Theorem dirker2re 43251

Description: The Dirchlet Kernel value is a real if the argument is not a multiple of π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirker2re	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)

Proof of Theorem dirker2re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11802	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1red 10799	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12042	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 10827	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑆 ∈ ℝ)
7	5, 6	remulcld 10828	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆) ∈ ℝ)
8	7	resincld 15667	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) ∈ ℝ)
9		2re 11869	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
11		pire 25302	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 10828	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
14	6	rehalfcld 12042	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑆 / 2) ∈ ℝ)
15	14	resincld 15667	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ∈ ℝ)
16	13, 15	remulcld 10828	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ∈ ℝ)
17		2cnd 11873	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ∈ ℂ)
18		picn 25303	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 10818	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
21		recn 10784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → 𝑆 ∈ ℂ)
22	21	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
23	22	halfcld 12040	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑆 / 2) ∈ ℂ)
24	23	sincld 15654	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ∈ ℂ)
25		2ne0 11899	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ≠ 0)
27		0re 10800	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		pipos 25304	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
29	27, 28	gtneii 10909	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ≠ 0)
31	17, 19, 26, 30	mulne0d 11449	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ≠ 0)
32	22, 17, 19, 26, 30	divdiv1d 11604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑆 / 2) / π) = (𝑆 / (2 · π)))
33		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0)
34		2rp 12556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
35		pirp 25305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
36		rpmulcl 12574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
37	34, 35, 36	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
38		mod0 13414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
39	37, 38	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
40	39	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
41	33, 40	mtbid 327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ)
42	32, 41	eqneltrd 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ)
43		sineq0 25367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑆 / 2)) = 0 ↔ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ))
44	23, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘(𝑆 / 2)) = 0 ↔ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ))
45	42, 44	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (sin‘(𝑆 / 2)) = 0)
46	45	neqned 2939	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ≠ 0)
47	20, 24, 31, 46	mulne0d 11449	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ≠ 0)
48	47	adantll 714	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ≠ 0)
49	8, 16, 48	redivcld 11625	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699   / cdiv 11454  ℕcn 11795  2c2 11850  ℤcz 12141  ℝ⁺crp 12551   mod cmo 13407  sincsin 15588  πcpi 15591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ioc 12905  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805  df-bc 13834  df-hash 13862  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-limsup 14997  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-ef 15592  df-sin 15594  df-cos 15595  df-pi 15597  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872  df-nei 21949  df-lp 21987  df-perf 21988  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-haus 22166  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-fil 22697  df-fm 22789  df-flim 22790  df-flf 22791  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cncf 23729  df-limc 24717  df-dv 24718

This theorem is referenced by:  dirkerval2  43253  dirkerre  43254