Proof of Theorem mdslmd1lem1
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | mdslmd1lem.5 |
. . . . . 6
⊢ 𝑅 ∈
Cℋ |
| 2 | | mdslmd.4 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐷 ∈
Cℋ |
| 3 | | mdslmd.2 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐵 ∈
Cℋ |
| 4 | 2, 3 | chincli 31479 |
. . . . . 6
⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈
Cℋ |
| 5 | | mdslmd.1 |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 ∈
Cℋ |
| 6 | 1, 4, 5 | chlej1i 31492 |
. . . . 5
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)) |
| 7 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) → 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) |
| 8 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) → 𝐴 ⊆ 𝐷) |
| 9 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 10 | 5, 3, 2 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝐷 ∈
Cℋ ) |
| 11 | | dmdsl3 32334 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝐷 ∈
Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ*
𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷) |
| 12 | 10, 11 | mpan 690 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵
𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷) |
| 13 | 7, 8, 9, 12 | syl3an 1161 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷) |
| 14 | 13 | 3expb 1121 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷) |
| 15 | 14 | sseq2d 4016 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷)) |
| 16 | 6, 15 | imbitrid 244 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷)) |
| 17 | 16 | adantld 490 |
. . 3
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷)) |
| 18 | 17 | imim1d 82 |
. 2
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))) |
| 19 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴)) |
| 20 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶) |
| 21 | 20 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶) |
| 22 | 5, 1 | chub2i 31489 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) |
| 23 | 21, 22 | jctil 519 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) |
| 24 | | ssin 4239 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶)) |
| 25 | 23, 24 | sylib 218 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶)) |
| 26 | | inss1 4237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷 |
| 27 | | sstr 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝑅 ⊆ 𝐷) |
| 28 | 26, 27 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐷) |
| 29 | | sstr 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑅 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 30 | 28, 29 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 31 | 30 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 32 | 31 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 33 | 32 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 34 | 33 | ad2ant2l 746 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 35 | 5, 3 | chub1i 31488 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) |
| 36 | 34, 35 | jctir 520 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
| 37 | 5, 3 | chjcli 31476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈
Cℋ |
| 38 | 1, 5, 37 | chlubi 31490 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 39 | 36, 38 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 40 | | simprrl 781 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 41 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 42 | 39, 41 | jca 511 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
| 43 | 1, 5 | chjcli 31476 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∈
Cℋ |
| 44 | | mdslmd.3 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐶 ∈
Cℋ |
| 45 | 43, 44, 37 | chlubi 31490 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 46 | 42, 45 | sylib 218 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 47 | 5, 3, 43, 44 | mdslj1i 32338 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) |
| 48 | 19, 25, 46, 47 | syl12anc 837 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) |
| 49 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) |
| 50 | | simplrl 777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷)) |
| 51 | | ssin 4239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) |
| 52 | 50, 51 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) |
| 53 | 52 | ssrind 4244 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) |
| 54 | | inindir 4236 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) |
| 55 | 53, 54 | sseqtrdi 4024 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) |
| 56 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅) |
| 57 | 55, 56 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅) |
| 58 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 |
| 59 | | sstr 3992 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵) |
| 60 | 58, 59 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵) |
| 61 | 60 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ 𝐵) |
| 62 | 5, 3, 1 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝑅 ∈
Cℋ ) |
| 63 | | mdsl3 32335 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝑅 ∈
Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅) |
| 64 | 62, 63 | mpan 690 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅) |
| 65 | 49, 57, 61, 64 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅) |
| 66 | 65 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) |
| 67 | 48, 66 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)) |
| 68 | 67 | ineq1d 4219 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) |
| 69 | | inindir 4236 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) |
| 70 | 68, 69 | eqtr4di 2795 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) |
| 71 | 52, 22 | jctil 519 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))) |
| 72 | | ssin 4239 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷))) |
| 73 | 71, 72 | sylib 218 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷))) |
| 74 | | ssinss1 4246 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 75 | 74 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 76 | 75 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 77 | 39, 76 | jca 511 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
| 78 | 44, 2 | chincli 31479 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈
Cℋ |
| 79 | 43, 78, 37 | chlubi 31490 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 80 | 77, 79 | sylib 218 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 81 | 5, 3, 43, 78 | mdslj1i 32338 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))) |
| 82 | 19, 73, 80, 81 | syl12anc 837 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))) |
| 83 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) |
| 84 | 65, 83 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) |
| 85 | 82, 84 | eqtr2d 2778 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)) |
| 86 | 70, 85 | sseq12d 4017 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))) |
| 87 | | simpllr 776 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) |
| 88 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷) |
| 89 | 88 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷) |
| 90 | 43, 44 | chub1i 31488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) |
| 91 | 22, 90 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) |
| 92 | 89, 91 | jctil 519 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷)) |
| 93 | | ssin 4239 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷)) |
| 94 | 92, 93 | sylib 218 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷)) |
| 95 | 43, 78 | chub1i 31488 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) |
| 96 | 22, 95 | sstri 3993 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) |
| 97 | 94, 96 | jctir 520 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))) |
| 98 | | ssin 4239 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ↔ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))) |
| 99 | 97, 98 | sylib 218 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))) |
| 100 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 |
| 101 | | sstr 3992 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑅
∨ℋ 𝐴)
∨ℋ 𝐶)
∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 102 | 100, 101 | mpan 690 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 103 | 102 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 104 | 103 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 105 | 104, 80 | jca 511 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
| 106 | 43, 44 | chjcli 31476 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∈
Cℋ |
| 107 | 106, 2 | chincli 31479 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∈
Cℋ |
| 108 | 43, 78 | chjcli 31476 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∈
Cℋ |
| 109 | 107, 108,
37 | chlubi 31490 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝑅
∨ℋ 𝐴)
∨ℋ 𝐶)
∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 110 | 105, 109 | sylib 218 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
| 111 | 5, 3, 107, 108 | mdslle1i 32336 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵
𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ∧ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))) |
| 112 | 87, 99, 110, 111 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))) |
| 113 | 86, 112 | bitr4d 282 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))) |
| 114 | 113 | exbiri 811 |
. . 3
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))) |
| 115 | 114 | a2d 29 |
. 2
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))) |
| 116 | 18, 115 | syld 47 |
1
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))) |