Theorem mdslmd1lem1 32927

Description: Lemma for mdslmd1i 32931. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mdslmd1lem.5	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdslmd1lem1	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))

Proof of Theorem mdslmd1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd1lem.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
2		mdslmd.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
3		mdslmd.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	chincli 32062	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
5		mdslmd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
6	1, 4, 5	chlej1i 32075	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
7		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴)
8		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
9		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
10	5, 3, 2	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )
11		dmdsl3 32917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
12	10, 11	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
13	7, 8, 9, 12	syl3an 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
14	13	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
15	14	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
16	6, 15	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
17	16	adantld 496	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
18	17	imim1d 83	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
19		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴))
20		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
21	20	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
22	5, 1	chub2i 32072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴)
23	21, 22	jctil 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶))
24		ssin 4184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶))
25	23, 24	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶))
26		inss1 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷
27		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝑅 ⊆ 𝐷)
28	26, 27	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐷)
29		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
30	28, 29	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
31	30	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
32	31	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
33	32	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
34	33	ad2ant2l 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
35	5, 3	chub1i 32071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
36	34, 35	jctir 530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
37	5, 3	chjcli 32059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
38	1, 5, 37	chlubi 32073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
39	36, 38	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
40		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
42	39, 41	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
43	1, 5	chjcli 32059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
44		mdslmd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
45	43, 44, 37	chlubi 32073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
46	42, 45	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
47	5, 3, 43, 44	mdslj1i 32921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
48	19, 25, 46, 47	syl12anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
49		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)
50		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷))
51		ssin 4184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
52	50, 51	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
53	52	ssrind 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
54		inindir 4181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))
55	53, 54	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
56		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅)
57	55, 56	sstrd 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅)
58		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
59		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
60	58, 59	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
61	60	ad2antll 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
62	5, 3, 1	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑅 ∈ Cℋ )
63		mdsl3 32918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑅 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
64	62, 63	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
65	49, 57, 61, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
66	65	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
67	48, 66	eqtr2d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵))
68	67	ineq1d 4165	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
69		inindir 4181	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))
70	68, 69	eqtr4di 2814	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
71	52, 22	jctil 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)))
72		ssin 4184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)))
73	71, 72	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)))
74		ssinss1 4191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
75	74	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
76	75	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
77	39, 76	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
78	44, 2	chincli 32062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
79	43, 78, 37	chlubi 32073	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
80	77, 79	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
81	5, 3, 43, 78	mdslj1i 32921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)))
82	19, 73, 80, 81	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)))
83	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
84	65, 83	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))
85	82, 84	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))
86	70, 85	sseq12d 3964	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
87		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴)
88		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
89	88	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
90	43, 44	chub1i 32071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶)
91	22, 90	sstri 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶)
92	89, 91	jctil 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷))
93		ssin 4184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷))
94	92, 93	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷))
95	43, 78	chub1i 32071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))
96	22, 95	sstri 3940	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))
97	94, 96	jctir 530	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
98		ssin 4184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ↔ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
99	97, 98	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
100		inss2 4183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
101		sstr 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
102	100, 101	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
103	102	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
104	103	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
105	104, 80	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
106	43, 44	chjcli 32059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
107	106, 2	chincli 32062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
108	43, 78	chjcli 32059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∈ Cℋ
109	107, 108, 37	chlubi 32073	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
110	105, 109	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
111	5, 3, 107, 108	mdslle1i 32919	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ∧ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
112	87, 99, 110, 111	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
113	86, 112	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
114	113	exbiri 823	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
115	114	a2d 30	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
116	18, 115	syld 48	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420   C_ℋ cch 31531   ∨_ℋ chj 31535   𝑀_ℋ cmd 31568   𝑀_ℋ^* cdmd 31569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-dip 31303  df-ssp 31324  df-ph 31415  df-cbn 31465  df-hnorm 31570  df-hba 31571  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-chj 31912  df-md 32882  df-dmd 32883

This theorem is used by:  mdslmd1lem3  32929