Theorem dmmeas 34834

Description: The domain of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmmeas	⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem dmmeas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrnmeas 34833	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → (dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑀‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)))))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ≼ cdom 8971  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  [,]cicc 13479  Σ^*cesum 34659  sigAlgebracsiga 34740  measurescmeas 34828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-esum 34660  df-meas 34829

This theorem is used by:  measbasedom  34835  aean  34877  sibf0  34966  sibff  34968  sibfinima  34971  sibfof  34972  sitgclg  34974