Theorem difelcarsg 34494

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
difelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
2		indif2 4235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴)
3		elpwi 4563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝑒 ⊆ 𝑂)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ⊆ 𝑂)
5		dfss2 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
6	4, 5	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
7	6	difeq1d 4079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒 ∖ 𝐴))
8	2, 7	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∖ 𝐴))
9	8	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
10		difdif2 4250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
11		ssdif0 4320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
12	4, 11	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
13	12	uneq1d 4121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)))
14		uncom 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
15		un0 4348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (𝑒 ∩ 𝐴)
16	14, 15	eqtr3i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴)
17	13, 16	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
18	10, 17	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
19	18	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
20	9, 19	oveq12d 7388	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
21		iccssxr 13360	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
25	24	elpwdifcl 32619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
26	23, 25	ffvelcdmd 7041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
27	21, 26	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
28	24	elpwincl1 32618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
29	23, 28	ffvelcdmd 7041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
30	21, 29	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
31		xaddcom 13169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
32	27, 30, 31	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
33		difelcarsg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34		carsgval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
35	34, 22	elcarsg 34489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
36	33, 35	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
37	36	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
38	37	r19.21bi 3230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
39	20, 32, 38	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
40	39	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
41	1, 40	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒)))
42	34, 22	elcarsg 34489	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))))
43	41, 42	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  +∞cpnf 11177  ℝ^*cxr 11179   +_𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13278  toCaraSigaccarsg 34485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-xadd 13041  df-icc 13282  df-carsg 34486

This theorem is referenced by:  unelcarsg  34496  difelcarsg2  34497  fiunelcarsg  34500  carsgsiga  34506