Theorem carsgcl 34306

Description: Closure of the Caratheodory measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
carsgcl	⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)

Proof of Theorem carsgcl

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgval 34305	. 2 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
4		ssrab2 4080	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ⊆ 𝒫 𝑂
5	3, 4	eqsstrdi 4028	1 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292   +_𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  toCaraSigaccarsg 34303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-carsg 34304

This theorem is referenced by:  carsguni  34310  elcarsgss  34311  carsggect  34320  carsgsiga  34324  omsmeas  34325