Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibff 31493
Description: A simple function is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibff (𝜑𝐹: dom 𝑀 𝐽)

Proof of Theorem sibff
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ran measures)
2 dmmeas 31359 . . . 4 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
6 fvexd 6678 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ V)
75, 6eqeltrid 2914 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
87sgsiga 31300 . . . 4 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
94, 8eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
10 sitgval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
11 sitgval.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
12 sitgval.x . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
13 sitgval.h . . . 4 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
14 sitgval.1 . . . 4 (𝜑𝑊𝑉)
15 sibfmbl.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
1610, 5, 4, 11, 12, 13, 14, 1, 15sibfmbl 31492 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
173, 9, 16mbfmf 31412 . 2 (𝜑𝐹: dom 𝑀 𝑆)
184unieqi 4839 . . . 4 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
19 unisg 31301 . . . . 5 (𝐽 ∈ V → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
207, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
2118, 20syl5eq 2865 . . 3 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
2221feq3d 6494 . 2 (𝜑 → (𝐹: dom 𝑀 𝑆𝐹: dom 𝑀 𝐽))
2317, 22mpbid 233 1 (𝜑𝐹: dom 𝑀 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492   cuni 4830  dom cdm 5548  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  TopOpenctopn 16683  0gc0g 16701  ℝHomcrrh 31133  sigAlgebracsiga 31266  sigaGencsigagen 31296  measurescmeas 31353  sitgcsitg 31486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-map 8397  df-esum 31186  df-siga 31267  df-sigagen 31297  df-meas 31354  df-mbfm 31408  df-sitg 31487
This theorem is referenced by:  sibfinima  31496  sibfof  31497  sitgaddlemb  31505  sitmcl  31508
  Copyright terms: Public domain W3C validator