Theorem dmmeas 34887

Description: The domain of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmmeas	⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem dmmeas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrnmeas 34886	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → (dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑀‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)))))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4869  Disj wdisj 5072   class class class wbr 5105  dom cdm 5654  ran crn 5655  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ωcom 7884   ≼ cdom 8982  0cc0 11210  +∞cpnf 11350  [,]cicc 13489  Σ^*cesum 34712  sigAlgebracsiga 34793  measurescmeas 34881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-ov 7430  df-esum 34713  df-meas 34882

This theorem is used by:  measbasedom  34888  aean  34930  sibf0  35019  sibff  35021  sibfinima  35024  sibfof  35025  sitgclg  35027