HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem1 31309
Description: Lemma for mdslmd1i 31313. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
mdslmd1lem.5 𝑅C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))

Proof of Theorem mdslmd1lem1
StepHypRef Expression
1 mdslmd1lem.5 . . . . . 6 𝑅C
2 mdslmd.4 . . . . . . 7 𝐷C
3 mdslmd.2 . . . . . . 7 𝐵C
42, 3chincli 30444 . . . . . 6 (𝐷𝐵) ∈ C
5 mdslmd.1 . . . . . 6 𝐴C
61, 4, 5chlej1i 30457 . . . . 5 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴))
7 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
9 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))
105, 3, 23pm3.2i 1340 . . . . . . . . 9 (𝐴C𝐵C𝐷C )
11 dmdsl3 31299 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C𝐷C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
1210, 11mpan 689 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
137, 8, 9, 12syl3an 1161 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
14133expb 1121 . . . . . 6 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
1514sseq2d 3981 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) ↔ (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
166, 15imbitrid 243 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
1716adantld 492 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
1817imim1d 82 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))))
19 simpll 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴))
20 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐶)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴𝐶)
225, 1chub2i 30454 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴)
2321, 22jctil 521 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴𝐶))
24 ssin 4195 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶))
26 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷𝐵) ⊆ 𝐷
27 sstr 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝑅𝐷)
2826, 27mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → 𝑅𝐷)
29 sstr 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3028, 29sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3130ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3231adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3332adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3433ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
355, 3chub1i 30453 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
3634, 35jctir 522 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)))
375, 3chjcli 30441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 𝐵) ∈ C
381, 5, 37chlubi 30455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵))
3936, 38sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵))
40 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
4239, 41jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))
431, 5chjcli 30441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 𝐴) ∈ C
44 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐶C
4543, 44, 37chlubi 30455 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
4642, 45sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
475, 3, 43, 44mdslj1i 31303 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
4819, 25, 46, 47syl12anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
49 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 𝑀 𝐵)
50 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐶𝐴𝐷))
51 ssin 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
5352ssrind 4200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵))
54 inindir 4192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
5553, 54sseqtrdi 3999 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
56 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅)
5755, 56sstrd 3959 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅)
58 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵
59 sstr 3957 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝑅𝐵)
6058, 59mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → 𝑅𝐵)
6160ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝑅𝐵)
625, 3, 13pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴C𝐵C𝑅C )
63 mdsl3 31300 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴C𝐵C𝑅C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅𝑅𝐵)) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6462, 63mpan 689 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅𝑅𝐵) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6549, 57, 61, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6665oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) = (𝑅 (𝐶𝐵)))
6748, 66eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 (𝐶𝐵)) = (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵))
6867ineq1d 4176 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
69 inindir 4192 . . . . . . 7 ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
7068, 69eqtr4di 2795 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
7152, 22jctil 521 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷)))
72 ssin 4195 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷)) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)))
74 ssinss1 4202 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7675ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7739, 76jca 513 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7844, 2chincli 30444 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐷) ∈ C
7943, 78, 37chlubi 30455 . . . . . . . . 9 (((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
8077, 79sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
815, 3, 43, 78mdslj1i 31303 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
8219, 73, 80, 81syl12anc 836 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
8354a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
8465, 83oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)) = (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
8582, 84eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵))
8670, 85sseq12d 3982 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
87 simpllr 775 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
88 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐷)
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴𝐷)
9043, 44chub1i 30453 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶)
9122, 90sstri 3958 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶)
9289, 91jctil 521 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∧ 𝐴𝐷))
93 ssin 4195 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∧ 𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
9492, 93sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
9543, 78chub1i 30453 . . . . . . . . 9 (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))
9622, 95sstri 3958 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))
9794, 96jctir 522 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
98 ssin 4195 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ↔ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
9997, 98sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
100 inss2 4194 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
101 sstr 3957 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
102100, 101mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
103102ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
104103ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
105104, 80jca 513 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
10643, 44chjcli 30441 . . . . . . . . 9 ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∈ C
107106, 2chincli 30444 . . . . . . . 8 (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ C
10843, 78chjcli 30441 . . . . . . . 8 ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∈ C
109107, 108, 37chlubi 30455 . . . . . . 7 (((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
110105, 109sylib 217 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
1115, 3, 107, 108mdslle1i 31301 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ∧ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
11287, 99, 110, 111syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
11386, 112bitr4d 282 . . . 4 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
114113exbiri 810 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
115114a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
11618, 115syld 47 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3914  wss 3915   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362   C cch 29913   chj 29917   𝑀 cmd 29950   𝑀* cdmd 29951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-chj 30294  df-md 31264  df-dmd 31265
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem3  31311
  Copyright terms: Public domain W3C validator