Theorem dmdsl3 31823

Description: Sublattice mapping for a dual-modular pair. Part of Theorem 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 26-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdsl3	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem dmdsl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdi 31810	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
2	1	exp32 421	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))))
3	2	3com12 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))))
4	3	imp32 419	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
5	4	3adantr3 1171	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
6		chjcom 31014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
7	6	ineq2d 4212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
8	7	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
9		df-ss 3965	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐶)
10	9	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐶)
11	8, 10	sylan9req 2793	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐶)
12	11	3ad2antr3 1190	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐶)
13	5, 12	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411   C_ℋ cch 30437   ∨_ℋ chj 30441   𝑀_ℋ^* cdmd 30475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-hilex 30507

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-sh 30715  df-ch 30729  df-chj 30818  df-dmd 31789

This theorem is referenced by:  mdslle1i  31825  mdslj1i  31827  mdslj2i  31828  mdslmd1lem1  31833