dirkertrigeq - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dirkertrigeq 44332

Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkertrigeq.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeq.f	⊢ 𝐹 = (𝐷‘𝑁)
dirkertrigeq.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))

**Assertion**
Ref	Expression
dirkertrigeq	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐻)

Distinct variable groups: 𝑘,𝑁,𝑠 𝜑,𝑘,𝑠 𝑛,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐷(𝑘,𝑛,𝑠) 𝐹(𝑘,𝑛,𝑠) 𝐻(𝑘,𝑛,𝑠) 𝑁(𝑛)

**Proof of Theorem dirkertrigeq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeq.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐷‘𝑁)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐷‘𝑁))
3		dirkertrigeq.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dirkertrigeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
5	4	dirkerval 44322	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
7		dirkertrigeq.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
8		2cnd 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	3	nncnd 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		peano2cn 11327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13		picn 25816	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
15		2ne0 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
17		pire 25815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
18		pipos 25817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
19	17, 18	gt0ne0ii 11691	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
21	12, 8, 14, 16, 20	divdiv1d 11962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
23	22	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
24		iftrue 4492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
25	24	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
26		elfzelz 13441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
29		recn 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
31		2cn 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
32	31, 13	mulcli 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
34	31, 13, 15, 19	mulne0i 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ≠ 0)
36	28, 30, 33, 35	divassd 11966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) = (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))))
37	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
39		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
40		2rp 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
41		pirp 25818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ⁺
42		rpmulcl 12938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
43	40, 41, 42	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
44		mod0 13781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
45	39, 43, 44	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
46	38, 45	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
48	37, 47	zmulcld 12613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))) ∈ ℤ)
49	36, 48	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ)
50	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
53		coseq1 25881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
55	54	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
56	49, 55	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
57	56	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
58	57	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
59	58	sumeq2d 15587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1)
60		fzfid 13878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
61		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
62		fsumconst 15675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
64	3	nnnn0d 12473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
65		hashfz1 14246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
67	66	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = (𝑁 · 1))
68	9	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
69	67, 68	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
70	69	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
71	59, 63, 70	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 𝑁)
72	71	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
73	9	div1d 11923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
74	73	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑁 / 1))
75	74	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
77		ax-1ne0 11120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
79	76, 8, 9, 76, 16, 78	divadddivd 11975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)))
80	76, 76	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) ∈ ℂ)
81	9, 8	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
82	80, 81	addcomd 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((𝑁 · 2) + (1 · 1)))
83	9, 8	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
84	76	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
85	83, 84	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) + (1 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 1))
86	82, 85	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((2 · 𝑁) + 1))
87	8	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) = 2)
88	86, 87	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
89	75, 79, 88	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
90	89	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
91	72, 90	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
92	91	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
93	23, 25, 92	3eqtr4rd 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
94		iffalse 4495	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
95	94	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
96	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
97	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
98	29, 96, 97	divcan1d 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) · π) = 𝑠)
99	98	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
100	99	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
101		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 mod π) = 0)
102		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
103		mod0 13781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ⁺) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
104	102, 41, 103	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
105	101, 104	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
106	105	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
107		rpreccl 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (π ∈ ℝ⁺ → (1 / π) ∈ ℝ⁺)
108	41, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / π) ∈ ℝ⁺
109		moddi 13844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((1 / π) ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
110	108, 43, 109	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
111	29, 96, 97	divrec2d 11935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) = ((1 / π) · 𝑠))
112	111	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · 𝑠) = (𝑠 / π))
113	96, 97	reccld 11924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (1 / π) ∈ ℂ)
114	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
115	113, 114	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = ((2 · π) · (1 / π)))
116		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
117	116, 96, 113	mulassd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (1 / π)) = (2 · (π · (1 / π))))
118	13, 19	recidi 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (π · (1 / π)) = 1
119	118	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · (π · (1 / π))) = (2 · 1)
120	116	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
121	119, 120	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (π · (1 / π))) = 2)
122	115, 117, 121	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = 2)
123	112, 122	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))) = ((𝑠 / π) mod 2))
124	110, 123	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
126	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ∈ ℂ)
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℝ)
128	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
129	127, 128	modcld 13780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℝ)
130	129	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
132		ax-1cn 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
133	132, 13, 77, 19	divne0i 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / π) ≠ 0
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ≠ 0)
135		neqne 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
137	126, 131, 134, 136	mulne0d 11807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) ≠ 0)
138	125, 137	eqnetrd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
140		oddfl 43501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
141	106, 139, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
142	141	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
143	100, 142	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
144	143	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))
145	144	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = (cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
146	145	sumeq2sdv 15589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
147	146	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))))
148	147	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
149	148	adantlll 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
150	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
151	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
152	127, 151, 97	redivcld 11983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) ∈ ℝ)
153	152	rehalfcld 12400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) / 2) ∈ ℝ)
154	153	flcld 13703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
155	154	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
156		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)
157	150, 155, 156	dirkertrigeqlem3 44331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
158	157	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
159	141	adantlll 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
160	159	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) = (𝑠 / π))
161	160	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = ((𝑠 / π) · π))
162	161	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)))
163	162	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))))
164	161	fvoveq1d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)) = (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))
165	164	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))))
166	163, 165	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))))
167	98	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
168	167	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
169	98	fvoveq1d 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
170	169	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
171	168, 170	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
173	172	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
174	166, 173	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
175	149, 158, 174	3eqtrrd 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
176		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
177		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 mod π) = 0)
178	176, 41, 103	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
179	177, 178	mtbid 323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 / π) ∈ ℤ)
180	176	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
181		sineq0 25880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
183	179, 182	mtbird 324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (sin‘𝑠) = 0)
184	183	neqned 2950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘𝑠) ≠ 0)
185	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
186	176, 184, 185	dirkertrigeqlem2 44330	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
187	186	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
188	187	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
189	175, 188	pm2.61dan 811	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
190	95, 189	eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
191	93, 190	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
192	191	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
193	7, 192	eqtr2id 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
194	2, 6, 193	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐻)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ifcif 4486 ↦ cmpt 5188 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 Fincfn 8883 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 / cdiv 11812 ℕcn 12153 2c2 12208 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12499 ℝ⁺crp 12915 ...cfz 13424 ⌊cfl 13695 mod cmo 13774 ♯chash 14230 Σcsu 15570 sincsin 15946 cosccos 15947 πcpi 15949

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 ax-addf 11130 ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7617 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8093 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-2o 8413 df-er 8648 df-map 8767 df-pm 8768 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9306 df-fi 9347 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-xneg 13033 df-xadd 13034 df-xmul 13035 df-ioo 13268 df-ioc 13269 df-ico 13270 df-icc 13271 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-mod 13775 df-seq 13907 df-exp 13968 df-fac 14174 df-bc 14203 df-hash 14231 df-shft 14952 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-limsup 15353 df-clim 15370 df-rlim 15371 df-sum 15571 df-ef 15950 df-sin 15952 df-cos 15953 df-pi 15955 df-struct 17019 df-sets 17036 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-ress 17113 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-starv 17148 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-unif 17156 df-hom 17157 df-cco 17158 df-rest 17304 df-topn 17305 df-0g 17323 df-gsum 17324 df-topgen 17325 df-pt 17326 df-prds 17329 df-xrs 17384 df-qtop 17389 df-imas 17390 df-xps 17392 df-mre 17466 df-mrc 17467 df-acs 17469 df-mgm 18497 df-sgrp 18546 df-mnd 18557 df-submnd 18602 df-mulg 18873 df-cntz 19097 df-cmn 19564 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-met 20790 df-bl 20791 df-mopn 20792 df-fbas 20793 df-fg 20794 df-cnfld 20797 df-top 22243 df-topon 22260 df-topsp 22282 df-bases 22296 df-cld 22370 df-ntr 22371 df-cls 22372 df-nei 22449 df-lp 22487 df-perf 22488 df-cn 22578 df-cnp 22579 df-haus 22666 df-tx 22913 df-hmeo 23106 df-fil 23197 df-fm 23289 df-flim 23290 df-flf 23291 df-xms 23673 df-ms 23674 df-tms 23675 df-cncf 24241 df-limc 25230 df-dv 25231

This theorem is referenced by: dirkeritg 44333 fourierdlem83 44420

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