dirkertrigeq - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dirkertrigeq 46086

Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkertrigeq.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeq.f	⊢ 𝐹 = (𝐷‘𝑁)
dirkertrigeq.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))

**Assertion**
Ref	Expression
dirkertrigeq	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐻)

Distinct variable groups: 𝑘,𝑁,𝑠 𝜑,𝑘,𝑠 𝑛,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐷(𝑘,𝑛,𝑠) 𝐹(𝑘,𝑛,𝑠) 𝐻(𝑘,𝑛,𝑠) 𝑁(𝑛)

**Proof of Theorem dirkertrigeq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeq.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐷‘𝑁)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐷‘𝑁))
3		dirkertrigeq.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dirkertrigeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
5	4	dirkerval 46076	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
7		dirkertrigeq.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
8		2cnd 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	3	nncnd 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		peano2cn 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13		picn 26383	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
15		2ne0 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
17		pire 26382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
18		pipos 26384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
19	17, 18	gt0ne0ii 11674	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
21	12, 8, 14, 16, 20	divdiv1d 11949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
22	21	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
23	22	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
24		iftrue 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
26		elfzelz 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
29		recn 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
31		2cn 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
32	31, 13	mulcli 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
34	31, 13, 15, 19	mulne0i 11781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ≠ 0)
36	28, 30, 33, 35	divassd 11953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) = (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))))
37	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
40		2rp 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
41		pirp 26386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ⁺
42		rpmulcl 12936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
43	40, 41, 42	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
44		mod0 13798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
45	39, 43, 44	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
46	38, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
48	37, 47	zmulcld 12604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))) ∈ ℤ)
49	36, 48	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ)
50	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
53		coseq1 26450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
55	54	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
56	49, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
57	56	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
58	57	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
59	58	sumeq2d 15626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1)
60		fzfid 13898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
61		1cnd 11129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
62		fsumconst 15715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
64	3	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
65		hashfz1 14271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
67	66	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = (𝑁 · 1))
68	9	mulridd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
69	67, 68	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
70	69	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
71	59, 63, 70	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 𝑁)
72	71	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
73	9	div1d 11910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
74	73	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑁 / 1))
75	74	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76		1cnd 11129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
77		ax-1ne0 11097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
79	76, 8, 9, 76, 16, 78	divadddivd 11962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)))
80	76, 76	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) ∈ ℂ)
81	9, 8	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
82	80, 81	addcomd 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((𝑁 · 2) + (1 · 1)))
83	9, 8	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
84	76	mulridd 11151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
85	83, 84	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) + (1 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 1))
86	82, 85	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((2 · 𝑁) + 1))
87	8	mulridd 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) = 2)
88	86, 87	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
89	75, 79, 88	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
90	89	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
91	72, 90	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
92	91	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
93	23, 25, 92	3eqtr4rd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
94		iffalse 4487	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
95	94	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
96	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
97	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
98	29, 96, 97	divcan1d 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) · π) = 𝑠)
99	98	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
100	99	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
101		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 mod π) = 0)
102		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
103		mod0 13798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ⁺) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
104	102, 41, 103	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
105	101, 104	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
106	105	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
107		rpreccl 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (π ∈ ℝ⁺ → (1 / π) ∈ ℝ⁺)
108	41, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / π) ∈ ℝ⁺
109		moddi 13864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((1 / π) ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
110	108, 43, 109	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
111	29, 96, 97	divrec2d 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) = ((1 / π) · 𝑠))
112	111	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · 𝑠) = (𝑠 / π))
113	96, 97	reccld 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (1 / π) ∈ ℂ)
114	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
115	113, 114	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = ((2 · π) · (1 / π)))
116		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
117	116, 96, 113	mulassd 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (1 / π)) = (2 · (π · (1 / π))))
118	13, 19	recidi 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (π · (1 / π)) = 1
119	118	oveq2i 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · (π · (1 / π))) = (2 · 1)
120	116	mulridd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
121	119, 120	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (π · (1 / π))) = 2)
122	115, 117, 121	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = 2)
123	112, 122	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))) = ((𝑠 / π) mod 2))
124	110, 123	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
126	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ∈ ℂ)
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℝ)
128	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
129	127, 128	modcld 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℝ)
130	129	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
132		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
133	132, 13, 77, 19	divne0i 11890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / π) ≠ 0
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ≠ 0)
135		neqne 2933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
136	135	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
137	126, 131, 134, 136	mulne0d 11790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) ≠ 0)
138	125, 137	eqnetrd 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
140		oddfl 45263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
141	106, 139, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
142	141	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
143	100, 142	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
144	143	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))
145	144	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = (cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
146	145	sumeq2sdv 15628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
147	146	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))))
148	147	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
149	148	adantlll 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
150	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
151	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
152	127, 151, 97	redivcld 11970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) ∈ ℝ)
153	152	rehalfcld 12389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) / 2) ∈ ℝ)
154	153	flcld 13720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
155	154	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
156		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)
157	150, 155, 156	dirkertrigeqlem3 46085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
158	157	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
159	141	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
160	159	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) = (𝑠 / π))
161	160	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = ((𝑠 / π) · π))
162	161	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)))
163	162	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))))
164	161	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)) = (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))
165	164	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))))
166	163, 165	oveq12d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))))
167	98	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
168	167	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
169	98	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
170	169	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
171	168, 170	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
172	171	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
173	172	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
174	166, 173	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
175	149, 158, 174	3eqtrrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
176		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
177		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 mod π) = 0)
178	176, 41, 103	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
179	177, 178	mtbid 324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 / π) ∈ ℤ)
180	176	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
181		sineq0 26449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
183	179, 182	mtbird 325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (sin‘𝑠) = 0)
184	183	neqned 2932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘𝑠) ≠ 0)
185	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
186	176, 184, 185	dirkertrigeqlem2 46084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
187	186	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
188	187	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
189	175, 188	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
190	95, 189	eqtr2d 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
191	93, 190	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
192	191	mpteq2dva 5188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
193	7, 192	eqtr2id 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
194	2, 6, 193	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐻)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ifcif 4478 ↦ cmpt 5176 ‘cfv 6486 (class class class)co 7353 Fincfn 8879 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 1c1 11029 + caddc 11031 · cmul 11033 / cdiv 11795 ℕcn 12146 2c2 12201 ℕ₀cn0 12402 ℤcz 12489 ℝ⁺crp 12911 ...cfz 13428 ⌊cfl 13712 mod cmo 13791 ♯chash 14255 Σcsu 15611 sincsin 15988 cosccos 15989 πcpi 15991

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7675 ax-inf2 9556 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106 ax-addf 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3397 df-v 3440 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-tp 4584 df-op 4586 df-uni 4862 df-int 4900 df-iun 4946 df-iin 4947 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-se 5577 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-isom 6495 df-riota 7310 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-of 7617 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-supp 8101 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-er 8632 df-map 8762 df-pm 8763 df-ixp 8832 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-fsupp 9271 df-fi 9320 df-sup 9351 df-inf 9352 df-oi 9421 df-card 9854 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11367 df-neg 11368 df-div 11796 df-nn 12147 df-2 12209 df-3 12210 df-4 12211 df-5 12212 df-6 12213 df-7 12214 df-8 12215 df-9 12216 df-n0 12403 df-z 12490 df-dec 12610 df-uz 12754 df-q 12868 df-rp 12912 df-xneg 13032 df-xadd 13033 df-xmul 13034 df-ioo 13270 df-ioc 13271 df-ico 13272 df-icc 13273 df-fz 13429 df-fzo 13576 df-fl 13714 df-mod 13792 df-seq 13927 df-exp 13987 df-fac 14199 df-bc 14228 df-hash 14256 df-shft 14992 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161 df-limsup 15396 df-clim 15413 df-rlim 15414 df-sum 15612 df-ef 15992 df-sin 15994 df-cos 15995 df-pi 15997 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17139 df-ress 17160 df-plusg 17192 df-mulr 17193 df-starv 17194 df-sca 17195 df-vsca 17196 df-ip 17197 df-tset 17198 df-ple 17199 df-ds 17201 df-unif 17202 df-hom 17203 df-cco 17204 df-rest 17344 df-topn 17345 df-0g 17363 df-gsum 17364 df-topgen 17365 df-pt 17366 df-prds 17369 df-xrs 17424 df-qtop 17429 df-imas 17430 df-xps 17432 df-mre 17506 df-mrc 17507 df-acs 17509 df-mgm 18532 df-sgrp 18611 df-mnd 18627 df-submnd 18676 df-mulg 18965 df-cntz 19214 df-cmn 19679 df-psmet 21271 df-xmet 21272 df-met 21273 df-bl 21274 df-mopn 21275 df-fbas 21276 df-fg 21277 df-cnfld 21280 df-top 22797 df-topon 22814 df-topsp 22836 df-bases 22849 df-cld 22922 df-ntr 22923 df-cls 22924 df-nei 23001 df-lp 23039 df-perf 23040 df-cn 23130 df-cnp 23131 df-haus 23218 df-tx 23465 df-hmeo 23658 df-fil 23749 df-fm 23841 df-flim 23842 df-flf 23843 df-xms 24224 df-ms 24225 df-tms 24226 df-cncf 24787 df-limc 25783 df-dv 25784

This theorem is referenced by: dirkeritg 46087 fourierdlem83 46174

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