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Theorem dirkertrigeq 45402
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dirkertrigeq.f 𝐹 = (π·β€˜π‘)
dirkertrigeq.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐻)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁,𝑠   πœ‘,π‘˜,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛,𝑠)   𝐹(π‘˜,𝑛,𝑠)   𝐻(π‘˜,𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3 𝐹 = (π·β€˜π‘)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π·β€˜π‘))
3 dirkertrigeq.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 dirkertrigeq.d . . . 4 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
54dirkerval 45392 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
63, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
7 dirkertrigeq.h . . 3 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
8 2cnd 12306 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
93nncnd 12244 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
108, 9mulcld 11250 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
11 peano2cn 11402 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝑁) + 1) ∈ β„‚)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) + 1) ∈ β„‚)
13 picn 26368 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ β„‚
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
15 2ne0 12332 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
17 pire 26367 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ
18 pipos 26369 . . . . . . . . . . 11 0 < Ο€
1917, 18gt0ne0ii 11766 . . . . . . . . . 10 Ο€ β‰  0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 12037 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) / Ο€) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)))
2221eqcomd 2733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)) = ((((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) / Ο€))
2322ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)) = ((((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) / Ο€))
24 iftrue 4530 . . . . . . 7 ((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)))
2524adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)))
26 elfzelz 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
2726zcnd 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
29 recn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
31 2cn 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ β„‚
3231, 13mulcli 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 Β· Ο€) ∈ β„‚
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
3431, 13, 15, 19mulne0i 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 Β· Ο€) β‰  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
3628, 30, 33, 35divassd 12041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) = (π‘˜ Β· (𝑠 / (2 Β· Ο€))))
3726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0)
39 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
40 2rp 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ+
41 pirp 26370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ο€ ∈ ℝ+
42 rpmulcl 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ+ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
4340, 41, 42mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+
44 mod0 13859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
4539, 43, 44sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (𝑠 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑠 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
4837, 47zmulcld 12688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ Β· (𝑠 / (2 Β· Ο€))) ∈ β„€)
4936, 48eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
5027adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
5250, 51mulcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) ∈ β„‚)
53 coseq1 26433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ Β· 𝑠) ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1 ↔ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1 ↔ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1 ↔ ((π‘˜ Β· 𝑠) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
5649, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1)
5756ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1)
5857adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 1)
5958sumeq2d 15666 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)1)
60 fzfid 13956 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
61 1cnd 11225 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ 1 ∈ β„‚)
62 fsumconst 15754 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)1 = ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1))
6360, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)1 = ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1))
643nnnn0d 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65 hashfz1 14323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
6766oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1) = (𝑁 Β· 1))
689mulridd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 1) = 𝑁)
6967, 68eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1) = 𝑁)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) Β· 1) = 𝑁)
7159, 63, 703eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 𝑁)
7271oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
739div1d 11998 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
7473eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝑁 / 1))
7574oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76 1cnd 11225 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
77 ax-1ne0 11193 . . . . . . . . . . . 12 1 β‰  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 β‰  0)
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 12050 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 Β· 1) + (𝑁 Β· 2)) / (2 Β· 1)))
8076, 76mulcld 11250 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 Β· 1) ∈ β„‚)
819, 8mulcld 11250 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 2) ∈ β„‚)
8280, 81addcomd 11432 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((1 Β· 1) + (𝑁 Β· 2)) = ((𝑁 Β· 2) + (1 Β· 1)))
839, 8mulcomd 11251 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 2) = (2 Β· 𝑁))
8476mulridd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 Β· 1) = 1)
8583, 84oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑁 Β· 2) + (1 Β· 1)) = ((2 Β· 𝑁) + 1))
8682, 85eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((1 Β· 1) + (𝑁 Β· 2)) = ((2 Β· 𝑁) + 1))
878mulridd 11247 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) = 2)
8886, 87oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((1 Β· 1) + (𝑁 Β· 2)) / (2 Β· 1)) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))
8975, 79, 883eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))
9089ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))
9172, 90eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))
9291oveq1d 7429 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = ((((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) / Ο€))
9323, 25, 923eqtr4rd 2778 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
94 iffalse 4533 . . . . . . 7 (Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
9594adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ β‰  0)
9829, 96, 97divcan1d 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) = 𝑠)
9998eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 = ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 = ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))
101 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 mod Ο€) = 0)
102 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
103 mod0 13859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑠 mod Ο€) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
104102, 41, 103sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑠 mod Ο€) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
105101, 104mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€)
106105adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€)
107 rpreccl 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ (1 / Ο€) ∈ ℝ+)
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / Ο€) ∈ ℝ+
109 moddi 13922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / Ο€) ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))) = (((1 / Ο€) Β· 𝑠) mod ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€))))
110108, 43, 109mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))) = (((1 / Ο€) Β· 𝑠) mod ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€))))
11129, 96, 97divrec2d 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / Ο€) = ((1 / Ο€) Β· 𝑠))
112111eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / Ο€) Β· 𝑠) = (𝑠 / Ο€))
11396, 97reccld 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (1 / Ο€) ∈ β„‚)
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
115113, 114mulcomd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€)) = ((2 Β· Ο€) Β· (1 / Ο€)))
116 2cnd 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 2 ∈ β„‚)
117116, 96, 113mulassd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (1 / Ο€)) = (2 Β· (Ο€ Β· (1 / Ο€))))
11813, 19recidi 11961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Ο€ Β· (1 / Ο€)) = 1
119118oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 Β· (Ο€ Β· (1 / Ο€))) = (2 Β· 1)
120116mulridd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· 1) = 2)
121119, 120eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· (Ο€ Β· (1 / Ο€))) = 2)
122115, 117, 1213eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€)) = 2)
123112, 122oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (((1 / Ο€) Β· 𝑠) mod ((1 / Ο€) Β· (2 Β· Ο€))) = ((𝑠 / Ο€) mod 2))
124110, 123eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑠 / Ο€) mod 2) = ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))))
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((𝑠 / Ο€) mod 2) = ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))))
126113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (1 / Ο€) ∈ β„‚)
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
129127, 128modcld 13858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
130129recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
132 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„‚
133132, 13, 77, 19divne0i 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / Ο€) β‰  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (1 / Ο€) β‰  0)
135 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0 β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) β‰  0)
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) β‰  0)
137126, 131, 134, 136mulne0d 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((1 / Ο€) Β· (𝑠 mod (2 Β· Ο€))) β‰  0)
138125, 137eqnetrd 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((𝑠 / Ο€) mod 2) β‰  0)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑠 / Ο€) mod 2) β‰  0)
140 oddfl 44572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 / Ο€) ∈ β„€ ∧ ((𝑠 / Ο€) mod 2) β‰  0) β†’ (𝑠 / Ο€) = ((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1))
141106, 139, 140syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 / Ο€) = ((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1))
142141oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) = (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))
143100, 142eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 = (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))
144143oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) = (π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))
145144fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = (cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))))
146145sumeq2sdv 15668 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))))
147146oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) = ((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))))
148147oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))) / Ο€))
149148adantlll 717 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))) / Ο€))
1503ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
152127, 151, 97redivcld 12058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / Ο€) ∈ ℝ)
153152rehalfcld 12475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑠 / Ο€) / 2) ∈ ℝ)
154153flcld 13781 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2)) ∈ β„€)
155154ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2)) ∈ β„€)
156 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) = (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 45401 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))) / Ο€) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)))))
158157adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)))) / Ο€) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)))))
159141adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (𝑠 / Ο€) = ((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1))
160159eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) = (𝑠 / Ο€))
161160oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) = ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))
162161oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€)) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€)))
163162fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))))
164161fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)) = (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))
165164oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2))))
166163, 165oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))))
16798oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€)) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))
168167fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
16998fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
170169oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
171168, 170oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
172171adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
173172ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· ((𝑠 / Ο€) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(((𝑠 / Ο€) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
174166, 173eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· (((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€))) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜((((2 Β· (βŒŠβ€˜((𝑠 / Ο€) / 2))) + 1) Β· Ο€) / 2)))) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
175149, 158, 1743eqtrrd 2772 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
176 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
177 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0)
178176, 41, 103sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((𝑠 mod Ο€) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
179177, 178mtbid 324 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ Β¬ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€)
180176recnd 11258 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
181 sineq0 26432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π‘ ) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜π‘ ) = 0 ↔ (𝑠 / Ο€) ∈ β„€))
183179, 182mtbird 325 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ Β¬ (sinβ€˜π‘ ) = 0)
184183neqned 2942 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (sinβ€˜π‘ ) β‰  0)
1853ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
186176, 184, 185dirkertrigeqlem2 45400 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
187186eqcomd 2733 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
188187adantlr 714 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) ∧ Β¬ (𝑠 mod Ο€) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
189175, 188pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€))
19095, 189eqtr2d 2768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
19193, 190pm2.61dan 812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
192191mpteq2dva 5242 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠))) / Ο€)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
1937, 192eqtr2id 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
1942, 6, 1933eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„+crp 12992  ...cfz 13502  βŒŠcfl 13773   mod cmo 13852  β™―chash 14307  Ξ£csu 15650  sincsin 16025  cosccos 16026  Ο€cpi 16028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770
This theorem is referenced by:  dirkeritg  45403  fourierdlem83  45490
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