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Theorem dirkertrigeq 44428
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dirkertrigeq.f 𝐹 = (π·β€˜π‘)
dirkertrigeq.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐻)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁,𝑠   πœ‘,π‘˜,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛,𝑠)   𝐹(π‘˜,𝑛,𝑠)   𝐻(π‘˜,𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3 𝐹 = (π·β€˜π‘)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π·β€˜π‘))
3 dirkertrigeq.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 dirkertrigeq.d . . . 4 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
54dirkerval 44418 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
63, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
7 dirkertrigeq.h . . 3 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
8 2cnd 12236 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
93nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
108, 9mulcld 11180 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
11 peano2cn 11332 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝑁) + 1) ∈ β„‚)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) + 1) ∈ β„‚)
13 picn 25832 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ β„‚
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
15 2ne0 12262 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
17 pire 25831 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ
18 pipos 25833 . . . . . . . . . . 11 0 < Ο€
1917, 18gt0ne0ii 11696 . . . . . . . . . 10 Ο€ β‰  0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 11967 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) / Ο€) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)))
2221eqcomd 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)) = ((((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) / Ο€))
2322ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)) = ((((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) / Ο€))
24 iftrue 4493 . . . . . . 7 ((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)))
2524adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)))
26 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
2726zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
2827adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
29 recn 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
31 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ β„‚
3231, 13mulcli 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 Β· Ο€) ∈ β„‚
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
3431, 13, 15, 19mulne0i 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 Β· Ο€) β‰  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
3628, 30, 33, 35divassd 11971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) = (π‘˜ Β· (𝑠 / (2 Β· Ο€))))
3726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
38 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0)
39 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
40 2rp 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ+
41 pirp 25834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ο€ ∈ ℝ+
42 rpmulcl 12943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ+ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
4340, 41, 42mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+
44 mod0 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
4539, 43, 44sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (𝑠 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑠 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
4837, 47zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ Β· (𝑠 / (2 Β· Ο€))) ∈ β„€)
4936, 48eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
5027adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5129adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
5250, 51mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) ∈ β„‚)
53 coseq1 25897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ Β· 𝑠) ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1 ↔ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1 ↔ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1 ↔ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
5649, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1)
5756ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1)
5857adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1)
5958sumeq2d 15592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)1)
60 fzfid 13884 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
61 1cnd 11155 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ 1 ∈ β„‚)
62 fsumconst 15680 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)1 = ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1))
6360, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)1 = ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1))
643nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65 hashfz1 14252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
6766oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1) = (𝑁 Β· 1))
689mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 1) = 𝑁)
6967, 68eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1) = 𝑁)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1) = 𝑁)
7159, 63, 703eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 𝑁)
7271oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
739div1d 11928 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
7473eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝑁 / 1))
7574oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76 1cnd 11155 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
77 ax-1ne0 11125 . . . . . . . . . . . 12 1 β‰  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 β‰  0)
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 11980 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 Β· 1) + (𝑁 Β· 2)) / (2 Β· 1)))
8076, 76mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 Β· 1) ∈ β„‚)
819, 8mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 2) ∈ β„‚)
8280, 81addcomd 11362 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((1 Β· 1) + (𝑁 Β· 2)) = ((𝑁 Β· 2) + (1 Β· 1)))
839, 8mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 2) = (2 Β· 𝑁))
8476mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 Β· 1) = 1)
8583, 84oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑁 Β· 2) + (1 Β· 1)) = ((2 Β· 𝑁) + 1))
8682, 85eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((1 Β· 1) + (𝑁 Β· 2)) = ((2 Β· 𝑁) + 1))
878mulid1d 11177 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) = 2)
8886, 87oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((1 Β· 1) + (𝑁 Β· 2)) / (2 Β· 1)) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))
8975, 79, 883eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))
9089ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))
9172, 90eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))
9291oveq1d 7373 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = ((((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) / Ο€))
9323, 25, 923eqtr4rd 2784 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
94 iffalse 4496 . . . . . . 7 (Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
9594adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ β‰  0)
9829, 96, 97divcan1d 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) = 𝑠)
9998eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 = ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 = ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))
101 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 mod Ο€) = 0)
102 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
103 mod0 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑠 mod Ο€) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
104102, 41, 103sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑠 mod Ο€) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
105101, 104mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€)
106105adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€)
107 rpreccl 12946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ (1 / Ο€) ∈ ℝ+)
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / Ο€) ∈ ℝ+
109 moddi 13850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / Ο€) ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))) = (((1 / Ο€) Β· 𝑠) mod ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€))))
110108, 43, 109mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))) = (((1 / Ο€) Β· 𝑠) mod ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€))))
11129, 96, 97divrec2d 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / Ο€) = ((1 / Ο€) Β· 𝑠))
112111eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / Ο€) Β· 𝑠) = (𝑠 / Ο€))
11396, 97reccld 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (1 / Ο€) ∈ β„‚)
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
115113, 114mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€)) = ((2 Β· Ο€) Β· (1 / Ο€)))
116 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 2 ∈ β„‚)
117116, 96, 113mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (1 / Ο€)) = (2 Β· (Ο€ Β· (1 / Ο€))))
11813, 19recidi 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Ο€ Β· (1 / Ο€)) = 1
119118oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 Β· (Ο€ Β· (1 / Ο€))) = (2 Β· 1)
120116mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· 1) = 2)
121119, 120eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· (Ο€ Β· (1 / Ο€))) = 2)
122115, 117, 1213eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€)) = 2)
123112, 122oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (((1 / Ο€) Β· 𝑠) mod ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€))) = ((𝑠 / Ο€) mod 2))
124110, 123eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑠 / Ο€) mod 2) = ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))))
125124adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((𝑠 / Ο€) mod 2) = ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))))
126113adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (1 / Ο€) ∈ β„‚)
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
129127, 128modcld 13786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
130129recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
131130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
132 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„‚
133132, 13, 77, 19divne0i 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / Ο€) β‰  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (1 / Ο€) β‰  0)
135 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) β‰  0)
136135adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) β‰  0)
137126, 131, 134, 136mulne0d 11812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))) β‰  0)
138125, 137eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((𝑠 / Ο€) mod 2) β‰  0)
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑠 / Ο€) mod 2) β‰  0)
140 oddfl 43598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 / Ο€) ∈ β„€ ∧ ((𝑠 / Ο€) mod 2) β‰  0) β†’ (𝑠 / Ο€) = ((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1))
141106, 139, 140syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 / Ο€) = ((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1))
142141oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) = (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))
143100, 142eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 = (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))
144143oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) = (π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))
145144fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = (cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))))
146145sumeq2sdv 15594 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))))
147146oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))))
148147oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))) / Ο€))
149148adantlll 717 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))) / Ο€))
1503ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
152127, 151, 97redivcld 11988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / Ο€) ∈ ℝ)
153152rehalfcld 12405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑠 / Ο€) / 2) ∈ ℝ)
154153flcld 13709 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2)) ∈ β„€)
155154ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2)) ∈ β„€)
156 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) = (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 44427 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))) / Ο€) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)))))
158157adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))) / Ο€) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)))))
159141adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 / Ο€) = ((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1))
160159eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) = (𝑠 / Ο€))
161160oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) = ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))
162161oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€)))
163162fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))))
164161fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)) = (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))
165164oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2))))
166163, 165oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))))
16798oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€)) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))
168167fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
16998fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
170169oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
171168, 170oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
172171adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
173172ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
174166, 173eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
175149, 158, 1743eqtrrd 2778 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
176 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
177 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0)
178176, 41, 103sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑠 mod Ο€) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
179177, 178mtbid 324 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ Β¬ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€)
180176recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
181 sineq0 25896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π‘ ) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜π‘ ) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
183179, 182mtbird 325 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ Β¬ (sinβ€˜π‘ ) = 0)
184183neqned 2947 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (sinβ€˜π‘ ) β‰  0)
1853ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
186176, 184, 185dirkertrigeqlem2 44426 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
187186eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
188187adantlr 714 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
189175, 188pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
19095, 189eqtr2d 2774 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
19193, 190pm2.61dan 812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
192191mpteq2dva 5206 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
1937, 192eqtr2id 2786 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
1942, 6, 1933eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  ifcif 4487   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„+crp 12920  ...cfz 13430  βŒŠcfl 13701   mod cmo 13780  β™―chash 14236  Ξ£csu 15576  sincsin 15951  cosccos 15952  Ο€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  dirkeritg  44429  fourierdlem83  44516
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