Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibf0 32998
Description: The constant zero function is a simple function. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibf0.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sibf0.2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sibf0 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))

Proof of Theorem sibf0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
2 dmmeas 32864 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ ran measures β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
65fvexi 6860 . . . . . 6 𝐽 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
87sgsiga 32805 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
94, 8eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
10 fconstmpt 5698 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑀 ↦ 0 )
1110a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑀 ↦ 0 ))
12 sibf0.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
13 sitgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
1513, 14mndidcl 18579 . . . . 5 (π‘Š ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
1612, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
17 sibf0.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
1813, 5tpsuni 22308 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
204unieqi 4882 . . . . . 6 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ (sigaGenβ€˜π½)
21 unisg 32806 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
226, 21mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
2320, 22eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
2419, 23eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝑆)
2516, 24eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝑆)
263, 9, 11, 25mbfmcst 32923 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
27 xpeq1 5651 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (βˆ… Γ— { 0 }))
28 0xp 5734 . . . . . . . 8 (βˆ… Γ— { 0 }) = βˆ…
2927, 28eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = βˆ…)
3029rneqd 5897 . . . . . 6 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = ran βˆ…)
31 rn0 5885 . . . . . 6 ran βˆ… = βˆ…
3230, 31eqtrdi 2789 . . . . 5 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = βˆ…)
33 0fin 9121 . . . . 5 βˆ… ∈ Fin
3432, 33eqeltrdi 2842 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
35 rnxp 6126 . . . . 5 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = { 0 })
36 snfi 8994 . . . . 5 { 0 } ∈ Fin
3735, 36eqeltrdi 2842 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
3834, 37pm2.61ine 3025 . . 3 ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin
3938a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
40 noel 4294 . . . . . 6 Β¬ π‘₯ ∈ βˆ…
4132difeq1d 4085 . . . . . . . . 9 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = (βˆ… βˆ– { 0 }))
42 0dif 4365 . . . . . . . . 9 (βˆ… βˆ– { 0 }) = βˆ…
4341, 42eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…)
4435difeq1d 4085 . . . . . . . . 9 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = ({ 0 } βˆ– { 0 }))
45 difid 4334 . . . . . . . . 9 ({ 0 } βˆ– { 0 }) = βˆ…
4644, 45eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…)
4743, 46pm2.61ine 3025 . . . . . . 7 (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…
4847eleq2i 2826 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↔ π‘₯ ∈ βˆ…)
4940, 48mtbir 323 . . . . 5 Β¬ π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })
5049pm2.21i 119 . . . 4 (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) β†’ (π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
5150adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
5251ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
53 sitgval.x . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
54 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
55 sitgval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
5613, 5, 4, 14, 53, 54, 55, 1issibf 32997 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ ((βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
5726, 39, 52, 56mpbir3and 1343 1 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911  βˆ…c0 4286  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  0cc0 11059  +∞cpnf 11194  [,)cico 13275  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  TopOpenctopn 17311  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  TopSpctps 22304  β„Homcrrh 32638  sigAlgebracsiga 32771  sigaGencsigagen 32801  measurescmeas 32858  MblFnMcmbfm 32912  sitgcsitg 32993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1o 8416  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-esum 32691  df-siga 32772  df-sigagen 32802  df-meas 32859  df-mbfm 32913  df-sitg 32994
This theorem is referenced by:  sitg0  33010
  Copyright terms: Public domain W3C validator