036sseli 3759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
131 1cnd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
132 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
134 2ne0 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
136131, 132, 133, 135div13d 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = ((𝑦 / 2) · 1))
137 halfcl 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
138137mulid1d 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 / 2) · 1) = (𝑦 / 2))
139136, 138eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = (𝑦 / 2))
140139fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
141140oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
142141eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
143130, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
145144mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
146145oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
147120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (2 · π) ∈ ℂ)
14839a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
149148, 69mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((1 / 2) · 𝑦) ∈ ℂ)
150149sincld 15145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) ∈ ℂ)
151147, 150mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) ∈ ℂ)
152 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
153151, 152fmptd 6576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ)
154 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
155119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → π ∈ ℂ)
156154, 155mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
157 dvasinbx 40776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 · π) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
158156, 39, 157sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
159 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
160119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → π ∈ ℂ)
161159, 160, 148mul32d 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = ((2 · (1 / 2)) · π))
162134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
163159, 162recidd 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (1 / 2)) = 1)
164163oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · π) = (1 · π))
165160mulid2d 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (1 · π) = π)
166161, 164, 1653eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = π)
167139fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
168167adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
169166, 168oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
170169mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
171158, 170eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
172171dmeqd 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
173 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
17469halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
175174coscld 15146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
176160, 175mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
177173, 176dmmptd 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = ℂ)
178172, 177eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ℂ)
17936, 178syl5sseqr 3816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
180 dvres3 23971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
18167, 153, 75, 179, 180syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
182 resmpt 5628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
18336, 182mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
184183oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
185171reseq1d 5566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
186181, 184, 1853eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
187 resmpt 5628 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
18836, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
189186, 188syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
190146, 189eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
191190reseq1d 5566 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
1924resmptd 5631 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
193129, 191, 1923eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
194117, 128, 1933eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
195194eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
19623a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
197196oveq2d 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
198197eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D 𝐺))
199112, 195, 1983eqtrrd 2804 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐼)
200199dmeqd 5496 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = dom 𝐼)
201105, 176syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
202111, 201dmmptd 6204 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐼 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
203200, 202eqtr2d 2800 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺))
204 eqimss 3819 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
205203, 204syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
206105, 70syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
207206ralrimiva 3113 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
208 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
209208fnmpt 6200 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
210207, 209syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
211 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
212 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
213212oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
214 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
21538adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℂ)
216 1cnd 10290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
217216halfcld 11525 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
218215, 217addcld 10315 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
219 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
220219elioored 40417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℝ)
221220recnd 10324 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℂ)
222221adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ℂ)
223218, 222mulcld 10316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
224211, 213, 214, 223fvmptd 6479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
225 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
226225anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ↔ (𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
227 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑤 mod (2 · π)))
228227neeq1d 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0 ↔ (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0))
229226, 228imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)))
230 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
231 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
232230, 231, 1303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℂ)
233 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ∈ ℂ)
234119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ∈ ℂ)
235134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ≠ 0)
236 0re 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
237 pipos 24507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
238236, 237gtneii 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ≠ 0)
240232, 233, 234, 235, 239divdiv1d 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
241240eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
242241adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
243 dirkercncflem2.yne0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
244243neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
245105halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
246 sineq0 24568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
248244, 247mtbid 315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
249242, 248eqneltrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
250 2rp 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
251 pirp 24508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℝ+
252 rpmulcl 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
253250, 251, 252mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ∈ ℝ+
254 mod0 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
25511, 253, 254sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
256249, 255mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
257256neqned 2944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
258229, 257chvarv 2369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)
259258neneqd 2942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
260 simpll 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝜑)
261 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
262221ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 ∈ ℂ)
26357recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
264263ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℂ)
265 0red 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2665nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
267 1red 10296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
268267rehalfcld 11527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
269266, 268readdcld 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2705nngt0d 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝑁)
271250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
272271rpreccld 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
273266, 272ltaddrpd 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 < (𝑁 + (1 / 2)))
274265, 266, 269, 270, 273lttrd 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < (𝑁 + (1 / 2)))
275274gt0ne0d 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)
27641, 275jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
277276ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
278 mulcan 10920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
279262, 264, 277, 278syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
280261, 279mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 = 𝑌)
281 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 mod (2 · π)) = (𝑌 mod (2 · π)))
282 dirkercncflem2.ymod . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
283281, 282sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
284260, 280, 283syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
285259, 284mtand 850 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
28641, 263mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
287286adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
288 elsn2g 4370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
289287, 288syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
290285, 289mtbird 316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})
291223, 290eldifd 3745 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
292224, 291eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
293 sinf 15139 . . . . . . . . . . . 12 sin:ℂ⟶ℂ
294293fdmi 6235 . . . . . . . . . . 11 dom sin = ℂ
295294eqcomi 2774 . . . . . . . . . 10 ℂ = dom sin
296295a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ℂ = dom sin)
297296difeq1d 3891 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}) = (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
298292, 297eleqtrd 2846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
299298ralrimiva 3113 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
300 fnfvrnss 6582 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})) → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
301210, 299, 300syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
302 uncom 3921 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
303302a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
30427snssd 4496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
305 undif 4211 . . . . . . . . . 10 ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
306304, 305sylib 209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
307303, 306eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
308307mpteq1d 4899 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
309 iftrue 4251 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
310 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
311309, 310eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
312311adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
313 iffalse 4254 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
314313adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
315 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
316 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
317316adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
318 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
319 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 = 𝑌)
320 velsn 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑌} ↔ 𝑤 = 𝑌)
321319, 320sylnibr 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
322321adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
323318, 322eldifd 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
324323adantll 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
32541adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
326 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ)
327326recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℂ)
328327adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ ℂ)
329325, 328mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
330329adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
331315, 317, 324, 330fvmptd 6479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
332314, 331eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
333312, 332pm2.61dan 847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
334333mpteq2dva 4905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
335 ioosscn 40361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
336 resmpt 5628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
337335, 336ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
338 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
339338mulc1cncf 22990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34041, 339syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34151cnfldtop 22869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
342 unicntop 22871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
343342restid 16363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
344341, 343ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
345344eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
34651, 345, 345cncfcn 22994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34774, 75, 346sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
348340, 347eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3492, 37syl5ss 3774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
350342cnrest 21372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
351348, 349, 350syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
352337, 351syl5eqelr 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35351cnfldtopon 22868 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
354 resttopon 21248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
355353, 349, 354sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
356 cncnp 21367 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
357355, 353, 356sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
358352, 357mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
359358simprd 489 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
360 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
361360eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
362361rspccva 3461 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
363359, 27, 362syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
364334, 363eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
365307eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
366365oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
367366oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld)))
368367fveq1d 6379 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
369364, 368eleqtrd 2846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
370308, 369eqeltrd 2844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
371 eqid 2765 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
372 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
373206, 208fmptd 6576 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
3744, 36syl6ss 3775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℂ)
375371, 51, 372, 373, 374, 263ellimc 23931 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
376370, 375mpbird 248 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim 𝑌))
377134a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
378238a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ≠ 0)
379154, 155, 377, 378mulne0d 10935 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
380263, 156, 379divcan1d 11058 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
381380eqcomd 2771 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
382381oveq2d 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))))
383382fveq2d 6381 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))))
384263, 156, 379divcld 11057 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
38541, 384, 156mul12d 10501 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
38641, 154, 155mulassd 10319 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)))
387386eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π))
388387oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)))
38938, 40, 154adddird 10321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)))
390154, 377recid2d 11053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 / 2) · 2) = 1)
391390oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)) = ((𝑁 · 2) + 1))
392389, 391eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + 1))
393392oveq1d 6859 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = (((𝑁 · 2) + 1) · π))
394393oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
395385, 388, 3943eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
39638, 154mulcld 10316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
397 1cnd 10290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
398396, 397addcld 10315 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℂ)
399384, 398, 155mulassd 10319 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
400395, 399eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π))
401400fveq2d 6381 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)))
402 mod0 12886 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
40357, 253, 402sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
404282, 403mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4055nnzd 11731 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
406 2z 11659 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
407406a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
408405, 407zmulcld 11738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℤ)
409408peano2zd 11735 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℤ)
410404, 409zmulcld 11738 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ)
411 sinkpi 24566 . . . . . . . 8 (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
412410, 411syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
413383, 401, 4123eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = 0)
414 sincn 24492 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
415414a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
416415, 286cnlimci 23947 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) ∈ (sin lim ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
417413, 416eqeltrrd 2845 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (sin lim ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
418301, 376, 417limccog 40493 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim 𝑌))
41914a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
420213fveq2d 6381 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
421223sincld 15145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
422419, 420, 214, 421fvmptd 6479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑤) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
423224fveq2d 6381 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
424422, 423eqtr4d 2802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑤) = (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
425424mpteq2dva 4905 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹𝑤)) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
42615feqmptd 6440 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹𝑤)))
427 fcompt 6593 . . . . . . 7 ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
428293, 373, 427sylancr 581 . . . . . 6 (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
429425, 426, 4283eqtr4rd 2810 . . . . 5 (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = 𝐹)
430429oveq1d 6859 . . . 4 (𝜑 → ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim 𝑌) = (𝐹 lim 𝑌))
431418, 430eleqtrd 2846 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝑌))
432 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 = 𝑌)
433432iftrued 4253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = 0)
434263, 154, 156, 377, 379divdiv32d 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) / 2))
435434oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)))
436263halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
437436, 156, 379divcan1d 11058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑌 / 2))
438384, 154, 156, 377div32d 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)))
439155, 154, 377divcan3d 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · π) / 2) = π)
440439oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
441438, 440eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
442435, 437, 4413eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 / 2) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
443442fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)))
444 sinkpi 24566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
445404, 444syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
446443, 445eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = 0)
447446oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · 0))
448156mul01d 10491 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · π) · 0) = 0)
449447, 448eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = 0)
450449eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
451450ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
452 fvoveq1 6867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑌 / 2)))
453452oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
454453eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
455454adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
456433, 451, 4553eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
457 iffalse 4254 . . . . . . . . . 10 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = (𝐺𝑤))
458457adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = (𝐺𝑤))
45923a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
460 fvoveq1 6867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑤 / 2)))
461460oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
462461adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
463120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · π) ∈ ℂ)
464328halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
465464sincld 15145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
466463, 465mulcld 10316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
467466adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
468459, 462, 324, 467fvmptd 6479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐺𝑤) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
469458, 468eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
470456, 469pm2.61dan 847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
471470mpteq2dva 4905 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
472 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
47375, 156, 75constcncfg 40725 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (2 · π)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
474 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
475 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
476134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
477474, 475, 476divrec2d 11061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 2) = ((1 / 2) · 𝑤))
478477mpteq2ia 4901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
479 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
480479mulc1cncf 22990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48139, 480ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
482478, 481eqeltri 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
483482a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
484415, 483cncfmpt1f 22998 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
485473, 484mulcncf 23507 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
486472, 485, 349, 75, 466cncfmptssg 40724 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
487 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
48851, 487, 345cncfcn 22994 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
489349, 74, 488sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
490486, 489eleqtrd 2846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
491 cncnp 21367 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
492355, 353, 491sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
493490, 492mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
494493simprd 489 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
495360eleq2d 2830 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
496495rspccva 3461 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
497494, 27, 496syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
498471, 497eqeltrd 2844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
499307mpteq1d 4899 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))))
500366eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
501500oveq1d 6859 . . . . . 6 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)))
502501fveq1d 6379 . . . . 5 (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
503498, 499, 5023eltr4d 2859 . . . 4 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
504 eqid 2765 . . . . 5 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)))
50511, 124syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
506505, 23fmptd 6576 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
507371, 51, 504, 506, 374, 263ellimc 23931 . . . 4 (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
508503, 507mpbird 248 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝑌))
509256nrexdv 3147 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
510506ffund 6229 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐺)
511 fvelima 6439 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0)
512510, 511sylan 575 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0)
513 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
514119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
515134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
516238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
517105, 513, 514, 515, 516divdiv1d 11088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
518517eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
519518adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
520 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 2 ∈ ℂ)
521119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → π ∈ ℂ)
522520, 521mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
523232adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
524523halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
525524sincld 15145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
526522, 525mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
52723fvmpt2 6482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
528526, 527syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
529528eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = (𝐺𝑦))
530 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐺𝑦) = 0)
531529, 530eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
532120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (2 · π) ∈ ℂ)
533232halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
534533sincld 15145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
535532, 534mul0ord 10933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
536535adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
537531, 536mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
538 2cnne0 11490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
539119, 238pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
540 mulne0 10925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (2 · π) ≠ 0)
541538, 539, 540mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ≠ 0
542541neii 2939 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (2 · π) = 0
543 pm2.53 877 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0) → (¬ (2 · π) = 0 → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
544537, 542, 543mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
545544adantll 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
546105adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
547546halfcld 11525 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
548547, 246syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
549545, 548mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
550519, 549eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
55111adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
552551, 253, 254sylancl 580 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
553550, 552mpbird 248 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
554553ex 401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐺𝑦) = 0 → (𝑦 mod (2 · π)) = 0))
555554reximdva 3163 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
556555adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
557512, 556mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
558509, 557mtand 850 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
559 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
560111fvmpt2 6482 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐼𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
561559, 201, 560syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
562533coscld 15146 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
563562adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
564 dirkercncflem2.11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
565514, 563, 516, 564mulne0d 10935 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
566561, 565eqnetrd 3004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼𝑦) ≠ 0)
567566neneqd 2942 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝐼𝑦) = 0)
568567nrexdv 3147 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
569201, 111fmptd 6576 . . . . . . 7 (𝜑𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
570569ffund 6229 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
571 fvelima 6439 . . . . . 6 ((Fun 𝐼 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
572570, 571sylan 575 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
573568, 572mtand 850 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
574199imaeq1d 5649 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
575573, 574neleqtrrd 2866 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
576 dirkercncflem2.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
577576dirkerval2 40951 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
5785, 57, 577syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
579282iftrued 4253 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
580 dirkercncflem2.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
581580a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))))
582 iftrue 4251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
583582adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
584154, 38mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
585584, 397addcld 10315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
586585, 154, 155, 377, 378divdiv1d 11088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
587586eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
588584, 397, 154, 377divdird 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
58938, 154, 377divcan3d 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
590589oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
591588, 590eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
592591oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
593587, 592eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
594593ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
595310fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑌 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
596595oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))))
597 fvoveq1 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑌 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
598597oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑌 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑌 / 2))))
599596, 598oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑌 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
600599adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
60138, 40, 263adddird 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)))
602397, 154, 263, 377div32d 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (1 · (𝑌 / 2)))
603436mulid2d 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
604602, 603eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (𝑌 / 2))
605604oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)) = ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)))
60638, 263mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) ∈ ℂ)
607606, 436addcomd 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
608601, 605, 6073eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
609608fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))))
610606, 156, 379divcan1d 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑁 · 𝑌))
611610eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) = (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))
612611oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)) = ((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π))))
613612fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))) = (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))))
61438, 263, 156, 379divassd 11092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) = (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))))
615405, 404zmulcld 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
616614, 615eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ)
617 cosper 24529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑌 / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ) → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
618436, 616, 617syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
619609, 613, 6183eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
620619oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))))
621620oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
622436coscld 15146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ∈ ℂ)
623263, 154, 155, 377, 378divdiv1d 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) = (𝑌 / (2 · π)))
624623, 404eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ)
625624zred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℝ)
626625, 272ltaddrpd 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)))
627 halflt1 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) < 1
628627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
629268, 267, 625, 628ltadd2dd 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1))
630 btwnnz 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∧ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1)) → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
631624, 626, 629, 630syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
632 coseq0 40716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
633436, 632syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
634631, 633mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ (cos‘(𝑌 / 2)) = 0)
635634neqned 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
63641, 155, 622, 378, 635divcan5rd 11084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
637621, 636eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
638637ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
639600, 638eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) / π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
640583, 594, 6393eqtrrd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
641 iffalse 4254 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))
642641adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))
643 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))))
644 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑤))
645 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑤))
646644, 645oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
647646adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
648106, 100fmptd 6576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
649648ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
650649, 324ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻𝑤) ∈ ℂ)
651569ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
652651, 324ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) ∈ ℂ)
653111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
654 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
655654fvoveq1d 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
656655oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
657119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → π ∈ ℂ)
658327halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
659658coscld 15146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
660657, 659mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
661660ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
662653, 656, 324, 661fvmptd 6479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
663539a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
664659ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
665 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝜑)
666 fvoveq1 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
667666neeq1d 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → ((cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ↔ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0))
668226, 667imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)))
669668, 564chvarv 2369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
670665, 324, 669syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
671 mulne0 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ ((cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
672663, 664, 670, 671syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
673662, 672eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) ≠ 0)
674650, 652, 673divcld 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)) ∈ ℂ)
675643, 647, 324, 674fvmptd 6479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
676100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
677317fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
678677oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
679329coscld 15146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
680325, 679mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
681680adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
682676, 678, 324, 681fvmptd 6479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
683682, 662oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
684642, 675, 6833eqtrrd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
685640, 684pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
686685mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))))
687581, 686eqtr2d 2800 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = 𝐿)
688349, 41, 75constcncfg 40725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
689 cosf 15140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 cos:ℂ⟶ℂ
690231, 44sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
691 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
692690, 691fmptd 6576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
693 fcompt 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((cos:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
694689, 692, 693sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
695 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
696316adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
697 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
698695, 696, 697, 329fvmptd 6479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
699698fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
700699mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
701694, 700eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
702349, 41, 75constcncfg 40725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
703349, 75idcncfg 40726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
704702, 703mulcncf 23507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
705 coscn 24493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
706705a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
707704, 706cncfco 22992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
708701, 707eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
709688, 708mulcncf 23507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
710 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
711349, 155, 75constcncfg 40725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
712 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
713134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
714328, 712, 713divrecd 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) = (𝑤 · (1 / 2)))
715714mpteq2dva 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))))
716 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2)))
717 cncfmptid 22997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71874, 74, 717mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
719718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72074a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
721 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
722720, 721, 720constcncfg 40725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72339, 722mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
724719, 723mulcncf 23507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
725714, 464eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
726716, 724, 349, 75, 725cncfmptssg 40724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
727715, 726eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
728706, 727cncfmpt1f 22998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
729711, 728mulcncf 23507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
730 ssid 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
731730a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
732 difssd 3902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
733660adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
734119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℂ)
735659adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
736238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ≠ 0)
737597adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
738635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
739737, 738eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
740739adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
741740, 670pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
742734, 735, 736, 741mulne0d 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
743742neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0)
744 elsng 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
745733, 744syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
746743, 745mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0})
747733, 746eldifd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
748710, 729, 731, 732, 747cncfmptssg 40724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
749709, 748divcncf 23508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
750749, 489eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
751581, 750eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
752 cncnp 21367 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
753355, 353, 752sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
754751, 753mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
755754simprd 489 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
756360eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
757756rspccva 3461 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
758755, 27, 757syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
759687, 758eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
760307mpteq1d 4899 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))))
761759, 760, 5023eltr4d 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
762 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
763100fvmpt2 6482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ) → (𝐻𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
764559, 106, 763syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐻𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
765764, 561oveq12d 6862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
766106, 201, 565divcld 11057 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ∈ ℂ)
767765, 766eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) ∈ ℂ)
768 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))
769767, 768fmptd 6576 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
770371, 51, 762, 769, 374, 263ellimc 23931 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
771761, 770mpbird 248 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌))
772103eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 = (ℝ D 𝐹))
773772fveq1d 6379 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
774199eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 = (ℝ D 𝐺))
775774fveq1d 6379 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑦) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))
776773, 775oveq12d 6862 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
777776mpteq2dv 4906 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))))
778777oveq1d 6859 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
779771, 778eleqtrd 2846 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
780579, 779eqeltrd 2844 . . . 4 (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
781578, 780eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
7824, 15, 24, 26, 27, 28, 110, 205, 431, 508, 558, 575, 781lhop 24073 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) lim 𝑌))
783576dirkerval 40948 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
7845, 783syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
785784reseq1d 5566 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
7864resmptd 5631 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
787256iffalsed 4256 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
78813recnd 10324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
78914fvmpt2 6482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
790559, 788, 789syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
791559, 505, 527syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
792790, 791oveq12d 6862 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
793787, 792eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
794793mpteq2dva 4905 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))))
795785, 786, 7943eqtrrd 2804 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) = ((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
796795oveq1d 6859 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) lim 𝑌) = (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
797782, 796eleqtrd 2846 1 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cdif 3731  cun 3732  wss 3734  ifcif 4245  {csn 4336  {cpr 4338   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  cres 5281  cima 5282  ccom 5283  Fun wfun 6064   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  cz 11626  +crp 12031  (,)cioo 12380   mod cmo 12879  sincsin 15079  cosccos 15080  πcpi 15082  t crest 16350  TopOpenctopn 16351  topGenctg 16367  fldccnfld 20022  Topctop 20980  TopOnctopon 20997  Clsdccld 21103  intcnt 21104   Cn ccn 21311   CnP ccnp 21312  Hauscha 21395  cnccncf 22961   lim climc 23920   D cdv 23921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-mod 12880  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14095  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-limsup 14490  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-ef 15083  df-sin 15085  df-cos 15086  df-pi 15088  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-t1 21401  df-haus 21402  df-cmp 21473  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cncf 22963  df-limc 23924  df-dv 23925
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