Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelcarsg 34312
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
difelcarsg (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4137 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐴) ⊆ 𝑂)
2 indif2 4281 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ (𝑂𝐴)) = ((𝑒𝑂) ∖ 𝐴)
3 elpwi 4607 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑒𝑂)
43adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒𝑂)
5 dfss2 3969 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = 𝑒)
64, 5sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = 𝑒)
76difeq1d 4125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒𝐴))
82, 7eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂𝐴)) = (𝑒𝐴))
98fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
10 difdif2 4296 . . . . . . . 8 (𝑒 ∖ (𝑂𝐴)) = ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴))
11 ssdif0 4366 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = ∅)
124, 11sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = ∅)
1312uneq1d 4167 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒𝐴)))
14 uncom 4158 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒𝐴))
15 un0 4394 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝐴) ∪ ∅) = (𝑒𝐴)
1614, 15eqtr3i 2767 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒𝐴)
1713, 16eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒𝐴))
1810, 17eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂𝐴)) = (𝑒𝐴))
1918fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
209, 19oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
21 iccssxr 13470 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
2524elpwdifcl 32545 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2623, 25ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
2721, 26sselid 3981 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
2824elpwincl1 32544 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2923, 28ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
3021, 29sselid 3981 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 13282 . . . . . 6 (((𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
3227, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
33 difelcarsg.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34 carsgval.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂𝑉)
3534, 22elcarsg 34307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
3633, 35mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
3736simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
3837r19.21bi 3251 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
3920, 32, 383eqtrd 2781 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))
4039ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))
411, 40jca 511 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒)))
4234, 22elcarsg 34307 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))))
4341, 42mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  toCaraSigaccarsg 34303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-xadd 13155  df-icc 13394  df-carsg 34304
This theorem is referenced by:  unelcarsg  34314  difelcarsg2  34315  fiunelcarsg  34318  carsgsiga  34324
  Copyright terms: Public domain W3C validator