Theorem disjqmap2 39106

Description: Disjointness of QMap equals ∃*-generation. Pairs with disjqmap 39107 and raldmqseu 38645 to move between ∃* and ∃! depending on context. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
disjqmap2	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑅,𝑢   𝑡,𝑉,𝑢

Proof of Theorem disjqmap2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relqmap 38732	. . . 4 ⊢ Rel QMap 𝑅
2		dfdisjALTV 39078	. . . 4 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ ( FunALTV ◡ QMap 𝑅 ∧ Rel QMap 𝑅))
3	1, 2	mpbiran2 711	. . 3 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ FunALTV ◡ QMap 𝑅)
4		funALTVfun 39063	. . 3 ⊢ ( FunALTV ◡ QMap 𝑅 ↔ Fun ◡ QMap 𝑅)
5	3, 4	bitri 275	. 2 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ Fun ◡ QMap 𝑅)
6		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑅 ∈ 𝑉
7		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡dom 𝑅
8		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡 QMap 𝑅
9		df-qmap 38726	. . 3 ⊢ QMap 𝑅 = (𝑡 ∈ dom 𝑅 ↦ [𝑡]𝑅)
10		resexg 5996	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V)
11		elecex 8698	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ∈ dom 𝑅) → [𝑡]𝑅 ∈ V)
14	6, 7, 8, 9, 13	funcnvmpt 6953	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Fun ◡ QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))
15	5, 14	bitrid 283	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wrmo 3351  Vcvv 3442  ^◡ccnv 5633  dom cdm 5634   ↾ cres 5636  Rel wrel 5639  Fun wfun 6496  [cec 8645   QMap cqmap 38455   FunALTV wfunALTV 38496   Disj wdisjALTV 38499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-fv 6510  df-ec 8649  df-qmap 38726  df-coss 38781  df-cnvrefrel 38887  df-funALTV 39047  df-disjALTV 39070

This theorem is referenced by:  disjqmap  39107  eldisjsim5  39219