Theorem stirlingr 46918

Description: Stirling's approximation formula for 𝑛 factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 46917 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable 𝑅 is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlingr.1	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlingr.2	⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))

Assertion

Ref	Expression
stirlingr	⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)))𝑅1

Proof of Theorem stirlingr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlingr.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
2	1	stirling 46917	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1
3		stirlingr.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
4		nnuz 12926	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		1zzd 12649	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)))
7		nnnn0 12535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
8		faccl 14347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
9		nnre 12264	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
11		2re 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
13		pire 26692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
15	12, 14	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ)
16		nnre 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℝ)
18		0re 11234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
20		2pos 12369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 2)
22	19, 12, 21	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
23		pipos 26696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < π
24	18, 13, 23	ltleii 11357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ π
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ π)
26	12, 14, 22, 25	mulge0d 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · π))
27	7	nn0ge0d 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑛)
28	15, 16, 26, 27	mulge0d 11815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((2 · π) · 𝑛))
29	17, 28	resqrtcld 15505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℝ)
30		ere 16175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ)
32		epos 16295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < e
33	18, 32	gtneii 11346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ≠ 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
35	16, 31, 34	redivcld 12067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ)
36	35, 7	reexpcld 14227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ)
37	29, 36	remulcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ)
38	1	fvmpt2 6998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
39	7, 37, 38	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
40		2rp 13047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
42		pirp 26699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℝ+)
44	41, 43	rpmulcld 13102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ+)
45		nnrp 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
46	44, 45	rpmulcld 13102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℝ+)
47	46	rpsqrtcld 15499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℝ+)
48		epr 16296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ+
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
50	45, 49	rpdivcld 13103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ+)
51		nnz 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
52	50, 51	rpexpcld 14311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ+)
53	47, 52	rpmulcld 13102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ+)
54	39, 53	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑛) ∈ ℝ+)
55	10, 54	rerpdivcld 13117	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)) ∈ ℝ)
56	6, 55	fmpti 7105	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))):ℕ⟶ℝ
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))):ℕ⟶ℝ)
58	3, 4, 5, 57	climreeq 46443	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)))𝑅1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1))
59	58	mptru 1577	. 2 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)))𝑅1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)
60	2, 59	mpbir 234	1 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)))𝑅1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℝ⁺crp 13042  (,)cioo 13398  ↑cexp 14125  !cfa 14337  √csqrt 15320   ⇝ cli 15571  eceu 16148  πcpi 16152  topGenctg 17522  ⇝_𝑡clm 23451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-e 16154  df-sin 16155  df-cos 16156  df-tan 16157  df-pi 16158  df-dvds 16343  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-lm 23454  df-haus 23540  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847  df-itg1 25848  df-itg2 25849  df-ibl 25850  df-itg 25851  df-0p 25898  df-limc 26093  df-dv 26094  df-ulm 26613  df-log 26793  df-cxp 26794

This theorem is used by: (None)