Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibf0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sibf0 33328
Description: The constant zero function is a simple function. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibf0.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sibf0.2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sibf0 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Proof of Theorem sibf0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
2 dmmeas 33194 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ ran measures β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
65fvexi 6905 . . . . . 6 𝐽 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
87sgsiga 33135 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
94, 8eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
10 fconstmpt 5738 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑀 ↦ 0 )
1110a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑀 ↦ 0 ))
12 sibf0.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
13 sitgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
1513, 14mndidcl 18639 . . . . 5 (π‘Š ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
1612, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
17 sibf0.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
1813, 5tpsuni 22437 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
204unieqi 4921 . . . . . 6 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ (sigaGenβ€˜π½)
21 unisg 33136 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
226, 21mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
2320, 22eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
2419, 23eqtr4d 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝑆)
2516, 24eleqtrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝑆)
263, 9, 11, 25mbfmcst 33253 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
27 xpeq1 5690 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (βˆ… Γ— { 0 }))
28 0xp 5774 . . . . . . . 8 (βˆ… Γ— { 0 }) = βˆ…
2927, 28eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = βˆ…)
3029rneqd 5937 . . . . . 6 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = ran βˆ…)
31 rn0 5925 . . . . . 6 ran βˆ… = βˆ…
3230, 31eqtrdi 2788 . . . . 5 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = βˆ…)
33 0fin 9170 . . . . 5 βˆ… ∈ Fin
3432, 33eqeltrdi 2841 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
35 rnxp 6169 . . . . 5 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = { 0 })
36 snfi 9043 . . . . 5 { 0 } ∈ Fin
3735, 36eqeltrdi 2841 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
3834, 37pm2.61ine 3025 . . 3 ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin
3938a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
40 noel 4330 . . . . . 6 Β¬ π‘₯ ∈ βˆ…
4132difeq1d 4121 . . . . . . . . 9 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = (βˆ… βˆ– { 0 }))
42 0dif 4401 . . . . . . . . 9 (βˆ… βˆ– { 0 }) = βˆ…
4341, 42eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…)
4435difeq1d 4121 . . . . . . . . 9 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = ({ 0 } βˆ– { 0 }))
45 difid 4370 . . . . . . . . 9 ({ 0 } βˆ– { 0 }) = βˆ…
4644, 45eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…)
4743, 46pm2.61ine 3025 . . . . . . 7 (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…
4847eleq2i 2825 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↔ π‘₯ ∈ βˆ…)
4940, 48mtbir 322 . . . . 5 Β¬ π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })
5049pm2.21i 119 . . . 4 (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) β†’ (π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
5150adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
5251ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
53 sitgval.x . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
54 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
55 sitgval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
5613, 5, 4, 14, 53, 54, 55, 1issibf 33327 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ ((βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
5726, 39, 52, 56mpbir3and 1342 1 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  [,)cico 13325  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  TopOpenctopn 17366  0gc0g 17384  Mndcmnd 18624  TopSpctps 22433  β„Homcrrh 32968  sigAlgebracsiga 33101  sigaGencsigagen 33131  measurescmeas 33188  MblFnMcmbfm 33242  sitgcsitg 33323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1o 8465  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-esum 33021  df-siga 33102  df-sigagen 33132  df-meas 33189  df-mbfm 33243  df-sitg 33324
This theorem is referenced by:  sitg0  33340
  Copyright terms: Public domain W3C validator