HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslj2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslj2i 30014
Description: Meet preservation of the reverse mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslle1.1 𝐴C
mdslle1.2 𝐵C
mdslle1.3 𝐶C
mdslle1.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdslj2i (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))

Proof of Theorem mdslj2i
StepHypRef Expression
1 mdslle1.3 . . . 4 𝐶C
2 mdslle1.4 . . . 4 𝐷C
3 mdslle1.1 . . . 4 𝐴C
41, 2, 3lejdiri 29233 . . 3 ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴))
54a1i 11 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
6 ssin 4211 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷))
76bicomi 225 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷))
8 mdslle1.2 . . . . . 6 𝐵C
91, 2, 8chlubi 29165 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) ↔ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)
109bicomi 225 . . . 4 ((𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶𝐵𝐷𝐵))
117, 10anbi12i 626 . . 3 (((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)))
12 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
133, 1chub2i 29164 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴)
143, 2chub2i 29164 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐷 𝐴)
1513, 14ssini 4212 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴))
1615a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝐴 ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
171, 8, 3chlej1i 29167 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝐶 𝐴) ⊆ (𝐵 𝐴))
188, 3chjcomi 29162 . . . . . . . . 9 (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐵)
1917, 18sseqtrdi 4021 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵 → (𝐶 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵))
20 ssinss1 4218 . . . . . . . 8 ((𝐶 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝐶𝐵 → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵))
231, 3chjcli 29151 . . . . . . . . 9 (𝐶 𝐴) ∈ C
242, 3chjcli 29151 . . . . . . . . 9 (𝐷 𝐴) ∈ C
2523, 24chincli 29154 . . . . . . . 8 ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∈ C
263, 8, 253pm3.2i 1333 . . . . . . 7 (𝐴C𝐵C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∈ C )
27 dmdsl3 30009 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∈ C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
2826, 27mpan 686 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
2912, 16, 22, 28syl3an 1154 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
30 inss1 4209 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐶 𝐴)
31 ssrin 4214 . . . . . . . . 9 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐶 𝐴) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)
33 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐴 𝑀 𝐵)
34 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐶)
35 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐶𝐵)
363, 8, 13pm3.2i 1333 . . . . . . . . . 10 (𝐴C𝐵C𝐶C )
37 mdsl3 30010 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
3836, 37mpan 686 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐶𝐶𝐵) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
3933, 34, 35, 38syl3an 1154 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
4032, 39sseqtrid 4023 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶)
41 inss2 4210 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐷 𝐴)
42 ssrin 4214 . . . . . . . . 9 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐷 𝐴) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵)
44 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷)
45 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐷𝐵)
463, 8, 23pm3.2i 1333 . . . . . . . . . 10 (𝐴C𝐵C𝐷C )
47 mdsl3 30010 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C𝐷C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
4846, 47mpan 686 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷𝐷𝐵) → ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
4933, 44, 45, 48syl3an 1154 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
5043, 49sseqtrid 4023 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷)
5140, 50ssind 4213 . . . . . 6 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶𝐷))
5225, 8chincli 29154 . . . . . . 7 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∈ C
531, 2chincli 29154 . . . . . . 7 (𝐶𝐷) ∈ C
5452, 53, 3chlej1i 29167 . . . . . 6 ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
5551, 54syl 17 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
5629, 55eqsstrrd 4010 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
57563expb 1114 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵))) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
5811, 57sylan2b 593 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
595, 58eqssd 3988 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148   C cch 28623   chj 28627   𝑀 cmd 28660   𝑀* cdmd 28661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28693  ax-hfvadd 28694  ax-hvcom 28695  ax-hvass 28696  ax-hv0cl 28697  ax-hvaddid 28698  ax-hfvmul 28699  ax-hvmulid 28700  ax-hvmulass 28701  ax-hvdistr1 28702  ax-hvdistr2 28703  ax-hvmul0 28704  ax-hfi 28773  ax-his1 28776  ax-his2 28777  ax-his3 28778  ax-his4 28779  ax-hcompl 28896
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-lm 21756  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-fil 22373  df-fm 22465  df-flim 22466  df-flf 22467  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-cfil 23776  df-cau 23777  df-cmet 23778  df-grpo 28187  df-gid 28188  df-ginv 28189  df-gdiv 28190  df-ablo 28239  df-vc 28253  df-nv 28286  df-va 28289  df-ba 28290  df-sm 28291  df-0v 28292  df-vs 28293  df-nmcv 28294  df-ims 28295  df-dip 28395  df-ssp 28416  df-ph 28507  df-cbn 28557  df-hnorm 28662  df-hba 28663  df-hvsub 28665  df-hlim 28666  df-hcau 28667  df-sh 28901  df-ch 28915  df-oc 28946  df-ch0 28947  df-shs 29002  df-chj 29004  df-md 29974  df-dmd 29975
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator