Theorem difelcarsg 33309

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
difelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂)
2		indif2 4271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴)
3		elpwi 4610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝑒 ⊆ 𝑂)
4	3	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ⊆ 𝑂)
5		df-ss 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
6	4, 5	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
7	6	difeq1d 4122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒 ∖ 𝐴))
8	2, 7	eqtrid 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∖ 𝐴))
9	8	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
10		difdif2 4287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
11		ssdif0 4364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
12	4, 11	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
13	12	uneq1d 4163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)))
14		uncom 4154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴))
15		un0 4391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∪ ∅) = (𝑒 ∩ 𝐴)
16	14, 15	eqtr3i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴)
17	13, 16	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∖ 𝑂) ∪ (𝑒 ∩ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
18	10, 17	eqtrid 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∩ 𝐴))
19	18	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
20	9, 19	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
21		iccssxr 13407	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
23	22	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
25	24	elpwdifcl 31764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
26	23, 25	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
27	21, 26	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
28	24	elpwincl1 31763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
29	23, 28	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
30	21, 29	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
31		xaddcom 13219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
32	27, 30, 31	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
33		difelcarsg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34		carsgval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
35	34, 22	elcarsg 33304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
36	33, 35	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
37	36	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
38	37	r19.21bi 3249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
39	20, 32, 38	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
40	39	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
41	1, 40	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒)))
42	34, 22	elcarsg 33304	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))))
43	41, 42	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   +_𝑒 cxad 13090  [,]cicc 13327  toCaraSigaccarsg 33300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-xadd 13093  df-icc 13331  df-carsg 33301

This theorem is referenced by:  unelcarsg  33311  difelcarsg2  33312  fiunelcarsg  33315  carsgsiga  33321