Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcarsgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcarsgss 30887
Description: Caratheodory measurable sets are subsets of the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
elcarsgss (𝜑𝐴𝑂)

Proof of Theorem elcarsgss
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
2 carsgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
31, 2carsgcl 30882 . . 3 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4 difelcarsg.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
53, 4sseldd 3799 . 2 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
65elpwid 4361 1 (𝜑𝐴𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  wss 3769  𝒫 cpw 4349  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  +∞cpnf 10360  [,]cicc 12427  toCaraSigaccarsg 30879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-carsg 30880
This theorem is referenced by:  unelcarsg  30890  difelcarsg2  30891
  Copyright terms: Public domain W3C validator