Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibf0 34316
Description: The constant zero function is a simple function. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibf0.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sibf0.2 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sibf0 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Proof of Theorem sibf0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ran measures)
2 dmmeas 34182 . . . 4 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5 sitgval.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
65fvexi 6921 . . . . . 6 𝐽 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
87sgsiga 34123 . . . 4 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
94, 8eqeltrid 2843 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
10 fconstmpt 5751 . . . 4 ( dom 𝑀 × { 0 }) = (𝑥 dom 𝑀0 )
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) = (𝑥 dom 𝑀0 ))
12 sibf0.2 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
13 sitgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
14 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
1513, 14mndidcl 18775 . . . . 5 (𝑊 ∈ Mnd → 0𝐵)
1612, 15syl 17 . . . 4 (𝜑0𝐵)
17 sibf0.1 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
1813, 5tpsuni 22958 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
204unieqi 4924 . . . . . 6 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
21 unisg 34124 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ V → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
226, 21mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
2320, 22eqtrid 2787 . . . . 5 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
2419, 23eqtr4d 2778 . . . 4 (𝜑𝐵 = 𝑆)
2516, 24eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑0 𝑆)
263, 9, 11, 25mbfmcst 34241 . 2 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
27 xpeq1 5703 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 = ∅ → ( dom 𝑀 × { 0 }) = (∅ × { 0 }))
28 0xp 5787 . . . . . . . 8 (∅ × { 0 }) = ∅
2927, 28eqtrdi 2791 . . . . . . 7 ( dom 𝑀 = ∅ → ( dom 𝑀 × { 0 }) = ∅)
3029rneqd 5952 . . . . . 6 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = ran ∅)
31 rn0 5939 . . . . . 6 ran ∅ = ∅
3230, 31eqtrdi 2791 . . . . 5 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = ∅)
33 0fi 9081 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
3432, 33eqeltrdi 2847 . . . 4 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
35 rnxp 6192 . . . . 5 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = { 0 })
36 snfi 9082 . . . . 5 { 0 } ∈ Fin
3735, 36eqeltrdi 2847 . . . 4 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
3834, 37pm2.61ine 3023 . . 3 ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin
3938a1i 11 . 2 (𝜑 → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
40 noel 4344 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ ∅
4132difeq1d 4135 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑀 = ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = (∅ ∖ { 0 }))
42 0dif 4411 . . . . . . . . 9 (∅ ∖ { 0 }) = ∅
4341, 42eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 = ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
4435difeq1d 4135 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ({ 0 } ∖ { 0 }))
45 difid 4382 . . . . . . . . 9 ({ 0 } ∖ { 0 }) = ∅
4644, 45eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
4743, 46pm2.61ine 3023 . . . . . . 7 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
4847eleq2i 2831 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
4940, 48mtbir 323 . . . . 5 ¬ 𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })
5049pm2.21i 119 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) → (𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
5150adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })) → (𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
5251ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
53 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
54 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
55 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
5613, 5, 4, 14, 53, 54, 55, 1issibf 34315 . 2 (𝜑 → (( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
5726, 39, 52, 56mpbir3and 1341 1 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631   cuni 4912  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  [,)cico 13386  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  TopOpenctopn 17468  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  TopSpctps 22954  ℝHomcrrh 33956  sigAlgebracsiga 34089  sigaGencsigagen 34119  measurescmeas 34176  MblFnMcmbfm 34230  sitgcsitg 34311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1o 8505  df-map 8867  df-en 8985  df-fin 8988  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-esum 34009  df-siga 34090  df-sigagen 34120  df-meas 34177  df-mbfm 34231  df-sitg 34312
This theorem is referenced by:  sitg0  34328
  Copyright terms: Public domain W3C validator