Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjqmap2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjqmap2 39165
Description: Disjointness of QMap equals ∃*-generation. Pairs with disjqmap 39166 and raldmqseu 38704 to move between ∃* and ∃! depending on context. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)
Assertion
Ref Expression
disjqmap2 (𝑅𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑅,𝑢   𝑡,𝑉,𝑢

Proof of Theorem disjqmap2
StepHypRef Expression
1 relqmap 38791 . . . 4 Rel QMap 𝑅
2 dfdisjALTV 39137 . . . 4 ( Disj QMap 𝑅 ↔ ( FunALTV QMap 𝑅 ∧ Rel QMap 𝑅))
31, 2mpbiran2 711 . . 3 ( Disj QMap 𝑅 ↔ FunALTV QMap 𝑅)
4 funALTVfun 39122 . . 3 ( FunALTV QMap 𝑅 ↔ Fun QMap 𝑅)
53, 4bitri 275 . 2 ( Disj QMap 𝑅 ↔ Fun QMap 𝑅)
6 nfv 1916 . . 3 𝑡 𝑅𝑉
7 nfcv 2899 . . 3 𝑡dom 𝑅
8 nfcv 2899 . . 3 𝑡 QMap 𝑅
9 df-qmap 38785 . . 3 QMap 𝑅 = (𝑡 ∈ dom 𝑅 ↦ [𝑡]𝑅)
10 resexg 5988 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V)
11 elecex 8689 . . . . 5 ((𝑅 ↾ dom 𝑅) ∈ V → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝑡 ∈ dom 𝑅 → [𝑡]𝑅 ∈ V))
1312imp 406 . . 3 ((𝑅𝑉𝑡 ∈ dom 𝑅) → [𝑡]𝑅 ∈ V)
146, 7, 8, 9, 13funcnvmpt 6945 . 2 (𝑅𝑉 → (Fun QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))
155, 14bitrid 283 1 (𝑅𝑉 → ( Disj QMap 𝑅 ↔ ∀𝑢∃*𝑡 ∈ dom 𝑅 𝑢 = [𝑡]𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2114  ∃*wrmo 3342  Vcvv 3430  ccnv 5625  dom cdm 5626  cres 5628  Rel wrel 5631  Fun wfun 6488  [cec 8636   QMap cqmap 38514   FunALTV wfunALTV 38555   Disj wdisjALTV 38558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-fv 6502  df-ec 8640  df-qmap 38785  df-coss 38840  df-cnvrefrel 38946  df-funALTV 39106  df-disjALTV 39129
This theorem is referenced by:  disjqmap  39166  eldisjsim5  39278
  Copyright terms: Public domain W3C validator