Theorem difelcarsg2 35012

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under class difference. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +e (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
difelcarsg2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem difelcarsg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		difelcarsg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4	1, 2, 3	elcarsgss 35008	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
5		difin2 4249	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
7		inelcarsg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
8	1, 2, 7	difelcarsg 35009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
9		inelcarsg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +e (𝑀‘𝑏)))
10	1, 2, 8, 9, 3	inelcarsg 35010	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
11	6, 10	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  +∞cpnf 11364   ≤ cle 11368   +_e cxad 13263  [,]cicc 13503  toCaraSigaccarsg 35000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-xadd 13266  df-icc 13507  df-carsg 35001

This theorem is used by:  carsgclctunlem3  35019