Theorem disjqmap2 38996

Description: Disjointness of QMap equals ∃*-generation. Pairs with disjqmap 38997 and raldmqseu 38535 to move between ∃* and ∃! depending on context. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
disjqmap2	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑅,𝑢   𝑡,𝑉,𝑢

Proof of Theorem disjqmap2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relqmap 38622	. . . 4 ⊢ Rel QMap 𝑅
2		dfdisjALTV 38968	. . . 4 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ ( FunALTV ◡ QMap 𝑅 ∧ Rel QMap 𝑅))
3	1, 2	mpbiran2 711	. . 3 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ FunALTV ◡ QMap 𝑅)
4		funALTVfun 38953	. . 3 ⊢ ( FunALTV ◡ QMap 𝑅 ↔ Fun ◡ QMap 𝑅)
5	3, 4	bitri 275	. 2 ⊢ ( Disj QMap 𝑅 ↔ Fun ◡ QMap 𝑅)
6		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑅 ∈ 𝑉
7		nfcv 2897	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡dom 𝑅
8		nfcv 2897	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡 QMap 𝑅
9		df-qmap 38616	. . 3 ⊢ QMap 𝑅 = (𝑡 ∈ dom 𝑅 ↦ [𝑡]𝑅)
10		resexg 5985	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V)
11		elecex 8686	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ∈ dom 𝑅) → [𝑡]𝑅 ∈ V)
14	6, 7, 8, 9, 13	funcnvmpt 6942	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Fun ◡ QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))
15	5, 14	bitrid 283	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wrmo 3348  Vcvv 3439  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  Rel wrel 5628  Fun wfun 6485  [cec 8633   QMap cqmap 38345   FunALTV wfunALTV 38386   Disj wdisjALTV 38389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-fv 6499  df-ec 8637  df-qmap 38616  df-coss 38671  df-cnvrefrel 38777  df-funALTV 38937  df-disjALTV 38960

This theorem is referenced by:  disjqmap  38997  eldisjsim5  39109