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Theorem dirkertrigeq 43317
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeq.f 𝐹 = (𝐷𝑁)
dirkertrigeq.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq (𝜑𝐹 = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑠   𝜑,𝑘,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛,𝑠)   𝐹(𝑘,𝑛,𝑠)   𝐻(𝑘,𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3 𝐹 = (𝐷𝑁)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (𝐷𝑁))
3 dirkertrigeq.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 dirkertrigeq.d . . . 4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
54dirkerval 43307 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
63, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
7 dirkertrigeq.h . . 3 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
8 2cnd 11908 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93nncnd 11846 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 10853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11 peano2cn 11004 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13 picn 25349 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℂ)
15 2ne0 11934 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
17 pire 25348 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
18 pipos 25350 . . . . . . . . . . 11 0 < π
1917, 18gt0ne0ii 11368 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ≠ 0)
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 11639 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
2221eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
2322ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
24 iftrue 4445 . . . . . . 7 ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
2524adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
26 elfzelz 13112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2726zcnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
2827adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
29 recn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
31 2cn 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
3231, 13mulcli 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
3431, 13, 15, 19mulne0i 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ≠ 0)
3628, 30, 33, 35divassd 11643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) = (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))))
3726adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
39 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
40 2rp 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ+
41 pirp 25351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ+
42 rpmulcl 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
4340, 41, 42mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · π) ∈ ℝ+
44 mod0 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4539, 43, 44sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4638, 45mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4746adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4837, 47zmulcld 12288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))) ∈ ℤ)
4936, 48eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ)
5027adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5129adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
53 coseq1 25414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5554adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5649, 55mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5756ralrimiva 3105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5857adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5958sumeq2d 15266 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1)
60 fzfid 13546 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
61 1cnd 10828 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
62 fsumconst 15354 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
6360, 61, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
643nnnn0d 12150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65 hashfz1 13912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
6766oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = (𝑁 · 1))
689mulid1d 10850 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
6967, 68eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
7069ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
7159, 63, 703eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 𝑁)
7271oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
739div1d 11600 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
7473eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (𝑁 / 1))
7574oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76 1cnd 10828 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
77 ax-1ne0 10798 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≠ 0)
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 11652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)))
8076, 76mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 1) ∈ ℂ)
819, 8mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
8280, 81addcomd 11034 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((𝑁 · 2) + (1 · 1)))
839, 8mulcomd 10854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
8476mulid1d 10850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 1) = 1)
8583, 84oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + (1 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 1))
8682, 85eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((2 · 𝑁) + 1))
878mulid1d 10850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 1) = 2)
8886, 87oveq12d 7231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
8975, 79, 883eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9089ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9172, 90eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9291oveq1d 7228 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
9323, 25, 923eqtr4rd 2788 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
94 iffalse 4448 . . . . . . 7 (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9594adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
9829, 96, 97divcan1d 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) · π) = 𝑠)
9998eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
10099ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
101 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 mod π) = 0)
102 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
103 mod0 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
104102, 41, 103sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
105101, 104mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
106105adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
107 rpreccl 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π ∈ ℝ+ → (1 / π) ∈ ℝ+)
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / π) ∈ ℝ+
109 moddi 13512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / π) ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
110108, 43, 109mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
11129, 96, 97divrec2d 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) = ((1 / π) · 𝑠))
112111eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · 𝑠) = (𝑠 / π))
11396, 97reccld 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (1 / π) ∈ ℂ)
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
115113, 114mulcomd 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = ((2 · π) · (1 / π)))
116 2cnd 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
117116, 96, 113mulassd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (1 / π)) = (2 · (π · (1 / π))))
11813, 19recidi 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π · (1 / π)) = 1
119118oveq2i 7224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 · (π · (1 / π))) = (2 · 1)
120116mulid1d 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
121119, 120syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (π · (1 / π))) = 2)
122115, 117, 1213eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = 2)
123112, 122oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))) = ((𝑠 / π) mod 2))
124110, 123eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
125124adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
126113adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ∈ ℂ)
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℝ)
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℝ+)
129127, 128modcld 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℝ)
130129recnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
131130adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
132 ax-1cn 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
133132, 13, 77, 19divne0i 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / π) ≠ 0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ≠ 0)
135 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
136135adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
137126, 131, 134, 136mulne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) ≠ 0)
138125, 137eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
139138adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
140 oddfl 42488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
141106, 139, 140syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
142141oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
143100, 142eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
144143oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))
145144fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = (cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
146145sumeq2sdv 15268 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
147146oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))))
148147oveq1d 7228 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
149148adantlll 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
1503ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
152127, 151, 97redivcld 11660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) ∈ ℝ)
153152rehalfcld 12077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) / 2) ∈ ℝ)
154153flcld 13373 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
155154ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
156 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 43316 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
158157adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
159141adantlll 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
160159eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) = (𝑠 / π))
161160oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = ((𝑠 / π) · π))
162161oveq2d 7229 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)))
163162fveq2d 6721 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))))
164161fvoveq1d 7235 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)) = (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))
165164oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))))
166163, 165oveq12d 7231 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))))
16798oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
168167fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
16998fvoveq1d 7235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
170169oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
171168, 170oveq12d 7231 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
172171adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
173172ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
174166, 173eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
175149, 158, 1743eqtrrd 2782 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
176 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
177 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 mod π) = 0)
178176, 41, 103sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
179177, 178mtbid 327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 / π) ∈ ℤ)
180176recnd 10861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
181 sineq0 25413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℂ → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
183179, 182mtbird 328 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (sin‘𝑠) = 0)
184183neqned 2947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘𝑠) ≠ 0)
1853ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
186176, 184, 185dirkertrigeqlem2 43315 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
187186eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
188187adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
189175, 188pm2.61dan 813 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
19095, 189eqtr2d 2778 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
19193, 190pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
192191mpteq2dva 5150 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1937, 192eqtr2id 2791 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
1942, 6, 1933eqtrd 2781 1 (𝜑𝐹 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  ifcif 4439  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   / cdiv 11489  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  +crp 12586  ...cfz 13095  cfl 13365   mod cmo 13442  chash 13896  Σcsu 15249  sincsin 15625  cosccos 15626  πcpi 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764
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