Theorem unelcarsg 34826

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
unelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem unelcarsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		difelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4	1, 2, 3	elcarsgss 34823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
5		dfss4 4215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
7		inelcarsg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
8	1, 2, 7	elcarsgss 34823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
9		dfss4 4215	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10	8, 9	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
11	6, 10	uneq12d 4116	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∪ 𝐵))
12		difindi 4238	. . 3 ⊢ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) = ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)))
13	1, 2, 3	difelcarsg 34824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
14		inelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
15	1, 2, 7	difelcarsg 34824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
16	1, 2, 13, 14, 15	inelcarsg 34825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
17	1, 2, 16	difelcarsg 34824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
18	12, 17	eqeltrrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
19	11, 18	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  +∞cpnf 11267   ≤ cle 11271   +_𝑒 cxad 13164  [,]cicc 13404  toCaraSigaccarsg 34815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-xadd 13167  df-icc 13408  df-carsg 34816

This theorem is used by:  fiunelcarsg  34830