Theorem carsgcl 34498

Description: Closure of the Caratheodory measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
carsgcl	⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)

Proof of Theorem carsgcl

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgval 34497	. 2 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
4		ssrab2 4013	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ⊆ 𝒫 𝑂
5	3, 4	eqsstrdi 3960	1 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  {crab 3393   ∖ cdif 3881   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4531  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11034  +∞cpnf 11172   +_𝑒 cxad 13056  [,]cicc 13296  toCaraSigaccarsg 34495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-carsg 34496

This theorem is referenced by:  carsguni  34502  elcarsgss  34503  carsggect  34512  carsgsiga  34516  omsmeas  34517