Theorem difelcarsg 34446

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
difelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4088	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
2		indif2 4232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴)
3		elpwi 4560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝑒 ⊆ 𝑂)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ⊆ 𝑂)
5		dfss2 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
6	4, 5	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
7	6	difeq1d 4076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒 ∖ 𝐴))
8	2, 7	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∖ 𝐴))
9	8	fveq2d 6837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
10		difdif2 4247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
11		ssdif0 4317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
12	4, 11	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
13	12	uneq1d 4118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)))
14		uncom 4109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
15		un0 4345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (𝑒 ∩ 𝐴)
16	14, 15	eqtr3i 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴)
17	13, 16	eqtrdi 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
18	10, 17	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
19	18	fveq2d 6837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
20	9, 19	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
21		iccssxr 13348	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
25	24	elpwdifcl 32581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
26	23, 25	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
27	21, 26	sselid 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
28	24	elpwincl1 32580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
29	23, 28	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
30	21, 29	sselid 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
31		xaddcom 13157	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
32	27, 30, 31	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
33		difelcarsg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34		carsgval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
35	34, 22	elcarsg 34441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
36	33, 35	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
37	36	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
38	37	r19.21bi 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
39	20, 32, 38	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
40	39	ralrimiva 3127	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
41	1, 40	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒)))
42	34, 22	elcarsg 34441	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))))
43	41, 42	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050   ∖ cdif 3897   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4553  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   +_𝑒 cxad 13026  [,]cicc 13266  toCaraSigaccarsg 34437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-xadd 13029  df-icc 13270  df-carsg 34438

This theorem is referenced by:  unelcarsg  34448  difelcarsg2  34449  fiunelcarsg  34452  carsgsiga  34458