Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem4 44822
Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 Ο€ . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem4.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dirkercncflem4.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
dirkercncflem4.ymod0 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) β‰  0)
dirkercncflem4.a 𝐴 = (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
dirkercncflem4.b 𝐡 = (𝐴 + 1)
dirkercncflem4.c 𝐢 = (𝐴 Β· (2 Β· Ο€))
dirkercncflem4.e 𝐸 = (𝐡 Β· (2 Β· Ο€))
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐢   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝑁   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝑛   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑦,𝑛)   𝐡(𝑦,𝑛)   𝐢(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Œ(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 25956 . . . . . . . . . . 11 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
21a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
3 ioosscn 13386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢(,)𝐸) βŠ† β„‚
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐸) βŠ† β„‚)
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
7 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
87halfcld 12457 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
96, 8addcld 11233 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 + (1 / 2)) ∈ β„‚)
10 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ βŠ† β„‚
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
124, 9, 11constcncfg 44588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
134, 11idcncfg 44589 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
1412, 13mulcncf 24963 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
152, 14cncfmpt1f 24430 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
16 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 2 ∈ β„‚)
17 pirp 25971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Ο€ ∈ ℝ+)
1918rpcnd 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
2016, 19mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
21 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ)
2322sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2423recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2524halfcld 12457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
2625sincld 16073 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) ∈ β„‚)
2720, 26mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ β„‚)
28 2rp 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
3029rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 2 β‰  0)
3118rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Ο€ β‰  0)
3216, 19, 30, 31mulne0d 11866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((𝑦 / 2) / Ο€) = (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐢 = (𝐴 Β· (2 Β· Ο€))
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴 = (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
3635oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) = ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€))
3734, 36eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐢 = ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€))
3837oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐢 / (2 Β· Ο€)) = (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€))
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
40 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
41 pire 25968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ο€ ∈ ℝ
4240, 41remulcli 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
44 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ ℝ
45 2pos 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < 2
46 pipos 25970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < Ο€
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 < (2 Β· Ο€)
4844, 47gtneii 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 Β· Ο€) β‰  0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
5039, 43, 49redivcld 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
5150flcld 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ∈ β„€)
5251zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ∈ ℝ)
5352recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ∈ β„‚)
5443recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
5553, 54, 49divcan4d 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) = (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))))
5638, 55eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) = (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))))
5756, 51eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
5952, 43remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
6037, 59eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6229, 18rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸))
6460rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
6635eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) = 𝐴
6766oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) = (𝐴 + 1)
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝐡 = (𝐴 + 1)
6967, 68eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) = 𝐡
7069oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)) = (𝐡 Β· (2 Β· Ο€))
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐸 = (𝐡 Β· (2 Β· Ο€))
7270, 71eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)) = 𝐸
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)) = 𝐸)
74 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
7552, 74readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) ∈ ℝ)
7675, 43remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
7877rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
7978adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
80 elioo2 13365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸)))
8165, 79, 80syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸)))
8263, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸))
8382simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐢 < 𝑦)
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
8577adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
8682simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑦 < 𝐸)
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (𝐸 / (2 Β· Ο€)))
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝐴 Β· (2 Β· Ο€)))
8988oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)))
9089oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1) = (((𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) + 1))
9135, 53eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9291, 54, 49divcan4d 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) = 𝐴)
9392oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) + 1) = (𝐴 + 1))
9468oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐡 Β· (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€))
9571, 94eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐸 = ((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€))
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐸 = ((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€)))
9796oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· Ο€)) = (((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)))
9891, 7addcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„‚)
9998, 54, 49divcan4d 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) = (𝐴 + 1))
10097, 99eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) = (𝐸 / (2 Β· Ο€)))
10190, 93, 1003eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· Ο€)) = ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1))
102101adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝐸 / (2 Β· Ο€)) = ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1))
10387, 102breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1))
104 btwnnz 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐢 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€ ∧ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∧ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1)) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
10558, 84, 103, 104syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
10633, 105eqneltrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€)
107 sineq0 26033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€))
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€))
109106, 108mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0)
110109neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
11120, 26, 32, 110mulne0d 11866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) β‰  0)
112111neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) = 0)
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 2 ∈ ℝ)
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
115113, 114remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
11623rehalfcld 12459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
117116resincld 16086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
118115, 117remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
119 elsng 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ ℝ β†’ (((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) = 0))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) = 0))
121112, 120mtbird 325 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ {0})
12227, 121eldifd 3960 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
123 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
124 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)))
125 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) β†’ (1 / π‘₯) = (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
126122, 123, 124, 125fmptco 7127 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))
127 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
128 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
1294, 128, 11constcncfg 44588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ 2) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ+)
131130rpcnd 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
1324, 131, 11constcncfg 44588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ Ο€) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
133129, 132mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (2 Β· Ο€)) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
13424, 16, 30divrecd 11993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / 2) = (𝑦 Β· (1 / 2)))
135134mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑦 Β· (1 / 2))))
1364, 8, 11constcncfg 44588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
13713, 136mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑦 Β· (1 / 2))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
138135, 137eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
1392, 138cncfmpt1f 24430 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
140133, 139mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
141 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢(,)𝐸) βŠ† (𝐢(,)𝐸)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐸) βŠ† (𝐢(,)𝐸))
143 difssd 4133 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 44587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
145 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
146 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯))
147146cdivcncf 24437 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
149144, 148cncfco 24423 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
150126, 149eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
15115, 150mulcncf 24963 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
153152dirkerval 44807 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
155154reseq1d 5981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)))
15622resmptd 6041 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
158157, 130rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
159158adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
160 mod0 13841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
16123, 159, 160syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
162105, 161mtbird 325 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ (𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0)
163162iffalsed 4540 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
1646adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
165 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 1 ∈ β„‚)
166165halfcld 12457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
167164, 166addcld 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑁 + (1 / 2)) ∈ β„‚)
168167, 24mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦) ∈ β„‚)
169168sincld 16073 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
170169, 27, 111divrecd 11993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))
171163, 170eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))
172171mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
173155, 156, 1723eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) = ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)))
174 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
175174tgioo2 24319 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
176175oveq1i 7419 . . . . . . . . . . 11 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐢(,)𝐸))
177174cnfldtop 24300 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
178 reex 11201 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
179 restabs 22669 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)))
180177, 21, 178, 179mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐢(,)𝐸))
181176, 180eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐢(,)𝐸))
182 unicntop 24302 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
183182restid 17379 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld))
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
185184eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
186174, 181, 185cncfcn 24426 . . . . . . . . 9 (((𝐢(,)𝐸) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
1874, 11, 186syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
188151, 173, 1873eltr3d 2848 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
189 retopon 24280 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„))
191 resttopon 22665 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐢(,)𝐸)))
192190, 22, 191syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐢(,)𝐸)))
193174cnfldtopon 24299 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
194193a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
195 cncnp 22784 . . . . . . . 8 ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐢(,)𝐸)) ∧ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))))
196192, 194, 195syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))))
197188, 196mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦)))
198197simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) β‰  0)
200199neneqd 2946 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
201 mod0 13841 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
20239, 158, 201syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
203200, 202mtbid 324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
204 flltnz 13776 . . . . . . . . . 10 (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ ∧ Β¬ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) < (π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
20550, 203, 204syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) < (π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 13071 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) Β· (2 Β· Ο€)))
20739recnd 11242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
208207, 54, 49divcan1d 11991 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) Β· (2 Β· Ο€)) = π‘Œ)
209206, 208breqtrd 5175 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) < π‘Œ)
21037, 209eqbrtrid 5184 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 < π‘Œ)
211 fllelt 13762 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ≀ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∧ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1)))
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ≀ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∧ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1)))
213212simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1))
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 13071 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) Β· (2 Β· Ο€)) < (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)))
215214, 208, 733brtr3d 5180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝐸)
21664, 78, 39, 210, 215eliood 44211 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐢(,)𝐸))
217 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦) = ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ))
218217eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ)))
219218rspccva 3612 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦) ∧ π‘Œ ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ))
220198, 216, 219syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ))
221177a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
222152dirkerf 44813 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
2235, 222syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
224223, 22fssresd 6759 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„)
225 ax-resscn 11167 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
226225a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
227 retop 24278 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
228 uniretop 24279 . . . . . . . 8 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
229228restuni 22666 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) β†’ (𝐢(,)𝐸) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)))
230227, 21, 229mp2an 691 . . . . . 6 (𝐢(,)𝐸) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸))
231230, 182cnprest2 22794 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘Œ)))
232221, 224, 226, 231syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘Œ)))
233220, 232mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘Œ))
234175eqcomi 2742 . . . . . 6 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = (topGenβ€˜ran (,))
235234a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = (topGenβ€˜ran (,)))
236235oveq2d 7425 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,))))
237236fveq1d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘Œ) = ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ))
238233, 237eleqtrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ))
239227a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
240 iooretop 24282 . . . . . . 7 (𝐢(,)𝐸) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
241228isopn3 22570 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐢(,)𝐸) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)) = (𝐢(,)𝐸)))
242240, 241mpbii 232 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)) = (𝐢(,)𝐸))
243239, 22, 242syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)) = (𝐢(,)𝐸))
244243eqcomd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐸) = ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)))
245216, 244eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)))
246228, 228cnprest 22793 . . 3 ((((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) ∧ (π‘Œ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)) ∧ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)) β†’ ((π·β€˜π‘) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ)))
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 838 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ)))
248238, 247mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  βŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  sincsin 16007  Ο€cpi 16010   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  intcnt 22521   Cn ccn 22728   CnP ccnp 22729  β€“cnβ†’ccncf 24392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dirkercncf  44823
  Copyright terms: Public domain W3C validator