Theorem unelcarsg 33597

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
unelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem unelcarsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		difelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4	1, 2, 3	elcarsgss 33594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
5		dfss4 4258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
7		inelcarsg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
8	1, 2, 7	elcarsgss 33594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
9		dfss4 4258	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10	8, 9	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
11	6, 10	uneq12d 4164	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∪ 𝐵))
12		difindi 4281	. . 3 ⊢ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) = ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)))
13	1, 2, 3	difelcarsg 33595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
14		inelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
15	1, 2, 7	difelcarsg 33595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
16	1, 2, 13, 14, 15	inelcarsg 33596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
17	1, 2, 16	difelcarsg 33595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
18	12, 17	eqeltrrid 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
19	11, 18	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   ≤ cle 11253   +_𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  toCaraSigaccarsg 33586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-xadd 13097  df-icc 13335  df-carsg 33587

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  33601