Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibf0 31700
Description: The constant zero function is a simple function. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibf0.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sibf0.2 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sibf0 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Proof of Theorem sibf0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ran measures)
2 dmmeas 31568 . . . 4 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5 sitgval.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
65fvexi 6663 . . . . . 6 𝐽 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
87sgsiga 31509 . . . 4 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
94, 8eqeltrid 2897 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
10 fconstmpt 5582 . . . 4 ( dom 𝑀 × { 0 }) = (𝑥 dom 𝑀0 )
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) = (𝑥 dom 𝑀0 ))
12 sibf0.2 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
13 sitgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
14 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
1513, 14mndidcl 17921 . . . . 5 (𝑊 ∈ Mnd → 0𝐵)
1612, 15syl 17 . . . 4 (𝜑0𝐵)
17 sibf0.1 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
1813, 5tpsuni 21544 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
204unieqi 4816 . . . . . 6 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
21 unisg 31510 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ V → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
226, 21mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
2320, 22syl5eq 2848 . . . . 5 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
2419, 23eqtr4d 2839 . . . 4 (𝜑𝐵 = 𝑆)
2516, 24eleqtrd 2895 . . 3 (𝜑0 𝑆)
263, 9, 11, 25mbfmcst 31625 . 2 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
27 xpeq1 5537 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 = ∅ → ( dom 𝑀 × { 0 }) = (∅ × { 0 }))
28 0xp 5617 . . . . . . . 8 (∅ × { 0 }) = ∅
2927, 28eqtrdi 2852 . . . . . . 7 ( dom 𝑀 = ∅ → ( dom 𝑀 × { 0 }) = ∅)
3029rneqd 5776 . . . . . 6 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = ran ∅)
31 rn0 5764 . . . . . 6 ran ∅ = ∅
3230, 31eqtrdi 2852 . . . . 5 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = ∅)
33 0fin 8734 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
3432, 33eqeltrdi 2901 . . . 4 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
35 rnxp 5998 . . . . 5 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = { 0 })
36 snfi 8581 . . . . 5 { 0 } ∈ Fin
3735, 36eqeltrdi 2901 . . . 4 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
3834, 37pm2.61ine 3073 . . 3 ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin
3938a1i 11 . 2 (𝜑 → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
40 noel 4250 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ ∅
4132difeq1d 4052 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑀 = ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = (∅ ∖ { 0 }))
42 0dif 4312 . . . . . . . . 9 (∅ ∖ { 0 }) = ∅
4341, 42eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 = ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
4435difeq1d 4052 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ({ 0 } ∖ { 0 }))
45 difid 4287 . . . . . . . . 9 ({ 0 } ∖ { 0 }) = ∅
4644, 45eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
4743, 46pm2.61ine 3073 . . . . . . 7 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
4847eleq2i 2884 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
4940, 48mtbir 326 . . . . 5 ¬ 𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })
5049pm2.21i 119 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) → (𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
5150adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })) → (𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
5251ralrimiva 3152 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
53 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
54 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
55 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
5613, 5, 4, 14, 53, 54, 55, 1issibf 31699 . 2 (𝜑 → (( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
5726, 39, 52, 56mpbir3and 1339 1 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  Vcvv 3444  cdif 3881  c0 4246  {csn 4528   cuni 4803  cmpt 5113   × cxp 5521  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cima 5526  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  0cc0 10530  +∞cpnf 10665  [,)cico 12732  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  TopOpenctopn 16690  0gc0g 16708  Mndcmnd 17906  TopSpctps 21540  ℝHomcrrh 31342  sigAlgebracsiga 31475  sigaGencsigagen 31505  measurescmeas 31562  MblFnMcmbfm 31616  sitgcsitg 31695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1o 8089  df-map 8395  df-en 8497  df-fin 8500  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-esum 31395  df-siga 31476  df-sigagen 31506  df-meas 31563  df-mbfm 31617  df-sitg 31696
This theorem is referenced by:  sitg0  31712
  Copyright terms: Public domain W3C validator