Theorem carsgcl 34802

Description: Closure of the Caratheodory measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
carsgcl	⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)

Proof of Theorem carsgcl

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgval 34801	. 2 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
4		ssrab2 4031	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ⊆ 𝒫 𝑂
5	3, 4	eqsstrdi 3978	1 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  +∞cpnf 11267   +_𝑒 cxad 13163  [,]cicc 13403  toCaraSigaccarsg 34799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-carsg 34800

This theorem is used by:  carsguni  34806  elcarsgss  34807  carsggect  34816  carsgsiga  34820  omsmeas  34821