Theorem dmdsl3 32926

Description: Sublattice mapping for a dual-modular pair. Part of Theorem 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 26-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdsl3	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem dmdsl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdi 32913	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
2	1	exp32 426	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))))
3	2	3com12 1141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))))
4	3	imp32 424	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
5	4	3adantr3 1190	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
6		chjcom 32117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
7	6	ineq2d 4116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
8	7	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
9		dfss2 4093	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐶)
10	9	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐶)
11	8, 10	sylan9req 2816	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐶)
12	11	3ad2antr3 1209	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐶)
13	5, 12	eqtrd 2795	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424   C_ℋ cch 31540   ∨_ℋ chj 31544   𝑀_ℋ^* cdmd 31578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-hilex 31610

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-sh 31818  df-ch 31832  df-chj 31921  df-dmd 32892

This theorem is used by:  mdslle1i  32928  mdslj1i  32930  mdslj2i  32931  mdslmd1lem1  32936