Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgcl 32968
Description: Closure of the Caratheodory measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
carsgcl (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝒫 𝑂)

Proof of Theorem carsgcl
Dummy variables π‘Ž 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2 carsgval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
31, 2carsgval 32967 . 2 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂 ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)})
4 ssrab2 4041 . 2 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂 ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)} βŠ† 𝒫 𝑂
53, 4eqsstrdi 4002 1 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝒫 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  +∞cpnf 11194   +𝑒 cxad 13039  [,]cicc 13276  toCaraSigaccarsg 32965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-carsg 32966
This theorem is referenced by:  carsguni  32972  elcarsgss  32973  carsggect  32982  carsgsiga  32986  omsmeas  32987
  Copyright terms: Public domain W3C validator