HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslj1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslj1i 30400
Description: Join preservation of the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslle1.1 𝐴C
mdslle1.2 𝐵C
mdslle1.3 𝐶C
mdslle1.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdslj1i (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mdslj1i
StepHypRef Expression
1 ssin 4145 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
21bicomi 227 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴𝐶𝐴𝐷))
3 mdslle1.3 . . . . . 6 𝐶C
4 mdslle1.4 . . . . . 6 𝐷C
5 mdslle1.1 . . . . . . 7 𝐴C
6 mdslle1.2 . . . . . . 7 𝐵C
75, 6chjcli 29538 . . . . . 6 (𝐴 𝐵) ∈ C
83, 4, 7chlubi 29552 . . . . 5 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
98bicomi 227 . . . 4 ((𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))
102, 9anbi12i 630 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))
11 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
12 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐶)
13 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
145, 6, 33pm3.2i 1341 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐵C𝐶C )
15 dmdsl3 30396 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐶)
1614, 15mpan 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐶)
1711, 12, 13, 16syl3an 1162 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐶)
183, 6chincli 29541 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵) ∈ C
194, 6chincli 29541 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐵) ∈ C
2018, 19chub1i 29550 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵))
2118, 19chjcli 29538 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∈ C
2218, 21, 5chlej1i 29554 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
2320, 22mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
2417, 23eqsstrrd 3940 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐶 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
25 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
26 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))
275, 6, 43pm3.2i 1341 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐵C𝐷C )
28 dmdsl3 30396 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C𝐷C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
2927, 28mpan 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
3011, 25, 26, 29syl3an 1162 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
3119, 18chub2i 29551 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵))
3219, 21, 5chlej1i 29554 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3430, 33eqsstrrd 3940 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3524, 34jca 515 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∧ 𝐷 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴)))
3621, 5chjcli 29538 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∈ C
373, 4, 36chlubi 29552 . . . . . . 7 ((𝐶 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∧ 𝐷 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴)) ↔ (𝐶 𝐷) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3835, 37sylib 221 . . . . . 6 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝐷) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3938ssrind 4150 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
40 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐴 𝑀 𝐵)
41 ssrin 4148 . . . . . . . 8 (𝐴𝐶 → (𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐵))
4241, 20sstrdi 3913 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
4342adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
44 inss2 4144 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵) ⊆ 𝐵
45 inss2 4144 . . . . . . . 8 (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵
4618, 19, 6chlubi 29552 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵)
4746bicomi 227 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵 ↔ ((𝐶𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵))
4844, 45, 47mpbir2an 711 . . . . . . 7 ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵
4948a1i 11 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵)
505, 6, 213pm3.2i 1341 . . . . . . 7 (𝐴C𝐵C ∧ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∈ C )
51 mdsl3 30397 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ∧ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∈ C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∧ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵)) → ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
5250, 51mpan 690 . . . . . 6 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∧ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵) → ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
5340, 43, 49, 52syl3an 1162 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
5439, 53sseqtrd 3941 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
55543expb 1122 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
5610, 55sylan2b 597 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
573, 4, 6lediri 29618 . . 3 ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵)
5857a1i 11 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵))
5956, 58eqssd 3918 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cin 3865  wss 3866   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213   C cch 29010   chj 29014   𝑀 cmd 29047   𝑀* cdmd 29048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-shs 29389  df-chj 29391  df-md 30361  df-dmd 30362
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem1  30406  mdslmd1lem2  30407
  Copyright terms: Public domain W3C validator