Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelcarsg 33378
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
difelcarsg (πœ‘ β†’ (𝑂 βˆ– 𝐴) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))

Proof of Theorem difelcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4132 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝑂)
2 indif2 4270 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ (𝑂 βˆ– 𝐴)) = ((𝑒 ∩ 𝑂) βˆ– 𝐴)
3 elpwi 4609 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 β†’ 𝑒 βŠ† 𝑂)
43adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑂)
5 df-ss 3965 . . . . . . . . . 10 (𝑒 βŠ† 𝑂 ↔ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
64, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
76difeq1d 4121 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑂) βˆ– 𝐴) = (𝑒 βˆ– 𝐴))
82, 7eqtrid 2784 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 ∩ (𝑂 βˆ– 𝐴)) = (𝑒 βˆ– 𝐴))
98fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ (𝑂 βˆ– 𝐴))) = (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴)))
10 difdif2 4286 . . . . . . . 8 (𝑒 βˆ– (𝑂 βˆ– 𝐴)) = ((𝑒 βˆ– 𝑂) βˆͺ (𝑒 ∩ 𝐴))
11 ssdif0 4363 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 βŠ† 𝑂 ↔ (𝑒 βˆ– 𝑂) = βˆ…)
124, 11sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 βˆ– 𝑂) = βˆ…)
1312uneq1d 4162 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((𝑒 βˆ– 𝑂) βˆͺ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (βˆ… βˆͺ (𝑒 ∩ 𝐴)))
14 uncom 4153 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆ…) = (βˆ… βˆͺ (𝑒 ∩ 𝐴))
15 un0 4390 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆ…) = (𝑒 ∩ 𝐴)
1614, 15eqtr3i 2762 . . . . . . . . 9 (βˆ… βˆͺ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴)
1713, 16eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((𝑒 βˆ– 𝑂) βˆͺ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
1810, 17eqtrid 2784 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 βˆ– (𝑂 βˆ– 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
1918fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– (𝑂 βˆ– 𝐴))) = (π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)))
209, 19oveq12d 7429 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ (𝑂 βˆ– 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– (𝑂 βˆ– 𝐴)))) = ((π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴))))
21 iccssxr 13409 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
22 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
24 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
2524elpwdifcl 31802 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 βˆ– 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2623, 25ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
2721, 26sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ*)
2824elpwincl1 31801 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2923, 28ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
3021, 29sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 13221 . . . . . 6 (((π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴))))
3227, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴))))
33 difelcarsg.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
34 carsgval.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
3534, 22elcarsg 33373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))))
3633, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’)))
3736simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))
3837r19.21bi 3248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))
3920, 32, 383eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ (𝑂 βˆ– 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– (𝑂 βˆ– 𝐴)))) = (π‘€β€˜π‘’))
4039ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ (𝑂 βˆ– 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– (𝑂 βˆ– 𝐴)))) = (π‘€β€˜π‘’))
411, 40jca 512 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑂 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ (𝑂 βˆ– 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– (𝑂 βˆ– 𝐴)))) = (π‘€β€˜π‘’)))
4234, 22elcarsg 33373 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑂 βˆ– 𝐴) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ ((𝑂 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ (𝑂 βˆ– 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– (𝑂 βˆ– 𝐴)))) = (π‘€β€˜π‘’))))
4341, 42mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝑂 βˆ– 𝐴) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   +𝑒 cxad 13092  [,]cicc 13329  toCaraSigaccarsg 33369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-xadd 13095  df-icc 13333  df-carsg 33370
This theorem is referenced by:  unelcarsg  33380  difelcarsg2  33381  fiunelcarsg  33384  carsgsiga  33390
  Copyright terms: Public domain W3C validator