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Theorem dirkercncflem4 42745
 Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem4.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem4.ymod0 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
dirkercncflem4.a 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
dirkercncflem4.b 𝐵 = (𝐴 + 1)
dirkercncflem4.c 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
dirkercncflem4.e 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝑁   𝑦,𝑌   𝑦,𝑛   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑦,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 25043 . . . . . . . . . . 11 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
21a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3 ioosscn 12791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ)
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
87halfcld 11874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
96, 8addcld 10653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
10 ssid 3940 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
124, 9, 11constcncfg 42511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
134, 11idcncfg 42512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
1412, 13mulcncf 24054 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152, 14cncfmpt1f 23523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
16 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℂ)
17 pirp 25058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ+)
1918rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℂ)
21 ioossre 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ)
2322sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2423recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2524halfcld 11874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
2625sincld 15479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 10654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
28 2rp 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ+)
3029rpne0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ≠ 0)
3118rpne0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ≠ 0)
3216, 19, 30, 31mulne0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ≠ 0)
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
3635oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 · (2 · π)) = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
3734, 36eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐶 = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
3837oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶 / (2 · π)) = (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π))
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
40 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
41 pire 25055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 π ∈ ℝ
4240, 41remulcli 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 · π) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
44 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ ℝ
45 2pos 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < 2
46 pipos 25057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < π
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 < (2 · π)
4844, 47gtneii 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 · π) ≠ 0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
5039, 43, 49redivcld 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5150flcld 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
5251zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℝ)
5352recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℂ)
5443recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
5553, 54, 49divcan4d 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
5638, 55syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
5756, 51eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
5857adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
5952, 43remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) ∈ ℝ)
6037, 59eqeltrid 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6229, 18rpmulcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
63 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸))
6460rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6564adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6635eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) = 𝐴
6766oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = (𝐴 + 1)
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝐵 = (𝐴 + 1)
6967, 68eqtr4i 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = 𝐵
7069oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (𝐵 · (2 · π))
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
7270, 71eqtr4i 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸)
74 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7552, 74readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) ∈ ℝ)
7675, 43remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7877rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
7978adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ*)
80 elioo2 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐸 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸)))
8165, 79, 80syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸)))
8263, 81mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸))
8382simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 < 𝑦)
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
8577adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ)
8682simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 < 𝐸)
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐸 / (2 · π)))
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐶 = (𝐴 · (2 · π)))
8988oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)))
9089oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐶 / (2 · π)) + 1) = (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1))
9135, 53eqeltrid 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9291, 54, 49divcan4d 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) = 𝐴)
9392oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1) = (𝐴 + 1))
9468oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵 · (2 · π)) = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
9571, 94eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π)))
9796oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)))
9891, 7addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
9998, 54, 49divcan4d 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)) = (𝐴 + 1))
10097, 99eqtr2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (𝐸 / (2 · π)))
10190, 93, 1003eqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
102101adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
10387, 102breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
104 btwnnz 12050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10558, 84, 103, 104syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10633, 105eqneltrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
107 sineq0 25120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
109106, 108mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
110109neqned 2997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
11120, 26, 32, 110mulne0d 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
112111neneqd 2995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ)
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ)
115113, 114remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ)
11623rehalfcld 11876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
117116resincld 15492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
118115, 117remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
119 elsng 4542 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
121112, 120mtbird 328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0})
12227, 121eldifd 3895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
123 eqidd 2802 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
124 eqidd 2802 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
125 oveq2 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) → (1 / 𝑥) = (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
126122, 123, 124, 125fmptco 6872 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
127 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
128 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1294, 128, 11constcncfg 42511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 2) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → π ∈ ℝ+)
131130rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → π ∈ ℂ)
1324, 131, 11constcncfg 42511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ π) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
133129, 132mulcncf 24054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (2 · π)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13424, 16, 30divrecd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) = (𝑦 · (1 / 2)))
135134mpteq2dva 5128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))))
1364, 8, 11constcncfg 42511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13713, 136mulcncf 24054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
138135, 137eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
1392, 138cncfmpt1f 23523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
140133, 139mulcncf 24054 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
141 ssid 3940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸))
143 difssd 4063 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 42510 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→(ℂ ∖ {0})))
145 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
146 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
147146cdivcncf 23530 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
149144, 148cncfco 23516 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
150126, 149eqeltrrd 2894 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
15115, 150mulcncf 24054 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
153152dirkerval 42730 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
155154reseq1d 5821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
15622resmptd 5879 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
158157, 130rpmulcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
159158adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
160 mod0 13243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
16123, 159, 160syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
162105, 161mtbird 328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
163162iffalsed 4439 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
1646adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑁 ∈ ℂ)
165 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 1 ∈ ℂ)
166165halfcld 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
167164, 166addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
168167, 24mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
169168sincld 15479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
170169, 27, 111divrecd 11412 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
171163, 170eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
172171mpteq2dva 5128 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
173155, 156, 1723eqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
174 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
175174tgioo2 23412 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
176175oveq1i 7149 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸))
177174cnfldtop 23393 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
178 reex 10621 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
179 restabs 21774 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸)))
180177, 21, 178, 179mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸))
181176, 180eqtri 2824 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸))
182 unicntop 23395 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
183182restid 16703 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
185184eqcomi 2810 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
186174, 181, 185cncfcn 23519 . . . . . . . . 9 (((𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1874, 11, 186syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
188151, 173, 1873eltr3d 2907 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
189 retopon 23373 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
191 resttopon 21770 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
192190, 22, 191syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
193174cnfldtopon 23392 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
194193a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
195 cncnp 21889 . . . . . . . 8 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
196192, 194, 195syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
197188, 196mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
198197simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
200199neneqd 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
201 mod0 13243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
20239, 158, 201syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
203200, 202mtbid 327 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
204 flltnz 13180 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
20550, 203, 204syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 12478 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
20739recnd 10662 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
208207, 54, 49divcan1d 11410 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
209206, 208breqtrd 5059 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < 𝑌)
21037, 209eqbrtrid 5068 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝑌)
211 fllelt 13166 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
213212simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1))
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 12478 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) < (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)))
215214, 208, 733brtr3d 5064 . . . . . 6 (𝜑𝑌 < 𝐸)
21664, 78, 39, 210, 215eliood 42132 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸))
217 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
218217eleq2d 2878 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
219218rspccva 3573 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
220198, 216, 219syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
221177a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
222152dirkerf 42736 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
2235, 222syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
224223, 22fssresd 6523 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ)
225 ax-resscn 10587 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
226225a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
227 retop 23371 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
228 uniretop 23372 . . . . . . . 8 ℝ = (topGen‘ran (,))
229228restuni 21771 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → (𝐶(,)𝐸) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)))
230227, 21, 229mp2an 691 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐸) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸))
231230, 182cnprest2 21899 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌)))
232221, 224, 226, 231syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌)))
233220, 232mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌))
234175eqcomi 2810 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
235234a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
236235oveq2d 7155 . . . 4 (𝜑 → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,))))
237236fveq1d 6651 . . 3 (𝜑 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
238233, 237eleqtrd 2895 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
239227a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
240 iooretop 23375 . . . . . . 7 (𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,))
241228isopn3 21675 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸)))
242240, 241mpbii 236 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
243239, 22, 242syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
244243eqcomd 2807 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
245216, 244eleqtrd 2895 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
246228, 228cnprest 21898 . . 3 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) ∧ (𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)) → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
248238, 247mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ran crn 5524   ↾ cres 5525   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  ℤcz 11973  ℝ+crp 12381  (,)cioo 12730  ⌊cfl 13159   mod cmo 13236  sincsin 15413  πcpi 15416   ↾t crest 16690  TopOpenctopn 16691  topGenctg 16707  ℂfldccnfld 20095  Topctop 21502  TopOnctopon 21519  intcnt 21626   Cn ccn 21833   CnP ccnp 21834  –cn→ccncf 23485 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474 This theorem is referenced by:  dirkercncf  42746
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