Theorem elcarsgss 34445

Description: Caratheodory measurable sets are subsets of the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
elcarsgss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)

Proof of Theorem elcarsgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgcl 34440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4		difelcarsg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
5	3, 4	sseldd 3933	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
6	5	elpwid 4562	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4553  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  [,]cicc 13266  toCaraSigaccarsg 34437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-carsg 34438

This theorem is referenced by:  unelcarsg  34448  difelcarsg2  34449