Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibff 32976
Description: A simple function is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibff (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)

Proof of Theorem sibff
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
2 dmmeas 32840 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ ran measures β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
6 fvexd 6862 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) ∈ V)
75, 6eqeltrid 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
87sgsiga 32781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
94, 8eqeltrid 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
10 sitgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 sitgval.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
12 sitgval.x . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
13 sitgval.h . . . 4 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
14 sitgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
15 sibfmbl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
1610, 5, 4, 11, 12, 13, 14, 1, 15sibfmbl 32975 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
173, 9, 16mbfmf 32893 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝑆)
184unieqi 4883 . . . 4 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ (sigaGenβ€˜π½)
19 unisg 32782 . . . . 5 (𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
207, 19syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
2118, 20eqtrid 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
2221feq3d 6660 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝑆 ↔ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽))
2317, 22mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448  βˆͺ cuni 4870  dom cdm 5638  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  TopOpenctopn 17310  0gc0g 17328  β„Homcrrh 32614  sigAlgebracsiga 32747  sigaGencsigagen 32777  measurescmeas 32834  sitgcsitg 32969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774  df-esum 32667  df-siga 32748  df-sigagen 32778  df-meas 32835  df-mbfm 32889  df-sitg 32970
This theorem is referenced by:  sibfinima  32979  sibfof  32980  sitgaddlemb  32988  sitmcl  32991
  Copyright terms: Public domain W3C validator