Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibf0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sibf0 33333
Description: The constant zero function is a simple function. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibf0.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sibf0.2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sibf0 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Proof of Theorem sibf0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
2 dmmeas 33199 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ ran measures β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
65fvexi 6906 . . . . . 6 𝐽 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
87sgsiga 33140 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
94, 8eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
10 fconstmpt 5739 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑀 ↦ 0 )
1110a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑀 ↦ 0 ))
12 sibf0.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
13 sitgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
1513, 14mndidcl 18640 . . . . 5 (π‘Š ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
1612, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
17 sibf0.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
1813, 5tpsuni 22438 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
204unieqi 4922 . . . . . 6 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ (sigaGenβ€˜π½)
21 unisg 33141 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
226, 21mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
2320, 22eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
2419, 23eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝑆)
2516, 24eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝑆)
263, 9, 11, 25mbfmcst 33258 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
27 xpeq1 5691 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = (βˆ… Γ— { 0 }))
28 0xp 5775 . . . . . . . 8 (βˆ… Γ— { 0 }) = βˆ…
2927, 28eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = βˆ…)
3029rneqd 5938 . . . . . 6 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = ran βˆ…)
31 rn0 5926 . . . . . 6 ran βˆ… = βˆ…
3230, 31eqtrdi 2789 . . . . 5 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = βˆ…)
33 0fin 9171 . . . . 5 βˆ… ∈ Fin
3432, 33eqeltrdi 2842 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
35 rnxp 6170 . . . . 5 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) = { 0 })
36 snfi 9044 . . . . 5 { 0 } ∈ Fin
3735, 36eqeltrdi 2842 . . . 4 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
3834, 37pm2.61ine 3026 . . 3 ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin
3938a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin)
40 noel 4331 . . . . . 6 Β¬ π‘₯ ∈ βˆ…
4132difeq1d 4122 . . . . . . . . 9 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = (βˆ… βˆ– { 0 }))
42 0dif 4402 . . . . . . . . 9 (βˆ… βˆ– { 0 }) = βˆ…
4341, 42eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 = βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…)
4435difeq1d 4122 . . . . . . . . 9 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = ({ 0 } βˆ– { 0 }))
45 difid 4371 . . . . . . . . 9 ({ 0 } βˆ– { 0 }) = βˆ…
4644, 45eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (βˆͺ dom 𝑀 β‰  βˆ… β†’ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…)
4743, 46pm2.61ine 3026 . . . . . . 7 (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…
4847eleq2i 2826 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↔ π‘₯ ∈ βˆ…)
4940, 48mtbir 323 . . . . 5 Β¬ π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })
5049pm2.21i 119 . . . 4 (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) β†’ (π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
5150adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
5251ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))
53 sitgval.x . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
54 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
55 sitgval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
5613, 5, 4, 14, 53, 54, 55, 1issibf 33332 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↔ ((βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))))
5726, 39, 52, 56mpbir3and 1343 1 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  [,)cico 13326  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  TopSpctps 22434  β„Homcrrh 32973  sigAlgebracsiga 33106  sigaGencsigagen 33136  measurescmeas 33193  MblFnMcmbfm 33247  sitgcsitg 33328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1o 8466  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-sitg 33329
This theorem is referenced by:  sitg0  33345
  Copyright terms: Public domain W3C validator