Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem4 45122
Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 Ο€ . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem4.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dirkercncflem4.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
dirkercncflem4.ymod0 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) β‰  0)
dirkercncflem4.a 𝐴 = (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
dirkercncflem4.b 𝐡 = (𝐴 + 1)
dirkercncflem4.c 𝐢 = (𝐴 Β· (2 Β· Ο€))
dirkercncflem4.e 𝐸 = (𝐡 Β· (2 Β· Ο€))
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐢   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝑁   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝑛   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑦,𝑛)   𝐡(𝑦,𝑛)   𝐢(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Œ(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 26190 . . . . . . . . . . 11 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
21a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
3 ioosscn 13392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢(,)𝐸) βŠ† β„‚
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐸) βŠ† β„‚)
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65nncnd 12234 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
7 1cnd 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
87halfcld 12463 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
96, 8addcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 + (1 / 2)) ∈ β„‚)
10 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ βŠ† β„‚
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
124, 9, 11constcncfg 44888 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
134, 11idcncfg 44889 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
1412, 13mulcncf 25196 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
152, 14cncfmpt1f 24656 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
16 2cnd 12296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 2 ∈ β„‚)
17 pirp 26205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Ο€ ∈ ℝ+)
1918rpcnd 13024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
2016, 19mulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
21 ioossre 13391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ)
2322sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2423recnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2524halfcld 12463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
2625sincld 16079 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) ∈ β„‚)
2720, 26mulcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ β„‚)
28 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
3029rpne0d 13027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 2 β‰  0)
3118rpne0d 13027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Ο€ β‰  0)
3216, 19, 30, 31mulne0d 11872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((𝑦 / 2) / Ο€) = (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐢 = (𝐴 Β· (2 Β· Ο€))
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴 = (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
3635oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) = ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€))
3734, 36eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐢 = ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€))
3837oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐢 / (2 Β· Ο€)) = (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€))
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
40 2re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
41 pire 26202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ο€ ∈ ℝ
4240, 41remulcli 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
44 0re 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ ℝ
45 2pos 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < 2
46 pipos 26204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < Ο€
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 < (2 Β· Ο€)
4844, 47gtneii 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 Β· Ο€) β‰  0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
5039, 43, 49redivcld 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
5150flcld 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ∈ β„€)
5251zred 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ∈ ℝ)
5352recnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ∈ β„‚)
5443recnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
5553, 54, 49divcan4d 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) = (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))))
5638, 55eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) = (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))))
5756, 51eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
5857adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
5952, 43remulcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
6037, 59eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6229, 18rpmulcld 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
63 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸))
6460rexrd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
6635eqcomi 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) = 𝐴
6766oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) = (𝐴 + 1)
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝐡 = (𝐴 + 1)
6967, 68eqtr4i 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) = 𝐡
7069oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)) = (𝐡 Β· (2 Β· Ο€))
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐸 = (𝐡 Β· (2 Β· Ο€))
7270, 71eqtr4i 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)) = 𝐸
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)) = 𝐸)
74 1red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
7552, 74readdcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) ∈ ℝ)
7675, 43remulcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
7877rexrd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
7978adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
80 elioo2 13371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸)))
8165, 79, 80syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸)))
8263, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸))
8382simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐢 < 𝑦)
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
8577adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
8682simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑦 < 𝐸)
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (𝐸 / (2 Β· Ο€)))
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝐴 Β· (2 Β· Ο€)))
8988oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)))
9089oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1) = (((𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) + 1))
9135, 53eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9291, 54, 49divcan4d 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) = 𝐴)
9392oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) + 1) = (𝐴 + 1))
9468oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐡 Β· (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€))
9571, 94eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐸 = ((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€))
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐸 = ((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€)))
9796oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· Ο€)) = (((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)))
9891, 7addcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„‚)
9998, 54, 49divcan4d 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 1) Β· (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) = (𝐴 + 1))
10097, 99eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) = (𝐸 / (2 Β· Ο€)))
10190, 93, 1003eqtrrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· Ο€)) = ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1))
102101adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝐸 / (2 Β· Ο€)) = ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1))
10387, 102breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1))
104 btwnnz 12644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐢 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€ ∧ (𝐢 / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∧ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((𝐢 / (2 Β· Ο€)) + 1)) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
10558, 84, 103, 104syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
10633, 105eqneltrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€)
107 sineq0 26267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€))
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€))
109106, 108mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0)
110109neqned 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
11120, 26, 32, 110mulne0d 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) β‰  0)
112111neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) = 0)
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 2 ∈ ℝ)
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
115113, 114remulcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
11623rehalfcld 12465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
117116resincld 16092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
118115, 117remulcld 11250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
119 elsng 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ ℝ β†’ (((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) = 0))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) = 0))
121112, 120mtbird 324 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ {0})
12227, 121eldifd 3960 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
123 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
124 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)))
125 oveq2 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) β†’ (1 / π‘₯) = (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
126122, 123, 124, 125fmptco 7130 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))
127 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
128 2cnd 12296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
1294, 128, 11constcncfg 44888 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ 2) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ+)
131130rpcnd 13024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
1324, 131, 11constcncfg 44888 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ Ο€) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
133129, 132mulcncf 25196 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (2 Β· Ο€)) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
13424, 16, 30divrecd 11999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑦 / 2) = (𝑦 Β· (1 / 2)))
135134mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑦 Β· (1 / 2))))
1364, 8, 11constcncfg 44888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
13713, 136mulcncf 25196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑦 Β· (1 / 2))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
138135, 137eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
1392, 138cncfmpt1f 24656 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (sinβ€˜(𝑦 / 2))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
140133, 139mulcncf 25196 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
141 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢(,)𝐸) βŠ† (𝐢(,)𝐸)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐸) βŠ† (𝐢(,)𝐸))
143 difssd 4133 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 44887 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
145 ax-1cn 11172 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
146 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯))
147146cdivcncf 24663 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) ∈ ((β„‚ βˆ– {0})–cnβ†’β„‚))
149144, 148cncfco 24649 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / π‘₯)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
150126, 149eqeltrrd 2832 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
15115, 150mulcncf 25196 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) ∈ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚))
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
153152dirkerval 45107 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
155154reseq1d 5981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)))
15622resmptd 6041 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
158157, 130rpmulcld 13038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
159158adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
160 mod0 13847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
16123, 159, 160syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
162105, 161mtbird 324 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ Β¬ (𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0)
163162iffalsed 4540 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
1646adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
165 1cnd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ 1 ∈ β„‚)
166165halfcld 12463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
167164, 166addcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (𝑁 + (1 / 2)) ∈ β„‚)
168167, 24mulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦) ∈ β„‚)
169168sincld 16079 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
170169, 27, 111divrecd 11999 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))
171163, 170eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))
172171mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
173155, 156, 1723eqtrrd 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐢(,)𝐸) ↦ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) Β· (1 / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) = ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)))
174 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
175174tgioo2 24541 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
176175oveq1i 7423 . . . . . . . . . . 11 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐢(,)𝐸))
177174cnfldtop 24522 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
178 reex 11205 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
179 restabs 22891 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)))
180177, 21, 178, 179mp3an 1459 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐢(,)𝐸))
181176, 180eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐢(,)𝐸))
182 unicntop 24524 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
183182restid 17385 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld))
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
185184eqcomi 2739 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
186174, 181, 185cncfcn 24652 . . . . . . . . 9 (((𝐢(,)𝐸) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
1874, 11, 186syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)𝐸)–cnβ†’β„‚) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
188151, 173, 1873eltr3d 2845 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
189 retopon 24502 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„))
191 resttopon 22887 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐢(,)𝐸)))
192190, 22, 191syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐢(,)𝐸)))
193174cnfldtopon 24521 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
194193a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
195 cncnp 23006 . . . . . . . 8 ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐢(,)𝐸)) ∧ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))))
196192, 194, 195syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))))
197188, 196mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦)))
198197simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) β‰  0)
200199neneqd 2943 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
201 mod0 13847 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
20239, 158, 201syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
203200, 202mtbid 323 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
204 flltnz 13782 . . . . . . . . . 10 (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ ∧ Β¬ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) < (π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
20550, 203, 204syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) < (π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 13077 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) Β· (2 Β· Ο€)))
20739recnd 11248 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
208207, 54, 49divcan1d 11997 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) Β· (2 Β· Ο€)) = π‘Œ)
209206, 208breqtrd 5175 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) Β· (2 Β· Ο€)) < π‘Œ)
21037, 209eqbrtrid 5184 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 < π‘Œ)
211 fllelt 13768 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ≀ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∧ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1)))
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) ≀ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∧ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1)))
213212simprd 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1))
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 13077 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) Β· (2 Β· Ο€)) < (((βŒŠβ€˜(π‘Œ / (2 Β· Ο€))) + 1) Β· (2 Β· Ο€)))
215214, 208, 733brtr3d 5180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝐸)
21664, 78, 39, 210, 215eliood 44511 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐢(,)𝐸))
217 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦) = ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ))
218217eleq2d 2817 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ)))
219218rspccva 3612 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐢(,)𝐸)((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦) ∧ π‘Œ ∈ (𝐢(,)𝐸)) β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ))
220198, 216, 219syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ))
221177a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
222152dirkerf 45113 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
2235, 222syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
224223, 22fssresd 6759 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„)
225 ax-resscn 11171 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
226225a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
227 retop 24500 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
228 uniretop 24501 . . . . . . . 8 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
229228restuni 22888 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) β†’ (𝐢(,)𝐸) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)))
230227, 21, 229mp2an 688 . . . . . 6 (𝐢(,)𝐸) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸))
231230, 182cnprest2 23016 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)):(𝐢(,)𝐸)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘Œ)))
232221, 224, 226, 231syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘Œ)))
233220, 232mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘Œ))
234175eqcomi 2739 . . . . . 6 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = (topGenβ€˜ran (,))
235234a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = (topGenβ€˜ran (,)))
236235oveq2d 7429 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,))))
237236fveq1d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘Œ) = ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ))
238233, 237eleqtrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ))
239227a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
240 iooretop 24504 . . . . . . 7 (𝐢(,)𝐸) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
241228isopn3 22792 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐢(,)𝐸) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)) = (𝐢(,)𝐸)))
242240, 241mpbii 232 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)) = (𝐢(,)𝐸))
243239, 22, 242syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)) = (𝐢(,)𝐸))
244243eqcomd 2736 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐸) = ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)))
245216, 244eleqtrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)))
246228, 228cnprest 23015 . . 3 ((((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐢(,)𝐸) βŠ† ℝ) ∧ (π‘Œ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢(,)𝐸)) ∧ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)) β†’ ((π·β€˜π‘) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ)))
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 835 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘) β†Ύ (𝐢(,)𝐸)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐢(,)𝐸)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ)))
248238, 247mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„*cxr 11253   < clt 11254   ≀ cle 11255   / cdiv 11877  β„•cn 12218  2c2 12273  β„€cz 12564  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  βŒŠcfl 13761   mod cmo 13840  sincsin 16013  Ο€cpi 16016   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  topGenctg 17389  β„‚fldccnfld 21146  Topctop 22617  TopOnctopon 22634  intcnt 22743   Cn ccn 22950   CnP ccnp 22951  β€“cnβ†’ccncf 24618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618
This theorem is referenced by:  dirkercncf  45123
  Copyright terms: Public domain W3C validator