HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem1 29661
Description: Lemma for mdslmd1i 29665. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
mdslmd1lem.5 𝑅C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))

Proof of Theorem mdslmd1lem1
StepHypRef Expression
1 mdslmd1lem.5 . . . . . 6 𝑅C
2 mdslmd.4 . . . . . . 7 𝐷C
3 mdslmd.2 . . . . . . 7 𝐵C
42, 3chincli 28796 . . . . . 6 (𝐷𝐵) ∈ C
5 mdslmd.1 . . . . . 6 𝐴C
61, 4, 5chlej1i 28809 . . . . 5 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴))
7 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
8 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
9 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))
105, 3, 23pm3.2i 1438 . . . . . . . . 9 (𝐴C𝐵C𝐷C )
11 dmdsl3 29651 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C𝐷C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
1210, 11mpan 681 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
137, 8, 9, 12syl3an 1199 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
14133expb 1149 . . . . . 6 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
1514sseq2d 3795 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) ↔ (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
166, 15syl5ib 235 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
1716adantld 484 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
1817imim1d 82 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))))
19 simpll 783 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴))
20 simpll 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐶)
2120ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴𝐶)
225, 1chub2i 28806 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴)
2321, 22jctil 515 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴𝐶))
24 ssin 3996 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶))
2523, 24sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶))
26 inss1 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷𝐵) ⊆ 𝐷
27 sstr 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝑅𝐷)
2826, 27mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → 𝑅𝐷)
29 sstr 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3028, 29sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3130ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3231adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3332adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3433ad2ant2l 752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
355, 3chub1i 28805 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
3634, 35jctir 516 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)))
375, 3chjcli 28793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 𝐵) ∈ C
381, 5, 37chlubi 28807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵))
3936, 38sylib 209 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵))
40 simprrl 799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
4239, 41jca 507 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))
431, 5chjcli 28793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 𝐴) ∈ C
44 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐶C
4543, 44, 37chlubi 28807 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
4642, 45sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
475, 3, 43, 44mdslj1i 29655 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
4819, 25, 46, 47syl12anc 865 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
49 simplll 791 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 𝑀 𝐵)
50 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐶𝐴𝐷))
51 ssin 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
5250, 51sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
5352ssrind 4001 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵))
54 inindir 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
5553, 54syl6sseq 3813 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
56 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅)
5755, 56sstrd 3773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅)
58 inss2 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵
59 sstr 3771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝑅𝐵)
6058, 59mpan2 682 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → 𝑅𝐵)
6160ad2antll 720 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝑅𝐵)
625, 3, 13pm3.2i 1438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴C𝐵C𝑅C )
63 mdsl3 29652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴C𝐵C𝑅C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅𝑅𝐵)) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6462, 63mpan 681 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅𝑅𝐵) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6549, 57, 61, 64syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6665oveq1d 6861 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) = (𝑅 (𝐶𝐵)))
6748, 66eqtr2d 2800 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 (𝐶𝐵)) = (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵))
6867ineq1d 3977 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
69 inindir 3993 . . . . . . 7 ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
7068, 69syl6eqr 2817 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
7152, 22jctil 515 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷)))
72 ssin 3996 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷)) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)))
7371, 72sylib 209 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)))
74 ssinss1 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7574ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7675ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7739, 76jca 507 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7844, 2chincli 28796 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐷) ∈ C
7943, 78, 37chlubi 28807 . . . . . . . . 9 (((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
8077, 79sylib 209 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
815, 3, 43, 78mdslj1i 29655 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
8219, 73, 80, 81syl12anc 865 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
8354a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
8465, 83oveq12d 6864 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)) = (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
8582, 84eqtr2d 2800 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵))
8670, 85sseq12d 3796 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
87 simpllr 793 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
88 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐷)
8988ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴𝐷)
9043, 44chub1i 28805 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶)
9122, 90sstri 3772 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶)
9289, 91jctil 515 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∧ 𝐴𝐷))
93 ssin 3996 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∧ 𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
9492, 93sylib 209 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
9543, 78chub1i 28805 . . . . . . . . 9 (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))
9622, 95sstri 3772 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))
9794, 96jctir 516 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
98 ssin 3996 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ↔ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
9997, 98sylib 209 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
100 inss2 3995 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
101 sstr 3771 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
102100, 101mpan 681 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
103102ad2antll 720 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
104103ad2antlr 718 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
105104, 80jca 507 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
10643, 44chjcli 28793 . . . . . . . . 9 ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∈ C
107106, 2chincli 28796 . . . . . . . 8 (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ C
10843, 78chjcli 28793 . . . . . . . 8 ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∈ C
109107, 108, 37chlubi 28807 . . . . . . 7 (((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
110105, 109sylib 209 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
1115, 3, 107, 108mdslle1i 29653 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ∧ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
11287, 99, 110, 111syl3anc 1490 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
11386, 112bitr4d 273 . . . 4 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
114113exbiri 845 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
115114a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
11618, 115syld 47 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cin 3733  wss 3734   class class class wbr 4811  (class class class)co 6846   C cch 28263   chj 28267   𝑀 cmd 28300   𝑀* cdmd 28301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cc 9514  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273  ax-hilex 28333  ax-hfvadd 28334  ax-hvcom 28335  ax-hvass 28336  ax-hv0cl 28337  ax-hvaddid 28338  ax-hfvmul 28339  ax-hvmulid 28340  ax-hvmulass 28341  ax-hvdistr1 28342  ax-hvdistr2 28343  ax-hvmul0 28344  ax-hfi 28413  ax-his1 28416  ax-his2 28417  ax-his3 28418  ax-his4 28419  ax-hcompl 28536
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-acn 9023  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-lm 21327  df-haus 21413  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cfil 23346  df-cau 23347  df-cmet 23348  df-grpo 27825  df-gid 27826  df-ginv 27827  df-gdiv 27828  df-ablo 27877  df-vc 27891  df-nv 27924  df-va 27927  df-ba 27928  df-sm 27929  df-0v 27930  df-vs 27931  df-nmcv 27932  df-ims 27933  df-dip 28033  df-ssp 28054  df-ph 28145  df-cbn 28196  df-hnorm 28302  df-hba 28303  df-hvsub 28305  df-hlim 28306  df-hcau 28307  df-sh 28541  df-ch 28555  df-oc 28586  df-ch0 28587  df-shs 28644  df-chj 28646  df-md 29616  df-dmd 29617
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem3  29663
  Copyright terms: Public domain W3C validator