Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlingr 43213
Description: Stirling's approximation formula for 𝑛 factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 43212 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable 𝑅 is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlingr.2 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
Assertion
Ref Expression
stirlingr (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))𝑅1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
21stirling 43212 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1
3 stirlingr.2 . . . 4 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
4 nnuz 12375 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
5 1zzd 12106 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
6 eqid 2739 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))
7 nnnn0 11995 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
8 faccl 13747 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
9 nnre 11735 . . . . . . . 8 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
11 2re 11802 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
13 pire 25215 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 10761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ)
16 nnre 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
1715, 16remulcld 10761 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℝ)
18 0re 10733 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
20 2pos 11831 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 2)
2219, 12, 21ltled 10878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
23 pipos 25217 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
2418, 13, 23ltleii 10853 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ π
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ π)
2612, 14, 22, 25mulge0d 11307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · π))
277nn0ge0d 12051 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑛)
2815, 16, 26, 27mulge0d 11307 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((2 · π) · 𝑛))
2917, 28resqrtcld 14879 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℝ)
30 ere 15546 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ)
32 epos 15664 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
3318, 32gtneii 10842 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
3516, 31, 34redivcld 11558 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ)
3635, 7reexpcld 13631 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ)
3729, 36remulcld 10761 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ)
381fvmpt2 6798 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
397, 37, 38syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
40 2rp 12489 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
42 pirp 25218 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℝ+)
4441, 43rpmulcld 12542 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ+)
45 nnrp 12495 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
4644, 45rpmulcld 12542 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℝ+)
4746rpsqrtcld 14873 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℝ+)
48 epr 15665 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
5045, 49rpdivcld 12543 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ+)
51 nnz 12097 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
5250, 51rpexpcld 13712 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ+)
5347, 52rpmulcld 12542 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ+)
5439, 53eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑆𝑛) ∈ ℝ+)
5510, 54rerpdivcld 12557 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)) ∈ ℝ)
566, 55fmpti 6898 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))):ℕ⟶ℝ
5756a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))):ℕ⟶ℝ)
583, 4, 5, 57climreeq 42736 . . 3 (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))𝑅1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1))
5958mptru 1549 . 2 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))𝑅1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1)
602, 59mpbir 234 1 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))𝑅1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2114  wne 2935   class class class wbr 5040  cmpt 5120  ran crn 5536  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7182  cr 10626  0cc0 10627  1c1 10628   · cmul 10632   < clt 10765  cle 10766   / cdiv 11387  cn 11728  2c2 11783  0cn0 11988  +crp 12484  (,)cioo 12833  cexp 13533  !cfa 13737  csqrt 14694  cli 14943  eceu 15520  πcpi 15524  topGenctg 16826  𝑡clm 21989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cc 9947  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706  ax-mulf 10707
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-symdif 4143  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-ofr 7438  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-oadd 8147  df-omul 8148  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-fi 8960  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-dju 9415  df-card 9453  df-acn 9456  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-xnn0 12061  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-ioo 12837  df-ioc 12838  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-mod 13341  df-seq 13473  df-exp 13534  df-fac 13738  df-bc 13767  df-hash 13795  df-shft 14528  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-limsup 14930  df-clim 14947  df-rlim 14948  df-sum 15148  df-ef 15525  df-e 15526  df-sin 15527  df-cos 15528  df-tan 15529  df-pi 15530  df-dvds 15712  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-hom 16704  df-cco 16705  df-rest 16811  df-topn 16812  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-topgen 16832  df-pt 16833  df-prds 16836  df-xrs 16890  df-qtop 16895  df-imas 16896  df-xps 16898  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-mulg 18355  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-fbas 20226  df-fg 20227  df-cnfld 20230  df-top 21657  df-topon 21674  df-topsp 21696  df-bases 21709  df-cld 21782  df-ntr 21783  df-cls 21784  df-nei 21861  df-lp 21899  df-perf 21900  df-cn 21990  df-cnp 21991  df-lm 21992  df-haus 22078  df-cmp 22150  df-tx 22325  df-hmeo 22518  df-fil 22609  df-fm 22701  df-flim 22702  df-flf 22703  df-xms 23085  df-ms 23086  df-tms 23087  df-cncf 23642  df-ovol 24228  df-vol 24229  df-mbf 24383  df-itg1 24384  df-itg2 24385  df-ibl 24386  df-itg 24387  df-0p 24434  df-limc 24630  df-dv 24631  df-ulm 25136  df-log 25312  df-cxp 25313
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator