Theorem unelcarsg 31570

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
unelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem unelcarsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		difelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4	1, 2, 3	elcarsgss 31567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
5		dfss4 4234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
7		inelcarsg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
8	1, 2, 7	elcarsgss 31567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
9		dfss4 4234	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10	8, 9	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
11	6, 10	uneq12d 4139	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∪ 𝐵))
12		difindi 4257	. . 3 ⊢ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) = ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)))
13	1, 2, 3	difelcarsg 31568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
14		inelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
15	1, 2, 7	difelcarsg 31568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
16	1, 2, 13, 14, 15	inelcarsg 31569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
17	1, 2, 16	difelcarsg 31568	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
18	12, 17	eqeltrrid 2918	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
19	11, 18	eqeltrrd 2914	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5065  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  +∞cpnf 10671   ≤ cle 10675   +_𝑒 cxad 12504  [,]cicc 12740  toCaraSigaccarsg 31559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-xadd 12507  df-icc 12744  df-carsg 31560

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  31574