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Theorem dirkercncflem4 40799
Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem4.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem4.ymod0 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
dirkercncflem4.a 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
dirkercncflem4.b 𝐵 = (𝐴 + 1)
dirkercncflem4.c 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
dirkercncflem4.e 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝑁   𝑦,𝑌   𝑦,𝑛   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑦,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 24408 . . . . . . . . . . 11 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
21a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3 ioosscn 40197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ)
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nncnd 11318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7 1cnd 10317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
87halfcld 11540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
96, 8addcld 10341 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
10 ssid 3817 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
124, 9, 11constcncfg 40561 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
134, 11idcncfg 40562 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
1412, 13mulcncf 23423 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152, 14cncfmpt1f 22925 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
16 2cnd 11373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℂ)
17 pirp 24424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ+)
1918rpcnd 12084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 10342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℂ)
21 ioossre 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ)
2322sselda 3795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2423recnd 10350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2524halfcld 11540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
2625sincld 15076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 10342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
28 2rp 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ+)
3029rpne0d 12087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ≠ 0)
3118rpne0d 12087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ≠ 0)
3216, 19, 30, 31mulne0d 10961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ≠ 0)
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
3635oveq1i 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 · (2 · π)) = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
3734, 36eqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐶 = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
3837oveq1i 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶 / (2 · π)) = (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π))
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
40 2re 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
41 pire 24421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 π ∈ ℝ
4240, 41remulcli 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 · π) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
44 0re 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ ℝ
45 2pos 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < 2
46 pipos 24423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < π
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 < (2 · π)
4844, 47gtneii 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 · π) ≠ 0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
5039, 43, 49redivcld 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5150flcld 12819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
5251zred 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℝ)
5352recnd 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℂ)
5443recnd 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
5553, 54, 49divcan4d 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
5638, 55syl5eq 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
5756, 51eqeltrd 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
5857adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
5952, 43remulcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) ∈ ℝ)
6037, 59syl5eqel 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6160adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6229, 18rpmulcld 12098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
63 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸))
6460rexrd 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6564adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6635eqcomi 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) = 𝐴
6766oveq1i 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = (𝐴 + 1)
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝐵 = (𝐴 + 1)
6967, 68eqtr4i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = 𝐵
7069oveq1i 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (𝐵 · (2 · π))
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
7270, 71eqtr4i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸)
74 1red 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7552, 74readdcld 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) ∈ ℝ)
7675, 43remulcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7877rexrd 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
7978adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ*)
80 elioo2 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐸 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸)))
8165, 79, 80syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸)))
8263, 81mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸))
8382simp2d 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 < 𝑦)
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
8577adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ)
8682simp3d 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 < 𝐸)
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐸 / (2 · π)))
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐶 = (𝐴 · (2 · π)))
8988oveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)))
9089oveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐶 / (2 · π)) + 1) = (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1))
9135, 53syl5eqel 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9291, 54, 49divcan4d 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) = 𝐴)
9392oveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1) = (𝐴 + 1))
9468oveq1i 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵 · (2 · π)) = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
9571, 94eqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π)))
9796oveq1d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)))
9891, 7addcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
9998, 54, 49divcan4d 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)) = (𝐴 + 1))
10097, 99eqtr2d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (𝐸 / (2 · π)))
10190, 93, 1003eqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
102101adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
10387, 102breqtrd 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
104 btwnnz 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10558, 84, 103, 104syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10633, 105eqneltrd 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
107 sineq0 24484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
109106, 108mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
110109neqned 2984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
11120, 26, 32, 110mulne0d 10961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
112111neneqd 2982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ)
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ)
115113, 114remulcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ)
11623rehalfcld 11542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
117116resincld 15089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
118115, 117remulcld 10352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
119 elsng 4381 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
121112, 120mtbird 316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0})
12227, 121eldifd 3777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
123 eqidd 2806 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
124 eqidd 2806 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
125 oveq2 6879 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) → (1 / 𝑥) = (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
126122, 123, 124, 125fmptco 6616 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
127 eqid 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
128 2cnd 11373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1294, 128, 11constcncfg 40561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 2) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → π ∈ ℝ+)
131130rpcnd 12084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → π ∈ ℂ)
1324, 131, 11constcncfg 40561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ π) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
133129, 132mulcncf 23423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (2 · π)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13424, 16, 30divrecd 11086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) = (𝑦 · (1 / 2)))
135134mpteq2dva 4934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))))
1364, 8, 11constcncfg 40561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13713, 136mulcncf 23423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
138135, 137eqeltrd 2884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
1392, 138cncfmpt1f 22925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
140133, 139mulcncf 23423 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
141 ssid 3817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸))
143 difssd 3934 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 40560 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→(ℂ ∖ {0})))
145 ax-1cn 10276 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
146 eqid 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
147146cdivcncf 22929 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
149144, 148cncfco 22919 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
150126, 149eqeltrrd 2885 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
15115, 150mulcncf 23423 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
153152dirkerval 40784 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
155154reseq1d 5593 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
15622resmptd 5654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
158157, 130rpmulcld 12098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
159158adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
160 mod0 12895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
16123, 159, 160syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
162105, 161mtbird 316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
163162iffalsed 4287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
1646adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑁 ∈ ℂ)
165 1cnd 10317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 1 ∈ ℂ)
166165halfcld 11540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
167164, 166addcld 10341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
168167, 24mulcld 10342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
169168sincld 15076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
170169, 27, 111divrecd 11086 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
171163, 170eqtrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
172171mpteq2dva 4934 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
173155, 156, 1723eqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
174 eqid 2805 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
175174tgioo2 22815 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
176175oveq1i 6881 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸))
177174cnfldtop 22796 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
178 reex 10309 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
179 restabs 21179 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸)))
180177, 21, 178, 179mp3an 1578 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸))
181176, 180eqtri 2827 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸))
182 unicntop 22798 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
183182restid 16295 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
185184eqcomi 2814 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
186174, 181, 185cncfcn 22921 . . . . . . . . 9 (((𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1874, 11, 186syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
188151, 173, 1873eltr3d 2898 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
189 retopon 22776 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
191 resttopon 21175 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
192190, 22, 191syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
193174cnfldtopon 22795 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
194193a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
195 cncnp 21294 . . . . . . . 8 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
196192, 194, 195syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
197188, 196mpbid 223 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
198197simprd 485 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
200199neneqd 2982 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
201 mod0 12895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
20239, 158, 201syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
203200, 202mtbid 315 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
204 flltnz 12832 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
20550, 203, 204syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 12137 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
20739recnd 10350 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
208207, 54, 49divcan1d 11084 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
209206, 208breqtrd 4866 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < 𝑌)
21037, 209syl5eqbr 4875 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝑌)
211 fllelt 12818 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
213212simprd 485 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1))
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 12137 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) < (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)))
215214, 208, 733brtr3d 4871 . . . . . 6 (𝜑𝑌 < 𝐸)
21664, 78, 39, 210, 215eliood 40201 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸))
217 fveq2 6405 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
218217eleq2d 2870 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
219218rspccva 3500 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
220198, 216, 219syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
221177a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
222152dirkerf 40790 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
2235, 222syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
224223, 22fssresd 6283 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ)
225 ax-resscn 10275 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
226225a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
227 retop 22774 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
228 uniretop 22775 . . . . . . . 8 ℝ = (topGen‘ran (,))
229228restuni 21176 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → (𝐶(,)𝐸) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)))
230227, 21, 229mp2an 675 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐸) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸))
231230, 182cnprest2 21304 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌)))
232221, 224, 226, 231syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌)))
233220, 232mpbid 223 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌))
234175eqcomi 2814 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
235234a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
236235oveq2d 6887 . . . 4 (𝜑 → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,))))
237236fveq1d 6407 . . 3 (𝜑 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
238233, 237eleqtrd 2886 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
239227a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
240 iooretop 22778 . . . . . . 7 (𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,))
241228isopn3 21080 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸)))
242240, 241mpbii 224 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
243239, 22, 242syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
244243eqcomd 2811 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
245216, 244eleqtrd 2886 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
246228, 228cnprest 21303 . . 3 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) ∧ (𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)) → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 858 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
248238, 247mpbird 248 1 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  wne 2977  wral 3095  Vcvv 3390  cdif 3763  wss 3766  ifcif 4276  {csn 4367   cuni 4626   class class class wbr 4840  cmpt 4919  ran crn 5309  cres 5310  ccom 5312  wf 6094  cfv 6098  (class class class)co 6871  cc 10216  cr 10217  0cc0 10218  1c1 10219   + caddc 10221   · cmul 10223  *cxr 10355   < clt 10356  cle 10357   / cdiv 10966  cn 11302  2c2 11352  cz 11639  +crp 12042  (,)cioo 12389  cfl 12811   mod cmo 12888  sincsin 15010  πcpi 15013  t crest 16282  TopOpenctopn 16283  topGenctg 16299  fldccnfld 19950  Topctop 20907  TopOnctopon 20924  intcnt 21031   Cn ccn 21238   CnP ccnp 21239  cnccncf 22888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296  ax-addf 10297  ax-mulf 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-of 7124  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-supp 7527  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-er 7976  df-map 8091  df-pm 8092  df-ixp 8143  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-fsupp 8512  df-fi 8553  df-sup 8584  df-inf 8585  df-oi 8651  df-card 9045  df-cda 9272  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15014  df-sin 15016  df-cos 15017  df-pi 15019  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cncf 22890  df-limc 23840  df-dv 23841
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