Theorem unelcarsg 30890

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
unelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem unelcarsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		difelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
4	1, 2, 3	elcarsgss 30887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
5		dfss4 4059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
7		inelcarsg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
8	1, 2, 7	elcarsgss 30887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑂)
9		dfss4 4059	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10	8, 9	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
11	6, 10	uneq12d 3966	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∪ 𝐵))
12		difindi 4082	. . 3 ⊢ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) = ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵)))
13	1, 2, 3	difelcarsg 30888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
14		inelcarsg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
15	1, 2, 7	difelcarsg 30888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
16	1, 2, 13, 14, 15	inelcarsg 30889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
17	1, 2, 16	difelcarsg 30888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
18	12, 17	syl5eqelr 2883	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂 ∖ 𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
19	11, 18	eqeltrrd 2879	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∖ cdif 3766   ∪ cun 3767   ∩ cin 3768   ⊆ wss 3769  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  +∞cpnf 10360   ≤ cle 10364   +_𝑒 cxad 12191  [,]cicc 12427  toCaraSigaccarsg 30879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-xadd 12194  df-icc 12431  df-carsg 30880

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  30894