Theorem dirker2re 46015

Description: The Dirichlet Kernel value is a real if the argument is not a multiple of π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirker2re	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)

Proof of Theorem dirker2re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12302	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1red 11293	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12542	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 11321	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑆 ∈ ℝ)
7	5, 6	remulcld 11322	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆) ∈ ℝ)
8	7	resincld 16193	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) ∈ ℝ)
9		2re 12369	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
11		pire 26520	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11322	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
14	6	rehalfcld 12542	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑆 / 2) ∈ ℝ)
15	14	resincld 16193	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ∈ ℝ)
16	13, 15	remulcld 11322	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ∈ ℝ)
17		2cnd 12373	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ∈ ℂ)
18		picn 26521	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 11312	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
21		recn 11276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → 𝑆 ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
23	22	halfcld 12540	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (𝑆 / 2) ∈ ℂ)
24	23	sincld 16180	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ∈ ℂ)
25		2ne0 12399	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → 2 ≠ 0)
27		0re 11294	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		pipos 26522	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
29	27, 28	gtneii 11404	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → π ≠ 0)
31	17, 19, 26, 30	mulne0d 11944	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ≠ 0)
32	22, 17, 19, 26, 30	divdiv1d 12103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑆 / 2) / π) = (𝑆 / (2 · π)))
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0)
34		2rp 13064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
35		pirp 26523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
36		rpmulcl 13082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
37	34, 35, 36	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
38		mod0 13929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
39	37, 38	mpan2 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑆 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ))
41	33, 40	mtbid 324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑆 / (2 · π)) ∈ ℤ)
42	32, 41	eqneltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ)
43		sineq0 26586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑆 / 2)) = 0 ↔ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ))
44	23, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘(𝑆 / 2)) = 0 ↔ ((𝑆 / 2) / π) ∈ ℤ))
45	42, 44	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (sin‘(𝑆 / 2)) = 0)
46	45	neqned 2953	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘(𝑆 / 2)) ≠ 0)
47	20, 24, 31, 46	mulne0d 11944	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ≠ 0)
48	47	adantll 713	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2))) ≠ 0)
49	8, 16, 48	redivcld 12124	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑆)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℂcc 11184  ℝcr 11185  0cc0 11186  1c1 11187   + caddc 11189   · cmul 11191   / cdiv 11949  ℕcn 12295  2c2 12350  ℤcz 12641  ℝ⁺crp 13059   mod cmo 13922  sincsin 16113  πcpi 16116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-addf 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-fi 9482  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ioo 13413  df-ioc 13414  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14055  df-exp 14115  df-fac 14325  df-bc 14354  df-hash 14382  df-shft 15118  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15519  df-clim 15536  df-rlim 15537  df-sum 15737  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17484  df-topn 17485  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-topgen 17505  df-pt 17506  df-prds 17509  df-xrs 17564  df-qtop 17569  df-imas 17570  df-xps 17572  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-mulg 19110  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-fbas 21386  df-fg 21387  df-cnfld 21390  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22976  df-cld 23050  df-ntr 23051  df-cls 23052  df-nei 23129  df-lp 23167  df-perf 23168  df-cn 23258  df-cnp 23259  df-haus 23346  df-tx 23593  df-hmeo 23786  df-fil 23877  df-fm 23969  df-flim 23970  df-flf 23971  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cncf 24925  df-limc 25923  df-dv 25924

This theorem is referenced by:  dirkerval2  46017  dirkerre  46018