Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibff 33335
Description: A simple function is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibff (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)

Proof of Theorem sibff
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
2 dmmeas 33199 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ ran measures β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
6 fvexd 6907 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) ∈ V)
75, 6eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
87sgsiga 33140 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
94, 8eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
10 sitgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 sitgval.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
12 sitgval.x . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
13 sitgval.h . . . 4 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
14 sitgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
15 sibfmbl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
1610, 5, 4, 11, 12, 13, 14, 1, 15sibfmbl 33334 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
173, 9, 16mbfmf 33252 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝑆)
184unieqi 4922 . . . 4 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ (sigaGenβ€˜π½)
19 unisg 33141 . . . . 5 (𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
207, 19syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
2118, 20eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
2221feq3d 6705 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝑆 ↔ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽))
2317, 22mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  βˆͺ cuni 4909  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385  β„Homcrrh 32973  sigAlgebracsiga 33106  sigaGencsigagen 33136  measurescmeas 33193  sitgcsitg 33328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-sitg 33329
This theorem is referenced by:  sibfinima  33338  sibfof  33339  sitgaddlemb  33347  sitmcl  33350
  Copyright terms: Public domain W3C validator