| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sincn 26488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ sin
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
| 2 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → sin ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
| 3 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ |
| 4 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ) |
| 5 | | dirkercncflem4.n |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 6 | 5 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 7 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 8 | 7 | halfcld 12511 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈
ℂ) |
| 9 | 6, 8 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ) |
| 10 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
| 11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
| 12 | 4, 9, 11 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 13 | 4, 11 | idcncfg 45888 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 14 | 12, 13 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 15 | 2, 14 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 16 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℂ) |
| 17 | | pirp 26503 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ π
∈ ℝ+ |
| 18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈
ℝ+) |
| 19 | 18 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈
ℂ) |
| 20 | 16, 19 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈
ℂ) |
| 21 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ |
| 22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) |
| 23 | 22 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 24 | 23 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 25 | 24 | halfcld 12511 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ) |
| 26 | 25 | sincld 16166 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ) |
| 27 | 20, 26 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))) ∈
ℂ) |
| 28 | | 2rp 13039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈
ℝ+) |
| 30 | 29 | rpne0d 13082 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ≠ 0) |
| 31 | 18 | rpne0d 13082 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ≠ 0) |
| 32 | 16, 19, 30, 31 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ≠
0) |
| 33 | 24, 16, 19, 30, 31 | divdiv1d 12074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π))) |
| 34 | | dirkercncflem4.c |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 𝐶 = (𝐴 · (2 ·
π)) |
| 35 | | dirkercncflem4.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 ·
π))) |
| 36 | 35 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝐴 · (2 · π)) =
((⌊‘(𝑌 / (2
· π))) · (2 · π)) |
| 37 | 34, 36 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 𝐶 = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ·
(2 · π)) |
| 38 | 37 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐶 / (2 · π)) =
(((⌊‘(𝑌 / (2
· π))) · (2 · π)) / (2 ·
π)) |
| 39 | | dirkercncflem4.y |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 40 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 41 | | pire 26500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ π
∈ ℝ |
| 42 | 40, 41 | remulcli 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (2
· π) ∈ ℝ |
| 43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈
ℝ) |
| 44 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 45 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ 0 <
2 |
| 46 | | pipos 26502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ 0 <
π |
| 47 | 40, 41, 45, 46 | mulgt0ii 11394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 0 < (2
· π) |
| 48 | 44, 47 | gtneii 11373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (2
· π) ≠ 0 |
| 49 | 48 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠
0) |
| 50 | 39, 43, 49 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈
ℝ) |
| 51 | 50 | flcld 13838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈
ℤ) |
| 52 | 51 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈
ℝ) |
| 53 | 52 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈
ℂ) |
| 54 | 43 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈
ℂ) |
| 55 | 53, 54, 49 | divcan4d 12049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ·
(2 · π)) / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))) |
| 56 | 38, 55 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) =
(⌊‘(𝑌 / (2
· π)))) |
| 57 | 56, 51 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) ∈
ℤ) |
| 58 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) ∈
ℤ) |
| 59 | 52, 43 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ·
(2 · π)) ∈ ℝ) |
| 60 | 37, 59 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 61 | 60 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 62 | 29, 18 | rpmulcld 13093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈
ℝ+) |
| 63 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) |
| 64 | 60 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈
ℝ*) |
| 65 | 64 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
| 66 | 35 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(⌊‘(𝑌 /
(2 · π))) = 𝐴 |
| 67 | 66 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
((⌊‘(𝑌 /
(2 · π))) + 1) = (𝐴 + 1) |
| 68 | | dirkercncflem4.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ 𝐵 = (𝐴 + 1) |
| 69 | 67, 68 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
((⌊‘(𝑌 /
(2 · π))) + 1) = 𝐵 |
| 70 | 69 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((⌊‘(𝑌
/ (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (𝐵 · (2 ·
π)) |
| 71 | | dirkercncflem4.e |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ 𝐸 = (𝐵 · (2 ·
π)) |
| 72 | 70, 71 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((⌊‘(𝑌
/ (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸 |
| 73 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)
· (2 · π)) = 𝐸) |
| 74 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 75 | 52, 74 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)
∈ ℝ) |
| 76 | 75, 43 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)
· (2 · π)) ∈ ℝ) |
| 77 | 73, 76 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 78 | 77 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℝ*) |
| 79 | 78 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈
ℝ*) |
| 80 | | elioo2 13428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 𝐸 ∈
ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸))) |
| 81 | 65, 79, 80 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸))) |
| 82 | 63, 81 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸)) |
| 83 | 82 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 < 𝑦) |
| 84 | 61, 23, 62, 83 | ltdiv1dd 13134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 ·
π))) |
| 85 | 77 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 86 | 82 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 < 𝐸) |
| 87 | 23, 85, 62, 86 | ltdiv1dd 13134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐸 / (2 · π))) |
| 88 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 · (2 ·
π))) |
| 89 | 88 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = ((𝐴 · (2 · π)) / (2 ·
π))) |
| 90 | 89 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ((𝐶 / (2 · π)) + 1) = (((𝐴 · (2 · π)) /
(2 · π)) + 1)) |
| 91 | 35, 53 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 92 | 91, 54, 49 | divcan4d 12049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (2 · π)) / (2 ·
π)) = 𝐴) |
| 93 | 92 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (2 · π)) / (2 ·
π)) + 1) = (𝐴 +
1)) |
| 94 | 68 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝐵 · (2 · π)) =
((𝐴 + 1) · (2
· π)) |
| 95 | 71, 94 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 ·
π)) |
| 96 | 95 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 ·
π))) |
| 97 | 96 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2
· π))) |
| 98 | 91, 7 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ) |
| 99 | 98, 54, 49 | divcan4d 12049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2
· π)) = (𝐴 +
1)) |
| 100 | 97, 99 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) = (𝐸 / (2 · π))) |
| 101 | 90, 93, 100 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1)) |
| 102 | 101 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1)) |
| 103 | 87, 102 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) +
1)) |
| 104 | | btwnnz 12694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐶 / (2 · π)) ∈
ℤ ∧ (𝐶 / (2
· π)) < (𝑦 /
(2 · π)) ∧ (𝑦
/ (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1)) → ¬
(𝑦 / (2 · π))
∈ ℤ) |
| 105 | 58, 84, 103, 104 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈
ℤ) |
| 106 | 33, 105 | eqneltrd 2861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈
ℤ) |
| 107 | | sineq0 26566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ →
((sin‘(𝑦 / 2)) = 0
↔ ((𝑦 / 2) / π)
∈ ℤ)) |
| 108 | 25, 107 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈
ℤ)) |
| 109 | 106, 108 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0) |
| 110 | 109 | neqned 2947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) |
| 111 | 20, 26, 32, 110 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))) ≠
0) |
| 112 | 111 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))) =
0) |
| 113 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ) |
| 114 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈
ℝ) |
| 115 | 113, 114 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈
ℝ) |
| 116 | 23 | rehalfcld 12513 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ) |
| 117 | 116 | resincld 16179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ) |
| 118 | 115, 117 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))) ∈
ℝ) |
| 119 | | elsng 4640 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((2
· π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ → (((2 ·
π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π)
· (sin‘(𝑦 /
2))) = 0)) |
| 120 | 118, 119 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))) ∈
{0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)) |
| 121 | 112, 120 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))) ∈
{0}) |
| 122 | 27, 121 | eldifd 3962 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))) ∈
(ℂ ∖ {0})) |
| 123 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2)))) =
(𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2))))) |
| 124 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 /
𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 /
𝑥))) |
| 125 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))) →
(1 / 𝑥) = (1 / ((2 ·
π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) |
| 126 | 122, 123,
124, 125 | fmptco 7149 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 /
𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))))) =
(𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2)))))) |
| 127 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2)))) =
(𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2)))) |
| 128 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
| 129 | 4, 128, 11 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 2) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 130 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → π ∈
ℝ+) |
| 131 | 130 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → π ∈
ℂ) |
| 132 | 4, 131, 11 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ π) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 133 | 129, 132 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (2 · π)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 134 | 24, 16, 30 | divrecd 12046 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) = (𝑦 · (1 / 2))) |
| 135 | 134 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2)))) |
| 136 | 4, 8, 11 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 137 | 13, 136 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 138 | 135, 137 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 139 | 2, 138 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 140 | 133, 139 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))))
∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 141 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸) |
| 142 | 141 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸)) |
| 143 | | difssd 4137 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0})
⊆ ℂ) |
| 144 | 127, 140,
142, 143, 122 | cncfmptssg 45886 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))))
∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→(ℂ ∖ {0}))) |
| 145 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 146 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})
↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})
↦ (1 / 𝑥)) |
| 147 | 146 | cdivcncf 24947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (1 ∈
ℂ → (𝑥 ∈
(ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ)) |
| 148 | 145, 147 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 /
𝑥)) ∈ ((ℂ
∖ {0})–cn→ℂ)) |
| 149 | 144, 148 | cncfco 24933 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 /
𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2)))))
∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 150 | 126, 149 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2)))))
∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 151 | 15, 150 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))))))
∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ)) |
| 152 | | dirkercncflem4.d |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0,
(((2 · 𝑛) + 1) / (2
· π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2))))))) |
| 153 | 152 | dirkerval 46106 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0,
(((2 · 𝑁) + 1) / (2
· π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2))))))) |
| 154 | 5, 153 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0,
(((2 · 𝑁) + 1) / (2
· π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2))))))) |
| 155 | 154 | reseq1d 5996 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0,
(((2 · 𝑁) + 1) / (2
· π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))))))
↾ (𝐶(,)𝐸))) |
| 156 | 22 | resmptd 6058 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0,
(((2 · 𝑁) + 1) / (2
· π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2))))))
↾ (𝐶(,)𝐸)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 ·
𝑁) + 1) / (2 ·
π)), ((sin‘((𝑁 +
(1 / 2)) · 𝑦)) / ((2
· π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) |
| 157 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ+) |
| 158 | 157, 130 | rpmulcld 13093 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈
ℝ+) |
| 159 | 158 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈
ℝ+) |
| 160 | | mod0 13916 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2
· π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈
ℤ)) |
| 161 | 23, 159, 160 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈
ℤ)) |
| 162 | 105, 161 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) |
| 163 | 162 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 ·
𝑁) + 1) / (2 ·
π)), ((sin‘((𝑁 +
(1 / 2)) · 𝑦)) / ((2
· π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2))))) |
| 164 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 165 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 1 ∈ ℂ) |
| 166 | 165 | halfcld 12511 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (1 / 2) ∈
ℂ) |
| 167 | 164, 166 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ) |
| 168 | 167, 24 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ) |
| 169 | 168 | sincld 16166 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 170 | 169, 27, 111 | divrecd 12046 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2)))) =
((sin‘((𝑁 + (1 / 2))
· 𝑦)) · (1 /
((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) |
| 171 | 163, 170 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 ·
𝑁) + 1) / (2 ·
π)), ((sin‘((𝑁 +
(1 / 2)) · 𝑦)) / ((2
· π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2)))))) |
| 172 | 171 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 ·
𝑁) + 1) / (2 ·
π)), ((sin‘((𝑁 +
(1 / 2)) · 𝑦)) / ((2
· π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 /
2))))))) |
| 173 | 155, 156,
172 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) ·
(sin‘(𝑦 / 2)))))) =
((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸))) |
| 174 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
| 175 | | tgioo4 24826 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
| 176 | 175 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = (((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) |
| 177 | 174 | cnfldtop 24804 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top |
| 178 | | reex 11246 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ℝ
∈ V |
| 179 | | restabs 23173 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V)
→ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (𝐶(,)𝐸))) |
| 180 | 177, 21, 178, 179 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (𝐶(,)𝐸)) |
| 181 | 176, 180 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (𝐶(,)𝐸)) |
| 182 | | unicntop 24806 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℂ =
∪
(TopOpen‘ℂfld) |
| 183 | 182 | restid 17478 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) =
(TopOpen‘ℂfld)) |
| 184 | 177, 183 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) =
(TopOpen‘ℂfld) |
| 185 | 184 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
ℂ) |
| 186 | 174, 181,
185 | cncfcn 24936 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ) → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
| 187 | 4, 11, 186 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
| 188 | 151, 173,
187 | 3eltr3d 2855 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
| 189 | | retopon 24784 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) |
| 190 | 189 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,))
∈ (TopOn‘ℝ)) |
| 191 | | resttopon 23169 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran
(,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸))) |
| 192 | 190, 22, 191 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸))) |
| 193 | 174 | cnfldtopon 24803 |
. . . . . . . . 9
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈
(TopOn‘ℂ) |
| 194 | 193 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(TopOpen‘ℂfld) ∈
(TopOn‘ℂ)) |
| 195 | | cncnp 23288 |
. . . . . . . 8
⊢
((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)) ∧
(TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) →
(((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
↔ (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))) |
| 196 | 192, 194,
195 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
↔ (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))) |
| 197 | 188, 196 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))) |
| 198 | 197 | simprd 495 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)) |
| 199 | | dirkercncflem4.ymod0 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠
0) |
| 200 | 199 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 mod (2 · π)) =
0) |
| 201 | | mod0 13916 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2
· π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈
ℤ)) |
| 202 | 39, 158, 201 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈
ℤ)) |
| 203 | 200, 202 | mtbid 324 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈
ℤ) |
| 204 | | flltnz 13851 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑌 / (2 · π)) ∈
ℝ ∧ ¬ (𝑌 / (2
· π)) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 ·
π))) |
| 205 | 50, 203, 204 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) <
(𝑌 / (2 ·
π))) |
| 206 | 52, 50, 158, 205 | ltmul1dd 13132 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ·
(2 · π)) < ((𝑌
/ (2 · π)) · (2 · π))) |
| 207 | 39 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ) |
| 208 | 207, 54, 49 | divcan1d 12044 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 ·
π)) = 𝑌) |
| 209 | 206, 208 | breqtrd 5169 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ·
(2 · π)) < 𝑌) |
| 210 | 37, 209 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑌) |
| 211 | | fllelt 13837 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑌 / (2 · π)) ∈
ℝ → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧
(𝑌 / (2 · π))
< ((⌊‘(𝑌 /
(2 · π))) + 1))) |
| 212 | 50, 211 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤
(𝑌 / (2 · π))
∧ (𝑌 / (2 ·
π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) +
1))) |
| 213 | 212 | simprd 495 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) <
((⌊‘(𝑌 / (2
· π))) + 1)) |
| 214 | 50, 75, 158, 213 | ltmul1dd 13132 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 ·
π)) < (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2
· π))) |
| 215 | 214, 208,
73 | 3brtr3d 5174 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝐸) |
| 216 | 64, 78, 39, 210, 215 | eliood 45511 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸)) |
| 217 | | fveq2 6906 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)) |
| 218 | 217 | eleq2d 2827 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))) |
| 219 | 218 | rspccva 3621 |
. . . . 5
⊢
((∀𝑦 ∈
(𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)) |
| 220 | 198, 216,
219 | syl2anc 584 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)) |
| 221 | 177 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top) |
| 222 | 152 | dirkerf 46112 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ) |
| 223 | 5, 222 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ) |
| 224 | 223, 22 | fssresd 6775 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ) |
| 225 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . 6
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 226 | 225 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
| 227 | | retop 24782 |
. . . . . . 7
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
| 228 | | uniretop 24783 |
. . . . . . . 8
⊢ ℝ =
∪ (topGen‘ran (,)) |
| 229 | 228 | restuni 23170 |
. . . . . . 7
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → (𝐶(,)𝐸) = ∪
((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸))) |
| 230 | 227, 21, 229 | mp2an 692 |
. . . . . 6
⊢ (𝐶(,)𝐸) = ∪
((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) |
| 231 | 230, 182 | cnprest2 23298 |
. . . . 5
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆
ℂ) → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
ℝ))‘𝑌))) |
| 232 | 221, 224,
226, 231 | syl3anc 1373 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
ℝ))‘𝑌))) |
| 233 | 220, 232 | mpbid 232 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
ℝ))‘𝑌)) |
| 234 | 175 | eqcomi 2746 |
. . . . . 6
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) =
(topGen‘ran (,)) |
| 235 | 234 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) =
(topGen‘ran (,))) |
| 236 | 235 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) =
(((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran
(,)))) |
| 237 | 236 | fveq1d 6908 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
ℝ))‘𝑌) =
((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)) |
| 238 | 233, 237 | eleqtrd 2843 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)) |
| 239 | 227 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,))
∈ Top) |
| 240 | | iooretop 24786 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran
(,)) |
| 241 | 228 | isopn3 23074 |
. . . . . . 7
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))) |
| 242 | 240, 241 | mpbii 233 |
. . . . . 6
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸)) |
| 243 | 239, 22, 242 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸)) |
| 244 | 243 | eqcomd 2743 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) = ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐶(,)𝐸))) |
| 245 | 216, 244 | eleqtrd 2843 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐶(,)𝐸))) |
| 246 | 228, 228 | cnprest 23297 |
. . 3
⊢
((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) ∧ (𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP
(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))) |
| 247 | 239, 22, 245, 223, 246 | syl22anc 839 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP
(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,))
↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))) |
| 248 | 238, 247 | mpbird 257 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP
(topGen‘ran (,)))‘𝑌)) |