Theorem disjqmap2 39949

Description: Disjointness of QMap equals ∃*-generation. Pairs with disjqmap 39950 and raldmqseu 39488 to move between ∃* and ∃! depending on context. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
disjqmap2	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑅,𝑢   𝑡,𝑉,𝑢

Proof of Theorem disjqmap2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relqmap 39575	. . . 4 ⊢ Rel QMap 𝑅
2		dfdisjALTV 39921	. . . 4 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ ( FunALTV ◡ QMap 𝑅 ∧ Rel QMap 𝑅))
3	1, 2	mpbiran2 723	. . 3 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ FunALTV ◡ QMap 𝑅)
4		funALTVfun 39906	. . 3 ⊢ ( FunALTV ◡ QMap 𝑅 ↔ Fun ◡ QMap 𝑅)
5	3, 4	bitri 278	. 2 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ Fun ◡ QMap 𝑅)
6		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑅 ∈ 𝑉
7		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡dom 𝑅
8		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡 QMap 𝑅
9		df-qmap 39569	. . 3 ⊢ QMap 𝑅 = (𝑡 ∈ dom 𝑅 ↦ [𝑡]𝑅)
10		resexg 6027	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V)
11		elecex 8793	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
13	12	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ∈ dom 𝑅) → [𝑡]𝑅 ∈ V)
14	6, 7, 8, 9, 13	funcnvmpt 7015	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Fun ◡ QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))
15	5, 14	bitrid 286	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃*wrmo 3368  Vcvv 3454  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Rel wrel 5660  Fun wfun 6549  [cec 8740   QMap cqmap 39298   FunALTV wfunALTV 39339   Disj wdisjALTV 39342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-fv 6563  df-ec 8744  df-qmap 39569  df-coss 39624  df-cnvrefrel 39730  df-funALTV 39890  df-disjALTV 39913

This theorem is used by:  disjqmap  39950  eldisjsim5  40062