Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslj2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslj2i 30215
 Description: Meet preservation of the reverse mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslle1.1 𝐴C
mdslle1.2 𝐵C
mdslle1.3 𝐶C
mdslle1.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdslj2i (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))

Proof of Theorem mdslj2i
StepHypRef Expression
1 mdslle1.3 . . . 4 𝐶C
2 mdslle1.4 . . . 4 𝐷C
3 mdslle1.1 . . . 4 𝐴C
41, 2, 3lejdiri 29434 . . 3 ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴))
54a1i 11 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
6 ssin 4137 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷))
76bicomi 227 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷))
8 mdslle1.2 . . . . . 6 𝐵C
91, 2, 8chlubi 29366 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) ↔ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)
109bicomi 227 . . . 4 ((𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶𝐵𝐷𝐵))
117, 10anbi12i 629 . . 3 (((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)))
12 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
133, 1chub2i 29365 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴)
143, 2chub2i 29365 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐷 𝐴)
1513, 14ssini 4138 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴))
1615a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝐴 ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
171, 8, 3chlej1i 29368 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝐶 𝐴) ⊆ (𝐵 𝐴))
188, 3chjcomi 29363 . . . . . . . . 9 (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐵)
1917, 18sseqtrdi 3944 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵 → (𝐶 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵))
20 ssinss1 4144 . . . . . . . 8 ((𝐶 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝐶𝐵 → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2221adantr 484 . . . . . 6 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵))
231, 3chjcli 29352 . . . . . . . . 9 (𝐶 𝐴) ∈ C
242, 3chjcli 29352 . . . . . . . . 9 (𝐷 𝐴) ∈ C
2523, 24chincli 29355 . . . . . . . 8 ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∈ C
263, 8, 253pm3.2i 1336 . . . . . . 7 (𝐴C𝐵C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∈ C )
27 dmdsl3 30210 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∈ C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
2826, 27mpan 689 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
2912, 16, 22, 28syl3an 1157 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
30 inss1 4135 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐶 𝐴)
31 ssrin 4140 . . . . . . . . 9 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐶 𝐴) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)
33 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐴 𝑀 𝐵)
34 simpl 486 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐶)
35 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐶𝐵)
363, 8, 13pm3.2i 1336 . . . . . . . . . 10 (𝐴C𝐵C𝐶C )
37 mdsl3 30211 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
3836, 37mpan 689 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐶𝐶𝐵) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
3933, 34, 35, 38syl3an 1157 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
4032, 39sseqtrid 3946 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ 𝐶)
41 inss2 4136 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐷 𝐴)
42 ssrin 4140 . . . . . . . . 9 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ (𝐷 𝐴) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵)
44 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷)
45 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐷𝐵)
463, 8, 23pm3.2i 1336 . . . . . . . . . 10 (𝐴C𝐵C𝐷C )
47 mdsl3 30211 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C𝐷C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷𝐷𝐵)) → ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
4846, 47mpan 689 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷𝐷𝐵) → ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
4933, 44, 45, 48syl3an 1157 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐷 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐷)
5043, 49sseqtrid 3946 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷)
5140, 50ssind 4139 . . . . . 6 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶𝐷))
5225, 8chincli 29355 . . . . . . 7 (((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∈ C
531, 2chincli 29355 . . . . . . 7 (𝐶𝐷) ∈ C
5452, 53, 3chlej1i 29368 . . . . . 6 ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
5551, 54syl 17 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ∩ 𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
5629, 55eqsstrrd 3933 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
57563expb 1117 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵))) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
5811, 57sylan2b 596 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)) ⊆ ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴))
595, 58eqssd 3911 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ 𝐵)) → ((𝐶𝐷) ∨ 𝐴) = ((𝐶 𝐴) ∩ (𝐷 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156   Cℋ cch 28824   ∨ℋ chj 28828   𝑀ℋ cmd 28861   𝑀ℋ* cdmd 28862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cc 9908  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668  ax-hilex 28894  ax-hfvadd 28895  ax-hvcom 28896  ax-hvass 28897  ax-hv0cl 28898  ax-hvaddid 28899  ax-hfvmul 28900  ax-hvmulid 28901  ax-hvmulass 28902  ax-hvdistr1 28903  ax-hvdistr2 28904  ax-hvmul0 28905  ax-hfi 28974  ax-his1 28977  ax-his2 28978  ax-his3 28979  ax-his4 28980  ax-hcompl 29097 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-omul 8123  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-acn 9417  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-lm 21942  df-haus 22028  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cfil 23968  df-cau 23969  df-cmet 23970  df-grpo 28388  df-gid 28389  df-ginv 28390  df-gdiv 28391  df-ablo 28440  df-vc 28454  df-nv 28487  df-va 28490  df-ba 28491  df-sm 28492  df-0v 28493  df-vs 28494  df-nmcv 28495  df-ims 28496  df-dip 28596  df-ssp 28617  df-ph 28708  df-cbn 28758  df-hnorm 28863  df-hba 28864  df-hvsub 28866  df-hlim 28867  df-hcau 28868  df-sh 29102  df-ch 29116  df-oc 29147  df-ch0 29148  df-shs 29203  df-chj 29205  df-md 30175  df-dmd 30176 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator