Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelcarsg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelcarsg2 32259
Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under class difference. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
inelcarsg.2 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
difelcarsg2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem difelcarsg2
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
2 carsgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3 difelcarsg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
41, 2, 3elcarsgss 32255 . . 3 (𝜑𝐴𝑂)
5 difin2 4230 . . 3 (𝐴𝑂 → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
7 inelcarsg.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
81, 2, 7difelcarsg 32256 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
9 inelcarsg.1 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
101, 2, 8, 9, 3inelcarsg 32257 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
116, 10eqeltrd 2840 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  cdif 3888  cun 3889  cin 3890  wss 3891  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5078  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  0cc0 10855  +∞cpnf 10990  cle 10994   +𝑒 cxad 12828  [,]cicc 13064  toCaraSigaccarsg 32247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-xadd 12831  df-icc 13068  df-carsg 32248
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem3  32266
  Copyright terms: Public domain W3C validator