Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelcarsg 34144
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
difelcarsg (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4132 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐴) ⊆ 𝑂)
2 indif2 4272 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ (𝑂𝐴)) = ((𝑒𝑂) ∖ 𝐴)
3 elpwi 4614 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑒𝑂)
43adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒𝑂)
5 dfss2 3965 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = 𝑒)
64, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = 𝑒)
76difeq1d 4120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒𝐴))
82, 7eqtrid 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂𝐴)) = (𝑒𝐴))
98fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
10 difdif2 4288 . . . . . . . 8 (𝑒 ∖ (𝑂𝐴)) = ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴))
11 ssdif0 4366 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = ∅)
124, 11sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = ∅)
1312uneq1d 4162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒𝐴)))
14 uncom 4153 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒𝐴))
15 un0 4395 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝐴) ∪ ∅) = (𝑒𝐴)
1614, 15eqtr3i 2756 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒𝐴)
1713, 16eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒𝐴))
1810, 17eqtrid 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂𝐴)) = (𝑒𝐴))
1918fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
209, 19oveq12d 7442 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
21 iccssxr 13461 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
2322adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
2524elpwdifcl 32453 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2623, 25ffvelcdmd 7099 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
2721, 26sselid 3977 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
2824elpwincl1 32452 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2923, 28ffvelcdmd 7099 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
3021, 29sselid 3977 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 13273 . . . . . 6 (((𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
3227, 30, 31syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
33 difelcarsg.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34 carsgval.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂𝑉)
3534, 22elcarsg 34139 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
3633, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
3736simprd 494 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
3837r19.21bi 3239 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
3920, 32, 383eqtrd 2770 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))
4039ralrimiva 3136 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))
411, 40jca 510 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒)))
4234, 22elcarsg 34139 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))))
4341, 42mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4325  𝒫 cpw 4607  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  *cxr 11297   +𝑒 cxad 13144  [,]cicc 13381  toCaraSigaccarsg 34135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-xadd 13147  df-icc 13385  df-carsg 34136
This theorem is referenced by:  unelcarsg  34146  difelcarsg2  34147  fiunelcarsg  34150  carsgsiga  34156
  Copyright terms: Public domain W3C validator