Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelcarsg 31628
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
difelcarsg (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4095 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐴) ⊆ 𝑂)
2 indif2 4232 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ (𝑂𝐴)) = ((𝑒𝑂) ∖ 𝐴)
3 elpwi 4531 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑒𝑂)
43adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒𝑂)
5 df-ss 3936 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = 𝑒)
64, 5sylib 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = 𝑒)
76difeq1d 4084 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒𝐴))
82, 7syl5eq 2871 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂𝐴)) = (𝑒𝐴))
98fveq2d 6665 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
10 difdif2 4246 . . . . . . . 8 (𝑒 ∖ (𝑂𝐴)) = ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴))
11 ssdif0 4306 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = ∅)
124, 11sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = ∅)
1312uneq1d 4124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒𝐴)))
14 uncom 4115 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒𝐴))
15 un0 4327 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝐴) ∪ ∅) = (𝑒𝐴)
1614, 15eqtr3i 2849 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒𝐴)
1713, 16syl6eq 2875 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒𝐴))
1810, 17syl5eq 2871 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂𝐴)) = (𝑒𝐴))
1918fveq2d 6665 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
209, 19oveq12d 7167 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
21 iccssxr 12817 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
2322adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
2524elpwdifcl 30301 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2623, 25ffvelrnd 6843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
2721, 26sseldi 3951 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
2824elpwincl1 30300 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2923, 28ffvelrnd 6843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
3021, 29sseldi 3951 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 12630 . . . . . 6 (((𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
3227, 30, 31syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
33 difelcarsg.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34 carsgval.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂𝑉)
3534, 22elcarsg 31623 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
3633, 35mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
3736simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
3837r19.21bi 3203 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
3920, 32, 383eqtrd 2863 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))
4039ralrimiva 3177 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))
411, 40jca 515 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒)))
4234, 22elcarsg 31623 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))))
4341, 42mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cdif 3916  cun 3917  cin 3918  wss 3919  c0 4276  𝒫 cpw 4522  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  +∞cpnf 10670  *cxr 10672   +𝑒 cxad 12502  [,]cicc 12738  toCaraSigaccarsg 31619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-xadd 12505  df-icc 12742  df-carsg 31620
This theorem is referenced by:  unelcarsg  31630  difelcarsg2  31631  fiunelcarsg  31634  carsgsiga  31640
  Copyright terms: Public domain W3C validator