Theorem carsgcl 34336

Description: Closure of the Caratheodory measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
carsgcl	⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)

Proof of Theorem carsgcl

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgval 34335	. 2 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
4		ssrab2 4055	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ⊆ 𝒫 𝑂
5	3, 4	eqsstrdi 4003	1 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  +∞cpnf 11266   +_𝑒 cxad 13126  [,]cicc 13365  toCaraSigaccarsg 34333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-carsg 34334

This theorem is referenced by:  carsguni  34340  elcarsgss  34341  carsggect  34350  carsgsiga  34354  omsmeas  34355