Theorem difelcarsg 34308

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
difelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4103	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
2		indif2 4247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴)
3		elpwi 4573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝑒 ⊆ 𝑂)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ⊆ 𝑂)
5		dfss2 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
6	4, 5	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
7	6	difeq1d 4091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒 ∖ 𝐴))
8	2, 7	eqtrid 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∖ 𝐴))
9	8	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
10		difdif2 4262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
11		ssdif0 4332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
12	4, 11	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
13	12	uneq1d 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)))
14		uncom 4124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
15		un0 4360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (𝑒 ∩ 𝐴)
16	14, 15	eqtr3i 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴)
17	13, 16	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
18	10, 17	eqtrid 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
19	18	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
20	9, 19	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
21		iccssxr 13398	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
25	24	elpwdifcl 32462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
26	23, 25	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
27	21, 26	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
28	24	elpwincl1 32461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
29	23, 28	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
30	21, 29	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
31		xaddcom 13207	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
32	27, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
33		difelcarsg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34		carsgval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
35	34, 22	elcarsg 34303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
36	33, 35	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
37	36	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
38	37	r19.21bi 3230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
39	20, 32, 38	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
40	39	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
41	1, 40	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒)))
42	34, 22	elcarsg 34303	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))))
43	41, 42	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   +_𝑒 cxad 13077  [,]cicc 13316  toCaraSigaccarsg 34299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-xadd 13080  df-icc 13320  df-carsg 34300

This theorem is referenced by:  unelcarsg  34310  difelcarsg2  34311  fiunelcarsg  34314  carsgsiga  34320