Theorem unelcarsg 34496

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
unelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem unelcarsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		difelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4	1, 2, 3	elcarsgss 34493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
5		dfss4 4223	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
7		inelcarsg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
8	1, 2, 7	elcarsgss 34493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
9		dfss4 4223	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10	8, 9	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
11	6, 10	uneq12d 4123	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∪ 𝐵))
12		difindi 4246	. . 3 ⊢ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) = ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)))
13	1, 2, 3	difelcarsg 34494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
14		inelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
15	1, 2, 7	difelcarsg 34494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
16	1, 2, 13, 14, 15	inelcarsg 34495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
17	1, 2, 16	difelcarsg 34494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
18	12, 17	eqeltrrid 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
19	11, 18	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  +∞cpnf 11177   ≤ cle 11181   +_𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13278  toCaraSigaccarsg 34485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-xadd 13041  df-icc 13282  df-carsg 34486

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  34500