dirkertrigeq - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dirkertrigeq 46116

Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkertrigeq.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeq.f	⊢ 𝐹 = (𝐷‘𝑁)
dirkertrigeq.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))

**Assertion**
Ref	Expression
dirkertrigeq	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐻)

Distinct variable groups: 𝑘,𝑁,𝑠 𝜑,𝑘,𝑠 𝑛,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐷(𝑘,𝑛,𝑠) 𝐹(𝑘,𝑛,𝑠) 𝐻(𝑘,𝑛,𝑠) 𝑁(𝑛)

**Proof of Theorem dirkertrigeq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeq.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐷‘𝑁)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐷‘𝑁))
3		dirkertrigeq.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dirkertrigeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
5	4	dirkerval 46106	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
7		dirkertrigeq.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
8		2cnd 12344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	3	nncnd 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		peano2cn 11433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13		picn 26501	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
15		2ne0 12370	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
17		pire 26500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
18		pipos 26502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
19	17, 18	gt0ne0ii 11799	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
21	12, 8, 14, 16, 20	divdiv1d 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
22	21	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
23	22	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
24		iftrue 4531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
26		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
29		recn 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
31		2cn 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
32	31, 13	mulcli 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
34	31, 13, 15, 19	mulne0i 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ≠ 0)
36	28, 30, 33, 35	divassd 12078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) = (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))))
37	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
40		2rp 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
41		pirp 26503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ⁺
42		rpmulcl 13058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
43	40, 41, 42	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
44		mod0 13916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
45	39, 43, 44	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
46	38, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
48	37, 47	zmulcld 12728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))) ∈ ℤ)
49	36, 48	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ)
50	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
53		coseq1 26567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
55	54	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
56	49, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
57	56	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
58	57	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
59	58	sumeq2d 15737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1)
60		fzfid 14014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
61		1cnd 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
62		fsumconst 15826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
64	3	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
65		hashfz1 14385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
67	66	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = (𝑁 · 1))
68	9	mulridd 11278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
69	67, 68	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
70	69	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
71	59, 63, 70	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 𝑁)
72	71	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
73	9	div1d 12035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
74	73	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑁 / 1))
75	74	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76		1cnd 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
77		ax-1ne0 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
79	76, 8, 9, 76, 16, 78	divadddivd 12087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)))
80	76, 76	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) ∈ ℂ)
81	9, 8	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
82	80, 81	addcomd 11463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((𝑁 · 2) + (1 · 1)))
83	9, 8	mulcomd 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
84	76	mulridd 11278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
85	83, 84	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) + (1 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 1))
86	82, 85	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((2 · 𝑁) + 1))
87	8	mulridd 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) = 2)
88	86, 87	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
89	75, 79, 88	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
90	89	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
91	72, 90	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
92	91	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
93	23, 25, 92	3eqtr4rd 2788	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
94		iffalse 4534	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
95	94	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
96	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
97	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
98	29, 96, 97	divcan1d 12044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) · π) = 𝑠)
99	98	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
100	99	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
101		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 mod π) = 0)
102		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
103		mod0 13916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ⁺) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
104	102, 41, 103	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
105	101, 104	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
106	105	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
107		rpreccl 13061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (π ∈ ℝ⁺ → (1 / π) ∈ ℝ⁺)
108	41, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / π) ∈ ℝ⁺
109		moddi 13980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((1 / π) ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
110	108, 43, 109	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
111	29, 96, 97	divrec2d 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) = ((1 / π) · 𝑠))
112	111	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · 𝑠) = (𝑠 / π))
113	96, 97	reccld 12036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (1 / π) ∈ ℂ)
114	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
115	113, 114	mulcomd 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = ((2 · π) · (1 / π)))
116		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
117	116, 96, 113	mulassd 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (1 / π)) = (2 · (π · (1 / π))))
118	13, 19	recidi 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (π · (1 / π)) = 1
119	118	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · (π · (1 / π))) = (2 · 1)
120	116	mulridd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
121	119, 120	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (π · (1 / π))) = 2)
122	115, 117, 121	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = 2)
123	112, 122	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))) = ((𝑠 / π) mod 2))
124	110, 123	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
126	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ∈ ℂ)
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℝ)
128	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
129	127, 128	modcld 13915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℝ)
130	129	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
132		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
133	132, 13, 77, 19	divne0i 12015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / π) ≠ 0
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ≠ 0)
135		neqne 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
136	135	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
137	126, 131, 134, 136	mulne0d 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) ≠ 0)
138	125, 137	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
140		oddfl 45289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
141	106, 139, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
142	141	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
143	100, 142	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
144	143	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))
145	144	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = (cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
146	145	sumeq2sdv 15739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
147	146	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))))
148	147	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
149	148	adantlll 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
150	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
151	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
152	127, 151, 97	redivcld 12095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) ∈ ℝ)
153	152	rehalfcld 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) / 2) ∈ ℝ)
154	153	flcld 13838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
155	154	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
156		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)
157	150, 155, 156	dirkertrigeqlem3 46115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
158	157	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
159	141	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
160	159	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) = (𝑠 / π))
161	160	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = ((𝑠 / π) · π))
162	161	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)))
163	162	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))))
164	161	fvoveq1d 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)) = (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))
165	164	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))))
166	163, 165	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))))
167	98	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
168	167	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
169	98	fvoveq1d 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
170	169	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
171	168, 170	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
172	171	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
173	172	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
174	166, 173	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
175	149, 158, 174	3eqtrrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
176		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
177		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 mod π) = 0)
178	176, 41, 103	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
179	177, 178	mtbid 324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 / π) ∈ ℤ)
180	176	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
181		sineq0 26566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
183	179, 182	mtbird 325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (sin‘𝑠) = 0)
184	183	neqned 2947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘𝑠) ≠ 0)
185	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
186	176, 184, 185	dirkertrigeqlem2 46114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
187	186	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
188	187	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
189	175, 188	pm2.61dan 813	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
190	95, 189	eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
191	93, 190	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
192	191	mpteq2dva 5242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
193	7, 192	eqtr2id 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
194	2, 6, 193	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐻)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ifcif 4525 ↦ cmpt 5225 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 Fincfn 8985 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 ℝ⁺crp 13034 ...cfz 13547 ⌊cfl 13830 mod cmo 13909 ♯chash 14369 Σcsu 15722 sincsin 16099 cosccos 16100 πcpi 16102

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233 ax-addf 11234

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-tp 4631 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-supp 8186 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-2o 8507 df-er 8745 df-map 8868 df-pm 8869 df-ixp 8938 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-fsupp 9402 df-fi 9451 df-sup 9482 df-inf 9483 df-oi 9550 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-5 12332 df-6 12333 df-7 12334 df-8 12335 df-9 12336 df-n0 12527 df-z 12614 df-dec 12734 df-uz 12879 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13154 df-xadd 13155 df-xmul 13156 df-ioo 13391 df-ioc 13392 df-ico 13393 df-icc 13394 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14043 df-exp 14103 df-fac 14313 df-bc 14342 df-hash 14370 df-shft 15106 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-limsup 15507 df-clim 15524 df-rlim 15525 df-sum 15723 df-ef 16103 df-sin 16105 df-cos 16106 df-pi 16108 df-struct 17184 df-sets 17201 df-slot 17219 df-ndx 17231 df-base 17248 df-ress 17275 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-rest 17467 df-topn 17468 df-0g 17486 df-gsum 17487 df-topgen 17488 df-pt 17489 df-prds 17492 df-xrs 17547 df-qtop 17552 df-imas 17553 df-xps 17555 df-mre 17629 df-mrc 17630 df-acs 17632 df-mgm 18653 df-sgrp 18732 df-mnd 18748 df-submnd 18797 df-mulg 19086 df-cntz 19335 df-cmn 19800 df-psmet 21356 df-xmet 21357 df-met 21358 df-bl 21359 df-mopn 21360 df-fbas 21361 df-fg 21362 df-cnfld 21365 df-top 22900 df-topon 22917 df-topsp 22939 df-bases 22953 df-cld 23027 df-ntr 23028 df-cls 23029 df-nei 23106 df-lp 23144 df-perf 23145 df-cn 23235 df-cnp 23236 df-haus 23323 df-tx 23570 df-hmeo 23763 df-fil 23854 df-fm 23946 df-flim 23947 df-flf 23948 df-xms 24330 df-ms 24331 df-tms 24332 df-cncf 24904 df-limc 25901 df-dv 25902

This theorem is referenced by: dirkeritg 46117 fourierdlem83 46204

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