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Theorem dirkercncflem4 44279
Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem4.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem4.ymod0 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
dirkercncflem4.a 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
dirkercncflem4.b 𝐵 = (𝐴 + 1)
dirkercncflem4.c 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
dirkercncflem4.e 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝑁   𝑦,𝑌   𝑦,𝑛   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑦,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 25787 . . . . . . . . . . 11 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
21a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3 ioosscn 13318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ)
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nncnd 12165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7 1cnd 11146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
87halfcld 12394 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
96, 8addcld 11170 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
10 ssid 3964 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
124, 9, 11constcncfg 44045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
134, 11idcncfg 44046 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
1412, 13mulcncf 24794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152, 14cncfmpt1f 24261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
16 2cnd 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℂ)
17 pirp 25802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ+)
1918rpcnd 12951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 11171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℂ)
21 ioossre 13317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ)
2322sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2423recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2524halfcld 12394 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
2625sincld 16004 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 11171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
28 2rp 12912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ+)
3029rpne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ≠ 0)
3118rpne0d 12954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ≠ 0)
3216, 19, 30, 31mulne0d 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ≠ 0)
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 11958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
3635oveq1i 7363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 · (2 · π)) = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
3734, 36eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐶 = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
3837oveq1i 7363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶 / (2 · π)) = (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π))
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
40 2re 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
41 pire 25799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 π ∈ ℝ
4240, 41remulcli 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 · π) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
44 0re 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ ℝ
45 2pos 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < 2
46 pipos 25801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < π
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 < (2 · π)
4844, 47gtneii 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 · π) ≠ 0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
5039, 43, 49redivcld 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5150flcld 13695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
5251zred 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℝ)
5352recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℂ)
5443recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
5553, 54, 49divcan4d 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
5638, 55eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
5756, 51eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
5952, 43remulcld 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) ∈ ℝ)
6037, 59eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6229, 18rpmulcld 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸))
6460rexrd 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6635eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) = 𝐴
6766oveq1i 7363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = (𝐴 + 1)
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝐵 = (𝐴 + 1)
6967, 68eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = 𝐵
7069oveq1i 7363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (𝐵 · (2 · π))
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
7270, 71eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸)
74 1red 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7552, 74readdcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) ∈ ℝ)
7675, 43remulcld 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7877rexrd 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ*)
80 elioo2 13297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐸 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸)))
8165, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸)))
8263, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸))
8382simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 < 𝑦)
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
8577adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ)
8682simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 < 𝐸)
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐸 / (2 · π)))
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐶 = (𝐴 · (2 · π)))
8988oveq1d 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)))
9089oveq1d 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐶 / (2 · π)) + 1) = (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1))
9135, 53eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9291, 54, 49divcan4d 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) = 𝐴)
9392oveq1d 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1) = (𝐴 + 1))
9468oveq1i 7363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵 · (2 · π)) = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
9571, 94eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π)))
9796oveq1d 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)))
9891, 7addcld 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
9998, 54, 49divcan4d 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)) = (𝐴 + 1))
10097, 99eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (𝐸 / (2 · π)))
10190, 93, 1003eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
10387, 102breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
104 btwnnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10558, 84, 103, 104syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10633, 105eqneltrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
107 sineq0 25864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
109106, 108mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
110109neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
11120, 26, 32, 110mulne0d 11803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
112111neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ)
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ)
115113, 114remulcld 11181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ)
11623rehalfcld 12396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
117116resincld 16017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
118115, 117remulcld 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
119 elsng 4598 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
121112, 120mtbird 324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0})
12227, 121eldifd 3919 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
123 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
124 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
125 oveq2 7361 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) → (1 / 𝑥) = (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
126122, 123, 124, 125fmptco 7071 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
127 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
128 2cnd 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1294, 128, 11constcncfg 44045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 2) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → π ∈ ℝ+)
131130rpcnd 12951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → π ∈ ℂ)
1324, 131, 11constcncfg 44045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ π) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
133129, 132mulcncf 24794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (2 · π)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13424, 16, 30divrecd 11930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) = (𝑦 · (1 / 2)))
135134mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))))
1364, 8, 11constcncfg 44045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13713, 136mulcncf 24794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
138135, 137eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
1392, 138cncfmpt1f 24261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
140133, 139mulcncf 24794 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
141 ssid 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸))
143 difssd 4090 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 44044 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→(ℂ ∖ {0})))
145 ax-1cn 11105 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
146 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
147146cdivcncf 24268 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
149144, 148cncfco 24254 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
150126, 149eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
15115, 150mulcncf 24794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
153152dirkerval 44264 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
155154reseq1d 5934 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
15622resmptd 5992 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
158157, 130rpmulcld 12965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
160 mod0 13773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
16123, 159, 160syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
162105, 161mtbird 324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
163162iffalsed 4495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
1646adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑁 ∈ ℂ)
165 1cnd 11146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 1 ∈ ℂ)
166165halfcld 12394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
167164, 166addcld 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
168167, 24mulcld 11171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
169168sincld 16004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
170169, 27, 111divrecd 11930 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
171163, 170eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
172171mpteq2dva 5203 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
173155, 156, 1723eqtrrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
174 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
175174tgioo2 24150 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
176175oveq1i 7363 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸))
177174cnfldtop 24131 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
178 reex 11138 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
179 restabs 22500 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸)))
180177, 21, 178, 179mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸))
181176, 180eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸))
182 unicntop 24133 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
183182restid 17307 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
185184eqcomi 2745 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
186174, 181, 185cncfcn 24257 . . . . . . . . 9 (((𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1874, 11, 186syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
188151, 173, 1873eltr3d 2852 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
189 retopon 24111 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
191 resttopon 22496 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
192190, 22, 191syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
193174cnfldtopon 24130 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
194193a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
195 cncnp 22615 . . . . . . . 8 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
196192, 194, 195syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
197188, 196mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
198197simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
200199neneqd 2946 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
201 mod0 13773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
20239, 158, 201syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
203200, 202mtbid 323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
204 flltnz 13708 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
20550, 203, 204syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 13004 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
20739recnd 11179 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
208207, 54, 49divcan1d 11928 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
209206, 208breqtrd 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < 𝑌)
21037, 209eqbrtrid 5138 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝑌)
211 fllelt 13694 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
213212simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1))
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 13004 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) < (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)))
215214, 208, 733brtr3d 5134 . . . . . 6 (𝜑𝑌 < 𝐸)
21664, 78, 39, 210, 215eliood 43668 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸))
217 fveq2 6839 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
218217eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
219218rspccva 3578 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
220198, 216, 219syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
221177a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
222152dirkerf 44270 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
2235, 222syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
224223, 22fssresd 6706 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ)
225 ax-resscn 11104 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
226225a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
227 retop 24109 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
228 uniretop 24110 . . . . . . . 8 ℝ = (topGen‘ran (,))
229228restuni 22497 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → (𝐶(,)𝐸) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)))
230227, 21, 229mp2an 690 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐸) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸))
231230, 182cnprest2 22625 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌)))
232221, 224, 226, 231syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌)))
233220, 232mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌))
234175eqcomi 2745 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
235234a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
236235oveq2d 7369 . . . 4 (𝜑 → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,))))
237236fveq1d 6841 . . 3 (𝜑 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
238233, 237eleqtrd 2840 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
239227a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
240 iooretop 24113 . . . . . . 7 (𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,))
241228isopn3 22401 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸)))
242240, 241mpbii 232 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
243239, 22, 242syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
244243eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
245216, 244eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
246228, 228cnprest 22624 . . 3 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) ∧ (𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)) → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
248238, 247mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3443  cdif 3905  wss 3908  ifcif 4484  {csn 4584   cuni 4863   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ran crn 5632  cres 5633  ccom 5635  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  cc 11045  cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  *cxr 11184   < clt 11185  cle 11186   / cdiv 11808  cn 12149  2c2 12204  cz 12495  +crp 12907  (,)cioo 13256  cfl 13687   mod cmo 13766  sincsin 15938  πcpi 15941  t crest 17294  TopOpenctopn 17295  topGenctg 17311  fldccnfld 20781  Topctop 22226  TopOnctopon 22243  intcnt 22352   Cn ccn 22559   CnP ccnp 22560  cnccncf 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-mod 13767  df-seq 13899  df-exp 13960  df-fac 14166  df-bc 14195  df-hash 14223  df-shft 14944  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-limsup 15345  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-ef 15942  df-sin 15944  df-cos 15945  df-pi 15947  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-lp 22471  df-perf 22472  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225  df-limc 25214  df-dv 25215
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