Theorem disjqmap2 39208

Description: Disjointness of QMap equals ∃*-generation. Pairs with disjqmap 39209 and raldmqseu 38747 to move between ∃* and ∃! depending on context. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
disjqmap2	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑅,𝑢   𝑡,𝑉,𝑢

Proof of Theorem disjqmap2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relqmap 38834	. . . 4 ⊢ Rel QMap 𝑅
2		dfdisjALTV 39180	. . . 4 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ ( FunALTV ◡ QMap 𝑅 ∧ Rel QMap 𝑅))
3	1, 2	mpbiran2 717	. . 3 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ FunALTV ◡ QMap 𝑅)
4		funALTVfun 39165	. . 3 ⊢ ( FunALTV ◡ QMap 𝑅 ↔ Fun ◡ QMap 𝑅)
5	3, 4	bitri 277	. 2 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ Fun ◡ QMap 𝑅)
6		nfv 1922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑅 ∈ 𝑉
7		nfcv 2903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡dom 𝑅
8		nfcv 2903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡 QMap 𝑅
9		df-qmap 38828	. . 3 ⊢ QMap 𝑅 = (𝑡 ∈ dom 𝑅 ↦ [𝑡]𝑅)
10		resexg 5986	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V)
11		elecex 8688	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
13	12	imp 408	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ∈ dom 𝑅) → [𝑡]𝑅 ∈ V)
14	6, 7, 8, 9, 13	funcnvmpt 6941	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Fun ◡ QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))
15	5, 14	bitrid 285	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208  ∀wal 1546   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃*wrmo 3345  Vcvv 3433  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   ↾ cres 5623  Rel wrel 5626  Fun wfun 6483  [cec 8635   QMap cqmap 38557   FunALTV wfunALTV 38598   Disj wdisjALTV 38601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-fv 6497  df-ec 8639  df-qmap 38828  df-coss 38883  df-cnvrefrel 38989  df-funALTV 39149  df-disjALTV 39172

This theorem is referenced by:  disjqmap  39209  eldisjsim5  39321