Theorem mdslj2i 32008

Description: Meet preservation of the reverse mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslle1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslle1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslle1.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslle1.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdslj2i	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)))

Proof of Theorem mdslj2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslle1.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
2		mdslle1.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
3		mdslle1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4	1, 2, 3	lejdiri 31227	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)))
6		ssin 4230	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
7	6	bicomi 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷))
8		mdslle1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
9	1, 2, 8	chlubi 31159	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ 𝐵)
10	9	bicomi 223	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵))
11	7, 10	anbi12i 626	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴)
13	3, 1	chub2i 31158	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)
14	3, 2	chub2i 31158	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)
15	13, 14	ssini 4231	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝐴 ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)))
17	1, 8, 3	chlej1i 31161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
18	8, 3	chjcomi 31156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
19	17, 18	sseqtrdi 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
20		ssinss1 4237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
23	1, 3	chjcli 31145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
24	2, 3	chjcli 31145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
25	23, 24	chincli 31148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∈ Cℋ
26	3, 8, 25	3pm3.2i 1338	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∈ Cℋ )
27		dmdsl3 32003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)))
28	26, 27	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)))
29	12, 16, 22, 28	syl3an 1159	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → ((((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)))
30		inss1 4228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)
31		ssrin 4233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) → (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)
33		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)
34		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶)
35		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
36	3, 8, 1	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )
37		mdsl3 32004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
38	36, 37	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
39	33, 34, 35, 38	syl3an 1159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
40	32, 39	sseqtrid 4034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶)
41		inss2 4229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)
42		ssrin 4233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ (𝐷 ∨ℋ 𝐴) → (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐷 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐷 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)
44		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷)
45		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
46	3, 8, 2	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )
47		mdsl3 32004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → ((𝐷 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
48	46, 47	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → ((𝐷 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
49	33, 44, 45, 48	syl3an 1159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → ((𝐷 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
50	43, 49	sseqtrid 4034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷)
51	40, 50	ssind 4232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
52	25, 8	chincli 31148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
53	1, 2	chincli 31148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
54	52, 53, 3	chlej1i 31161	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) → ((((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴))
55	51, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → ((((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴))
56	29, 55	eqsstrrd 4021	. . . 4 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴))
57	56	3expb 1119	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴))
58	11, 57	sylan2b 593	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴))
59	5, 58	eqssd 3999	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 ∩ 𝐷) ∨ℋ 𝐴) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐷 ∨ℋ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412   C_ℋ cch 30617   ∨_ℋ chj 30621   𝑀_ℋ cmd 30654   𝑀_ℋ^* cdmd 30655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196  ax-hilex 30687  ax-hfvadd 30688  ax-hvcom 30689  ax-hvass 30690  ax-hv0cl 30691  ax-hvaddid 30692  ax-hfvmul 30693  ax-hvmulid 30694  ax-hvmulass 30695  ax-hvdistr1 30696  ax-hvdistr2 30697  ax-hvmul0 30698  ax-hfi 30767  ax-his1 30770  ax-his2 30771  ax-his3 30772  ax-his4 30773  ax-hcompl 30890

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-lm 23054  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cfil 25104  df-cau 25105  df-cmet 25106  df-grpo 30181  df-gid 30182  df-ginv 30183  df-gdiv 30184  df-ablo 30233  df-vc 30247  df-nv 30280  df-va 30283  df-ba 30284  df-sm 30285  df-0v 30286  df-vs 30287  df-nmcv 30288  df-ims 30289  df-dip 30389  df-ssp 30410  df-ph 30501  df-cbn 30551  df-hnorm 30656  df-hba 30657  df-hvsub 30659  df-hlim 30660  df-hcau 30661  df-sh 30895  df-ch 30909  df-oc 30940  df-ch0 30941  df-shs 30996  df-chj 30998  df-md 31968  df-dmd 31969

This theorem is referenced by: (None)