dirkertrigeq - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dirkertrigeq 43317

Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkertrigeq.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeq.f	⊢ 𝐹 = (𝐷‘𝑁)
dirkertrigeq.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))

**Assertion**
Ref	Expression
dirkertrigeq	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐻)

Distinct variable groups: 𝑘,𝑁,𝑠 𝜑,𝑘,𝑠 𝑛,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐷(𝑘,𝑛,𝑠) 𝐹(𝑘,𝑛,𝑠) 𝐻(𝑘,𝑛,𝑠) 𝑁(𝑛)

**Proof of Theorem dirkertrigeq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeq.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐷‘𝑁)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐷‘𝑁))
3		dirkertrigeq.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dirkertrigeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
5	4	dirkerval 43307	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
7		dirkertrigeq.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
8		2cnd 11908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	3	nncnd 11846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 10853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		peano2cn 11004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13		picn 25349	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
15		2ne0 11934	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
17		pire 25348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
18		pipos 25350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
19	17, 18	gt0ne0ii 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
21	12, 8, 14, 16, 20	divdiv1d 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
22	21	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
23	22	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
24		iftrue 4445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
25	24	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
26		elfzelz 13112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	27	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
29		recn 10819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
31		2cn 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
32	31, 13	mulcli 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
34	31, 13, 15, 19	mulne0i 11475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ≠ 0)
36	28, 30, 33, 35	divassd 11643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) = (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))))
37	26	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
38		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
39		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
40		2rp 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
41		pirp 25351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ⁺
42		rpmulcl 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
43	40, 41, 42	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
44		mod0 13449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
45	39, 43, 44	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
46	38, 45	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
47	46	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
48	37, 47	zmulcld 12288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))) ∈ ℤ)
49	36, 48	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ)
50	27	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51	29	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
53		coseq1 25414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
55	54	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
56	49, 55	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
57	56	ralrimiva 3105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
58	57	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
59	58	sumeq2d 15266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1)
60		fzfid 13546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
61		1cnd 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
62		fsumconst 15354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
63	60, 61, 62	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
64	3	nnnn0d 12150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
65		hashfz1 13912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
67	66	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = (𝑁 · 1))
68	9	mulid1d 10850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
69	67, 68	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
70	69	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
71	59, 63, 70	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 𝑁)
72	71	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
73	9	div1d 11600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
74	73	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑁 / 1))
75	74	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76		1cnd 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
77		ax-1ne0 10798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
79	76, 8, 9, 76, 16, 78	divadddivd 11652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)))
80	76, 76	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) ∈ ℂ)
81	9, 8	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
82	80, 81	addcomd 11034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((𝑁 · 2) + (1 · 1)))
83	9, 8	mulcomd 10854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
84	76	mulid1d 10850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
85	83, 84	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) + (1 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 1))
86	82, 85	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((2 · 𝑁) + 1))
87	8	mulid1d 10850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) = 2)
88	86, 87	oveq12d 7231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
89	75, 79, 88	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
90	89	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
91	72, 90	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
92	91	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
93	23, 25, 92	3eqtr4rd 2788	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
94		iffalse 4448	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
95	94	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
96	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
97	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
98	29, 96, 97	divcan1d 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) · π) = 𝑠)
99	98	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
100	99	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
101		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 mod π) = 0)
102		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
103		mod0 13449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ⁺) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
104	102, 41, 103	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
105	101, 104	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
106	105	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
107		rpreccl 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (π ∈ ℝ⁺ → (1 / π) ∈ ℝ⁺)
108	41, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / π) ∈ ℝ⁺
109		moddi 13512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((1 / π) ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
110	108, 43, 109	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
111	29, 96, 97	divrec2d 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) = ((1 / π) · 𝑠))
112	111	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · 𝑠) = (𝑠 / π))
113	96, 97	reccld 11601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (1 / π) ∈ ℂ)
114	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
115	113, 114	mulcomd 10854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = ((2 · π) · (1 / π)))
116		2cnd 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
117	116, 96, 113	mulassd 10856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (1 / π)) = (2 · (π · (1 / π))))
118	13, 19	recidi 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (π · (1 / π)) = 1
119	118	oveq2i 7224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · (π · (1 / π))) = (2 · 1)
120	116	mulid1d 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
121	119, 120	syl5eq 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (π · (1 / π))) = 2)
122	115, 117, 121	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = 2)
123	112, 122	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))) = ((𝑠 / π) mod 2))
124	110, 123	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
125	124	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
126	113	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ∈ ℂ)
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℝ)
128	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
129	127, 128	modcld 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℝ)
130	129	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
131	130	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
132		ax-1cn 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
133	132, 13, 77, 19	divne0i 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / π) ≠ 0
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ≠ 0)
135		neqne 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
136	135	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
137	126, 131, 134, 136	mulne0d 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) ≠ 0)
138	125, 137	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
139	138	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
140		oddfl 42488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
141	106, 139, 140	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
142	141	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
143	100, 142	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
144	143	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))
145	144	fveq2d 6721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = (cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
146	145	sumeq2sdv 15268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
147	146	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))))
148	147	oveq1d 7228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
149	148	adantlll 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
150	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
151	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
152	127, 151, 97	redivcld 11660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) ∈ ℝ)
153	152	rehalfcld 12077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) / 2) ∈ ℝ)
154	153	flcld 13373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
155	154	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
156		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)
157	150, 155, 156	dirkertrigeqlem3 43316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
158	157	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
159	141	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
160	159	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) = (𝑠 / π))
161	160	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = ((𝑠 / π) · π))
162	161	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)))
163	162	fveq2d 6721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))))
164	161	fvoveq1d 7235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)) = (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))
165	164	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))))
166	163, 165	oveq12d 7231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))))
167	98	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
168	167	fveq2d 6721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
169	98	fvoveq1d 7235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
170	169	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
171	168, 170	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
172	171	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
173	172	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
174	166, 173	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
175	149, 158, 174	3eqtrrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
176		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
177		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 mod π) = 0)
178	176, 41, 103	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
179	177, 178	mtbid 327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 / π) ∈ ℤ)
180	176	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
181		sineq0 25413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
183	179, 182	mtbird 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (sin‘𝑠) = 0)
184	183	neqned 2947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘𝑠) ≠ 0)
185	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
186	176, 184, 185	dirkertrigeqlem2 43315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
187	186	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
188	187	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
189	175, 188	pm2.61dan 813	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
190	95, 189	eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
191	93, 190	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
192	191	mpteq2dva 5150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
193	7, 192	eqtr2id 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
194	2, 6, 193	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐻)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 = wceq 1543 ∈ wcel 2110 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ifcif 4439 ↦ cmpt 5135 ‘cfv 6380 (class class class)co 7213 Fincfn 8626 ℂcc 10727 ℝcr 10728 0cc0 10729 1c1 10730 + caddc 10732 · cmul 10734 / cdiv 11489 ℕcn 11830 2c2 11885 ℕ₀cn0 12090 ℤcz 12176 ℝ⁺crp 12586 ...cfz 13095 ⌊cfl 13365 mod cmo 13442 ♯chash 13896 Σcsu 15249 sincsin 15625 cosccos 15626 πcpi 15628

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-rep 5179 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523 ax-inf2 9256 ax-cnex 10785 ax-resscn 10786 ax-1cn 10787 ax-icn 10788 ax-addcl 10789 ax-addrcl 10790 ax-mulcl 10791 ax-mulrcl 10792 ax-mulcom 10793 ax-addass 10794 ax-mulass 10795 ax-distr 10796 ax-i2m1 10797 ax-1ne0 10798 ax-1rid 10799 ax-rnegex 10800 ax-rrecex 10801 ax-cnre 10802 ax-pre-lttri 10803 ax-pre-lttrn 10804 ax-pre-ltadd 10805 ax-pre-mulgt0 10806 ax-pre-sup 10807 ax-addf 10808 ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rmo 3069 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-pss 3885 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-tp 4546 df-op 4548 df-uni 4820 df-int 4860 df-iun 4906 df-iin 4907 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-tr 5162 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5509 df-se 5510 df-we 5511 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-pred 6160 df-ord 6216 df-on 6217 df-lim 6218 df-suc 6219 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-isom 6389 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-mpo 7218 df-of 7469 df-om 7645 df-1st 7761 df-2nd 7762 df-supp 7904 df-wrecs 8047 df-recs 8108 df-rdg 8146 df-1o 8202 df-2o 8203 df-er 8391 df-map 8510 df-pm 8511 df-ixp 8579 df-en 8627 df-dom 8628 df-sdom 8629 df-fin 8630 df-fsupp 8986 df-fi 9027 df-sup 9058 df-inf 9059 df-oi 9126 df-card 9555 df-pnf 10869 df-mnf 10870 df-xr 10871 df-ltxr 10872 df-le 10873 df-sub 11064 df-neg 11065 df-div 11490 df-nn 11831 df-2 11893 df-3 11894 df-4 11895 df-5 11896 df-6 11897 df-7 11898 df-8 11899 df-9 11900 df-n0 12091 df-z 12177 df-dec 12294 df-uz 12439 df-q 12545 df-rp 12587 df-xneg 12704 df-xadd 12705 df-xmul 12706 df-ioo 12939 df-ioc 12940 df-ico 12941 df-icc 12942 df-fz 13096 df-fzo 13239 df-fl 13367 df-mod 13443 df-seq 13575 df-exp 13636 df-fac 13840 df-bc 13869 df-hash 13897 df-shft 14630 df-cj 14662 df-re 14663 df-im 14664 df-sqrt 14798 df-abs 14799 df-limsup 15032 df-clim 15049 df-rlim 15050 df-sum 15250 df-ef 15629 df-sin 15631 df-cos 15632 df-pi 15634 df-struct 16700 df-sets 16717 df-slot 16735 df-ndx 16745 df-base 16761 df-ress 16785 df-plusg 16815 df-mulr 16816 df-starv 16817 df-sca 16818 df-vsca 16819 df-ip 16820 df-tset 16821 df-ple 16822 df-ds 16824 df-unif 16825 df-hom 16826 df-cco 16827 df-rest 16927 df-topn 16928 df-0g 16946 df-gsum 16947 df-topgen 16948 df-pt 16949 df-prds 16952 df-xrs 17007 df-qtop 17012 df-imas 17013 df-xps 17015 df-mre 17089 df-mrc 17090 df-acs 17092 df-mgm 18114 df-sgrp 18163 df-mnd 18174 df-submnd 18219 df-mulg 18489 df-cntz 18711 df-cmn 19172 df-psmet 20355 df-xmet 20356 df-met 20357 df-bl 20358 df-mopn 20359 df-fbas 20360 df-fg 20361 df-cnfld 20364 df-top 21791 df-topon 21808 df-topsp 21830 df-bases 21843 df-cld 21916 df-ntr 21917 df-cls 21918 df-nei 21995 df-lp 22033 df-perf 22034 df-cn 22124 df-cnp 22125 df-haus 22212 df-tx 22459 df-hmeo 22652 df-fil 22743 df-fm 22835 df-flim 22836 df-flf 22837 df-xms 23218 df-ms 23219 df-tms 23220 df-cncf 23775 df-limc 24763 df-dv 24764

This theorem is referenced by: dirkeritg 43318 fourierdlem83 43405

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