Theorem mdslmd1lem1 32269

Description: Lemma for mdslmd1i 32273. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mdslmd1lem.5	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdslmd1lem1	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))

Proof of Theorem mdslmd1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd1lem.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
2		mdslmd.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
3		mdslmd.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	chincli 31404	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
5		mdslmd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
6	1, 4, 5	chlej1i 31417	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
10	5, 3, 2	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )
11		dmdsl3 32259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
12	10, 11	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
13	7, 8, 9, 12	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
14	13	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
15	14	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
16	6, 15	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
17	16	adantld 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
18	17	imim1d 82	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
19		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴))
20		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
22	5, 1	chub2i 31414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴)
23	21, 22	jctil 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶))
24		ssin 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶))
25	23, 24	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶))
26		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷
27		sstr 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝑅 ⊆ 𝐷)
28	26, 27	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐷)
29		sstr 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
30	28, 29	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
31	30	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
32	31	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
33	32	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
34	33	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
35	5, 3	chub1i 31413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
36	34, 35	jctir 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
37	5, 3	chjcli 31401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
38	1, 5, 37	chlubi 31415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
39	36, 38	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
40		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
42	39, 41	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
43	1, 5	chjcli 31401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
44		mdslmd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
45	43, 44, 37	chlubi 31415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
46	42, 45	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
47	5, 3, 43, 44	mdslj1i 32263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
48	19, 25, 46, 47	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
49		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)
50		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷))
51		ssin 4190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
52	50, 51	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
53	52	ssrind 4195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
54		inindir 4187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))
55	53, 54	sseqtrdi 3976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
56		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅)
57	55, 56	sstrd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅)
58		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
59		sstr 3944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
60	58, 59	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
61	60	ad2antll 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
62	5, 3, 1	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑅 ∈ Cℋ )
63		mdsl3 32260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑅 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
64	62, 63	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
65	49, 57, 61, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
66	65	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
67	48, 66	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵))
68	67	ineq1d 4170	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
69		inindir 4187	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))
70	68, 69	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
71	52, 22	jctil 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)))
72		ssin 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)))
73	71, 72	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)))
74		ssinss1 4197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
75	74	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
76	75	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
77	39, 76	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
78	44, 2	chincli 31404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
79	43, 78, 37	chlubi 31415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
80	77, 79	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
81	5, 3, 43, 78	mdslj1i 32263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)))
82	19, 73, 80, 81	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)))
83	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
84	65, 83	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))
85	82, 84	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))
86	70, 85	sseq12d 3969	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
87		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴)
88		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
89	88	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
90	43, 44	chub1i 31413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶)
91	22, 90	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶)
92	89, 91	jctil 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷))
93		ssin 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷))
94	92, 93	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷))
95	43, 78	chub1i 31413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))
96	22, 95	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))
97	94, 96	jctir 520	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
98		ssin 4190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ↔ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
99	97, 98	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
100		inss2 4189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
101		sstr 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
102	100, 101	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
103	102	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
104	103	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
105	104, 80	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
106	43, 44	chjcli 31401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
107	106, 2	chincli 31404	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
108	43, 78	chjcli 31401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∈ Cℋ
109	107, 108, 37	chlubi 31415	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
110	105, 109	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
111	5, 3, 107, 108	mdslle1i 32261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ∧ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
112	87, 99, 110, 111	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
113	86, 112	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
114	113	exbiri 810	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
115	114	a2d 29	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
116	18, 115	syld 47	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349   C_ℋ cch 30873   ∨_ℋ chj 30877   𝑀_ℋ cmd 30910   𝑀_ℋ^* cdmd 30911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvmulass 30951  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his2 31027  ax-his3 31028  ax-his4 31029  ax-hcompl 31146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-lm 23114  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cfil 25153  df-cau 25154  df-cmet 25155  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545  df-dip 30645  df-ssp 30666  df-ph 30757  df-cbn 30807  df-hnorm 30912  df-hba 30913  df-hvsub 30915  df-hlim 30916  df-hcau 30917  df-sh 31151  df-ch 31165  df-oc 31196  df-ch0 31197  df-shs 31252  df-chj 31254  df-md 32224  df-dmd 32225

This theorem is referenced by:  mdslmd1lem3  32271