Theorem rspc 3597

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 3061	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 3578	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 54	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	biimtrid 241	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  ∀wal 1539   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-tru 1544  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-v 3475

This theorem is referenced by:  rspc2  3616  rspc2vd  3940  disjxiun  5138  pofun  5599  fmptcof  7112  fliftfuns  7295  ofmpteq  7675  tfisg  7826  qliftfuns  8781  xpf1o  9122  iunfi  9323  iundom2g  10517  lble  12148  rlimcld2  15504  sumeq2ii  15621  summolem3  15642  zsum  15646  fsum  15648  fsumf1o  15651  sumss2  15654  fsumcvg2  15655  fsumadd  15668  isummulc2  15690  fsum2dlem  15698  fsumcom2  15702  fsumshftm  15709  fsum0diag2  15711  fsummulc2  15712  fsum00  15726  fsumabs  15729  fsumrelem  15735  fsumrlim  15739  fsumo1  15740  o1fsum  15741  fsumiun  15749  isumshft  15767  prodeq2ii  15839  prodmolem3  15859  zprod  15863  fprod  15867  fprodf1o  15872  prodss  15873  fprodser  15875  fprodmul  15886  fproddiv  15887  fprodm1s  15896  fprodp1s  15897  fprodabs  15900  fprod2dlem  15906  fprodcom2  15910  fprodefsum  16020  sumeven  16312  sumodd  16313  pcmpt  16807  invfuc  17909  dprd2d2  19873  txcnp  23053  ptcnplem  23054  prdsdsf  23802  prdsxmet  23804  fsumcn  24315  ovolfiniun  24947  ovoliunnul  24953  volfiniun  24993  iunmbl  24999  limciun  25340  dvfsumle  25467  dvfsumabs  25469  dvfsumlem1  25472  dvfsumlem3  25474  dvfsumlem4  25475  dvfsumrlim  25477  dvfsumrlim2  25478  dvfsum2  25480  itgsubst  25495  fsumvma  26643  dchrisumlema  26918  dchrisumlem2  26920  dchrisumlem3  26921  nosupbnd1  27144  noinfbnd1  27159  chirred  31511  fsumiunle  31906  sigapildsyslem  32990  voliune  33058  volfiniune  33059  ptrest  36291  poimirlem25  36317  poimirlem26  36318  mzpsubst  41257  rabdiophlem2  41311  cvgcaule  43975  etransclem48  44771  sge0iunmpt  44907  2reu8i  45593