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Theorem dirkertrigeq 43879
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeq.f 𝐹 = (𝐷𝑁)
dirkertrigeq.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq (𝜑𝐹 = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑠   𝜑,𝑘,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛,𝑠)   𝐹(𝑘,𝑛,𝑠)   𝐻(𝑘,𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3 𝐹 = (𝐷𝑁)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (𝐷𝑁))
3 dirkertrigeq.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 dirkertrigeq.d . . . 4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
54dirkerval 43869 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
63, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
7 dirkertrigeq.h . . 3 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
8 2cnd 12124 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93nncnd 12062 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 11068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11 peano2cn 11220 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13 picn 25688 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℂ)
15 2ne0 12150 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
17 pire 25687 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
18 pipos 25689 . . . . . . . . . . 11 0 < π
1917, 18gt0ne0ii 11584 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ≠ 0)
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 11855 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
2221eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
2322ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
24 iftrue 4477 . . . . . . 7 ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
2524adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
26 elfzelz 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2726zcnd 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
29 recn 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
3029ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
31 2cn 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
3231, 13mulcli 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
3431, 13, 15, 19mulne0i 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ≠ 0)
3628, 30, 33, 35divassd 11859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) = (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))))
3726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
39 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
40 2rp 12808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ+
41 pirp 25690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ+
42 rpmulcl 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
4340, 41, 42mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · π) ∈ ℝ+
44 mod0 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4539, 43, 44sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4638, 45mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4837, 47zmulcld 12505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))) ∈ ℤ)
4936, 48eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ)
5027adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5129adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 11068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
53 coseq1 25753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5554adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5649, 55mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5756ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5857adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5958sumeq2d 15486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1)
60 fzfid 13766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
61 1cnd 11043 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
62 fsumconst 15574 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
6360, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
643nnnn0d 12366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65 hashfz1 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
6766oveq1d 7330 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = (𝑁 · 1))
689mulid1d 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
6967, 68eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
7069ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
7159, 63, 703eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 𝑁)
7271oveq2d 7331 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
739div1d 11816 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
7473eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (𝑁 / 1))
7574oveq2d 7331 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76 1cnd 11043 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
77 ax-1ne0 11013 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≠ 0)
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 11868 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)))
8076, 76mulcld 11068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 1) ∈ ℂ)
819, 8mulcld 11068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
8280, 81addcomd 11250 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((𝑁 · 2) + (1 · 1)))
839, 8mulcomd 11069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
8476mulid1d 11065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 1) = 1)
8583, 84oveq12d 7333 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + (1 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 1))
8682, 85eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((2 · 𝑁) + 1))
878mulid1d 11065 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 1) = 2)
8886, 87oveq12d 7333 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
8975, 79, 883eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9089ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9172, 90eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9291oveq1d 7330 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
9323, 25, 923eqtr4rd 2788 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
94 iffalse 4480 . . . . . . 7 (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9594adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
9829, 96, 97divcan1d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) · π) = 𝑠)
9998eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
10099ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
101 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 mod π) = 0)
102 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
103 mod0 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
104102, 41, 103sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
105101, 104mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
106105adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
107 rpreccl 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π ∈ ℝ+ → (1 / π) ∈ ℝ+)
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / π) ∈ ℝ+
109 moddi 13732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / π) ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
110108, 43, 109mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
11129, 96, 97divrec2d 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) = ((1 / π) · 𝑠))
112111eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · 𝑠) = (𝑠 / π))
11396, 97reccld 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (1 / π) ∈ ℂ)
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
115113, 114mulcomd 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = ((2 · π) · (1 / π)))
116 2cnd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
117116, 96, 113mulassd 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (1 / π)) = (2 · (π · (1 / π))))
11813, 19recidi 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π · (1 / π)) = 1
119118oveq2i 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 · (π · (1 / π))) = (2 · 1)
120116mulid1d 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
121119, 120eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (π · (1 / π))) = 2)
122115, 117, 1213eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = 2)
123112, 122oveq12d 7333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))) = ((𝑠 / π) mod 2))
124110, 123eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
126113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ∈ ℂ)
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℝ)
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℝ+)
129127, 128modcld 13668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℝ)
130129recnd 11076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
132 ax-1cn 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
133132, 13, 77, 19divne0i 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / π) ≠ 0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ≠ 0)
135 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
137126, 131, 134, 136mulne0d 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) ≠ 0)
138125, 137eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
139138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
140 oddfl 43052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
141106, 139, 140syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
142141oveq1d 7330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
143100, 142eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
144143oveq2d 7331 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))
145144fveq2d 6815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = (cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
146145sumeq2sdv 15488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
147146oveq2d 7331 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))))
148147oveq1d 7330 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
149148adantlll 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
1503ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
152127, 151, 97redivcld 11876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) ∈ ℝ)
153152rehalfcld 12293 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) / 2) ∈ ℝ)
154153flcld 13591 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
155154ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
156 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 43878 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
158157adantlr 712 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
159141adantlll 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
160159eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) = (𝑠 / π))
161160oveq1d 7330 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = ((𝑠 / π) · π))
162161oveq2d 7331 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)))
163162fveq2d 6815 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))))
164161fvoveq1d 7337 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)) = (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))
165164oveq2d 7331 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))))
166163, 165oveq12d 7333 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))))
16798oveq2d 7331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
168167fveq2d 6815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
16998fvoveq1d 7337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
170169oveq2d 7331 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
171168, 170oveq12d 7333 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
172171adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
173172ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
174166, 173eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
175149, 158, 1743eqtrrd 2782 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
176 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
177 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 mod π) = 0)
178176, 41, 103sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
179177, 178mtbid 323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 / π) ∈ ℤ)
180176recnd 11076 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
181 sineq0 25752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℂ → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
183179, 182mtbird 324 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (sin‘𝑠) = 0)
184183neqned 2948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘𝑠) ≠ 0)
1853ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
186176, 184, 185dirkertrigeqlem2 43877 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
187186eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
188187adantlr 712 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
189175, 188pm2.61dan 810 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
19095, 189eqtr2d 2778 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
19193, 190pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
192191mpteq2dva 5187 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1937, 192eqtr2id 2790 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
1942, 6, 1933eqtrd 2781 1 (𝜑𝐹 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  ifcif 4471  cmpt 5170  cfv 6465  (class class class)co 7315  Fincfn 8781  cc 10942  cr 10943  0cc0 10944  1c1 10945   + caddc 10947   · cmul 10949   / cdiv 11705  cn 12046  2c2 12101  0cn0 12306  cz 12392  +crp 12803  ...cfz 13312  cfl 13583   mod cmo 13662  chash 14117  Σcsu 15469  sincsin 15845  cosccos 15846  πcpi 15848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-inf2 9470  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022  ax-addf 11023  ax-mulf 11024
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-er 8546  df-map 8665  df-pm 8666  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-fi 9240  df-sup 9271  df-inf 9272  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-xneg 12921  df-xadd 12922  df-xmul 12923  df-ioo 13156  df-ioc 13157  df-ico 13158  df-icc 13159  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-fl 13585  df-mod 13663  df-seq 13795  df-exp 13856  df-fac 14061  df-bc 14090  df-hash 14118  df-shft 14850  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019  df-limsup 15252  df-clim 15269  df-rlim 15270  df-sum 15470  df-ef 15849  df-sin 15851  df-cos 15852  df-pi 15854  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-starv 17047  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-unif 17055  df-hom 17056  df-cco 17057  df-rest 17203  df-topn 17204  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-topgen 17224  df-pt 17225  df-prds 17228  df-xrs 17283  df-qtop 17288  df-imas 17289  df-xps 17291  df-mre 17365  df-mrc 17366  df-acs 17368  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-mulg 18770  df-cntz 18992  df-cmn 19456  df-psmet 20661  df-xmet 20662  df-met 20663  df-bl 20664  df-mopn 20665  df-fbas 20666  df-fg 20667  df-cnfld 20670  df-top 22115  df-topon 22132  df-topsp 22154  df-bases 22168  df-cld 22242  df-ntr 22243  df-cls 22244  df-nei 22321  df-lp 22359  df-perf 22360  df-cn 22450  df-cnp 22451  df-haus 22538  df-tx 22785  df-hmeo 22978  df-fil 23069  df-fm 23161  df-flim 23162  df-flf 23163  df-xms 23545  df-ms 23546  df-tms 23547  df-cncf 24113  df-limc 25102  df-dv 25103
This theorem is referenced by:  dirkeritg  43880  fourierdlem83  43967
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