Theorem dmdsl3 30250

Description: Sublattice mapping for a dual-modular pair. Part of Theorem 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 26-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdsl3	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem dmdsl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdi 30237	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
2	1	exp32 424	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))))
3	2	3com12 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))))
4	3	imp32 422	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
5	4	3adantr3 1172	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
6		chjcom 29441	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
7	6	ineq2d 4104	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
8	7	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)))
9		df-ss 3861	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐶)
10	9	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐶)
11	8, 10	sylan9req 2794	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐶)
12	11	3ad2antr3 1191	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐶)
13	5, 12	eqtrd 2773	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3843   ⊆ wss 3844   class class class wbr 5031  (class class class)co 7171   C_ℋ cch 28864   ∨_ℋ chj 28868   𝑀_ℋ^* cdmd 28902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pr 5297  ax-hilex 28934

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fv 6348  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-sh 29142  df-ch 29156  df-chj 29245  df-dmd 30216

This theorem is referenced by:  mdslle1i  30252  mdslj1i  30254  mdslj2i  30255  mdslmd1lem1  30260