Theorem difelcarsg 34295

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
difelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
2		indif2 4240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴)
3		elpwi 4566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝑒 ⊆ 𝑂)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ⊆ 𝑂)
5		dfss2 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
6	4, 5	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
7	6	difeq1d 4084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒 ∖ 𝐴))
8	2, 7	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∖ 𝐴))
9	8	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
10		difdif2 4255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
11		ssdif0 4325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
12	4, 11	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
13	12	uneq1d 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)))
14		uncom 4117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
15		un0 4353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (𝑒 ∩ 𝐴)
16	14, 15	eqtr3i 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴)
17	13, 16	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
18	10, 17	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
19	18	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
20	9, 19	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
21		iccssxr 13369	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
25	24	elpwdifcl 32506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
26	23, 25	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
27	21, 26	sselid 3941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
28	24	elpwincl1 32505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
29	23, 28	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
30	21, 29	sselid 3941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
31		xaddcom 13178	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
32	27, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
33		difelcarsg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34		carsgval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
35	34, 22	elcarsg 34290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
36	33, 35	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
37	36	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
38	37	r19.21bi 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
39	20, 32, 38	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
40	39	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
41	1, 40	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒)))
42	34, 22	elcarsg 34290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))))
43	41, 42	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11046  +∞cpnf 11183  ℝ^*cxr 11185   +_𝑒 cxad 13048  [,]cicc 13287  toCaraSigaccarsg 34286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-xadd 13051  df-icc 13291  df-carsg 34287

This theorem is referenced by:  unelcarsg  34297  difelcarsg2  34298  fiunelcarsg  34301  carsgsiga  34307