Theorem dirker2re 46040

Description: The Dirichlet Kernel value is a real if the argument is not a multiple of π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirker2re	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)

Proof of Theorem dirker2re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1red 11243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12495	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11271	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑆 ∈ ℝ)
7	5, 6	remulcld 11272	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆) ∈ ℝ)
8	7	resincld 16160	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) ∈ ℝ)
9		2re 12321	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
11		pire 26435	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11272	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
14	6	rehalfcld 12495	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑆 / 2) ∈ ℝ)
15	14	resincld 16160	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ∈ ℝ)
16	13, 15	remulcld 11272	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ∈ ℝ)
17		2cnd 12325	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ∈ ℂ)
18		picn 26436	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 11262	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
21		recn 11226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → 𝑆 ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
23	22	halfcld 12493	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑆 / 2) ∈ ℂ)
24	23	sincld 16147	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ∈ ℂ)
25		2ne0 12351	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ≠ 0)
27		0re 11244	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		pipos 26437	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
29	27, 28	gtneii 11354	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ≠ 0)
31	17, 19, 26, 30	mulne0d 11896	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ≠ 0)
32	22, 17, 19, 26, 30	divdiv1d 12055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑆 / 2) / π) = (𝑆 / (2 · π)))
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0)
34		2rp 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
35		pirp 26438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
36		rpmulcl 13039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
37	34, 35, 36	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
38		mod0 13897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
39	37, 38	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
41	33, 40	mtbid 324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ)
42	32, 41	eqneltrd 2853	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ)
43		sineq0 26501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑆 / 2)) = 0 ↔ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ))
44	23, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘(𝑆 / 2)) = 0 ↔ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ))
45	42, 44	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (sin‘(𝑆 / 2)) = 0)
46	45	neqned 2938	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ≠ 0)
47	20, 24, 31, 46	mulne0d 11896	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ≠ 0)
48	47	adantll 714	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ≠ 0)
49	8, 16, 48	redivcld 12076	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141   / cdiv 11901  ℕcn 12247  2c2 12302  ℤcz 12595  ℝ⁺crp 13015   mod cmo 13890  sincsin 16080  πcpi 16083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7678  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9383  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13135  df-xadd 13136  df-xmul 13137  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14024  df-exp 14084  df-fac 14294  df-bc 14323  df-hash 14351  df-shft 15087  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16084  df-sin 16086  df-cos 16087  df-pi 16089  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-starv 17287  df-sca 17288  df-vsca 17289  df-ip 17290  df-tset 17291  df-ple 17292  df-ds 17294  df-unif 17295  df-hom 17296  df-cco 17297  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-submnd 18765  df-mulg 19054  df-cntz 19303  df-cmn 19767  df-psmet 21317  df-xmet 21318  df-met 21319  df-bl 21320  df-mopn 21321  df-fbas 21322  df-fg 21323  df-cnfld 21326  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24274  df-ms 24275  df-tms 24276  df-cncf 24839  df-limc 25836  df-dv 25837

This theorem is referenced by:  dirkerval2  46042  dirkerre  46043