Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlingr 44263
Description: Stirling's approximation formula for 𝑛 factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 44262 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable 𝑅 is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1 𝑆 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlingr.2 𝑅 = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
Assertion
Ref Expression
stirlingr (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›)))𝑅1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3 𝑆 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)))
21stirling 44262 . 2 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›))) ⇝ 1
3 stirlingr.2 . . . 4 𝑅 = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
4 nnuz 12798 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5 1zzd 12530 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›)))
7 nnnn0 12416 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
8 faccl 14175 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘›) ∈ β„•)
9 nnre 12156 . . . . . . . 8 ((!β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘›) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘›) ∈ ℝ)
11 2re 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
13 pire 25799 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 11181 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
16 nnre 12156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1715, 16remulcld 11181 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑛) ∈ ℝ)
18 0re 11153 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
20 2pos 12252 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < 2)
2219, 12, 21ltled 11299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
23 pipos 25801 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < Ο€
2418, 13, 23ltleii 11274 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ Ο€
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ≀ Ο€)
2612, 14, 22, 25mulge0d 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (2 Β· Ο€))
277nn0ge0d 12472 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑛)
2815, 16, 26, 27mulge0d 11728 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ≀ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑛))
2917, 28resqrtcld 15294 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) ∈ ℝ)
30 ere 15963 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ e ∈ ℝ)
32 epos 16081 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
3318, 32gtneii 11263 . . . . . . . . . . . . 13 e β‰  0
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ e β‰  0)
3516, 31, 34redivcld 11979 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 / e) ∈ ℝ)
3635, 7reexpcld 14060 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ)
3729, 36remulcld 11181 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ)
381fvmpt2 6956 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ ((βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ((βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)))
397, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ((βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)))
40 2rp 12912 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ+)
42 pirp 25802 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ+
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ ℝ+)
4441, 43rpmulcld 12965 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
45 nnrp 12918 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4644, 45rpmulcld 12965 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑛) ∈ ℝ+)
4746rpsqrtcld 15288 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
48 epr 16082 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ e ∈ ℝ+)
5045, 49rpdivcld 12966 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 / e) ∈ ℝ+)
51 nnz 12516 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
5250, 51rpexpcld 14142 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ+)
5347, 52rpmulcld 12965 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜((2 Β· Ο€) Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ+)
5439, 53eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
5510, 54rerpdivcld 12980 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
566, 55fmpti 7056 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„
5756a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„)
583, 4, 5, 57climreeq 43786 . . 3 (⊀ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›)))𝑅1 ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›))) ⇝ 1))
5958mptru 1548 . 2 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›)))𝑅1 ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›))) ⇝ 1)
602, 59mpbir 230 1 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / (π‘†β€˜π‘›)))𝑅1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5632  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  β„cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   Β· cmul 11052   < clt 11185   ≀ cle 11186   / cdiv 11808  β„•cn 12149  2c2 12204  β„•0cn0 12409  β„+crp 12907  (,)cioo 13256  β†‘cexp 13959  !cfa 14165  βˆšcsqrt 15110   ⇝ cli 15358  eceu 15937  Ο€cpi 15941  topGenctg 17311  β‡π‘‘clm 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cc 10367  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-dju 9833  df-card 9871  df-acn 9874  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-mod 13767  df-seq 13899  df-exp 13960  df-fac 14166  df-bc 14195  df-hash 14223  df-shft 14944  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-limsup 15345  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-ef 15942  df-e 15943  df-sin 15944  df-cos 15945  df-tan 15946  df-pi 15947  df-dvds 16129  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-lp 22471  df-perf 22472  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-lm 22564  df-haus 22650  df-cmp 22722  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225  df-ovol 24812  df-vol 24813  df-mbf 24967  df-itg1 24968  df-itg2 24969  df-ibl 24970  df-itg 24971  df-0p 25018  df-limc 25214  df-dv 25215  df-ulm 25720  df-log 25896  df-cxp 25897
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator