Theorem carsguni 31202

Description: The union of all Caratheodory measurable sets is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
carsguni	⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Proof of Theorem carsguni

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgcl 31198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4	3	sselda 3857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂)
5	4	elpwid 4432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ⊆ 𝑂)
6	5	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎 ⊆ 𝑂)
7		unissb 4741	. . 3 ⊢ (∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎 ⊆ 𝑂)
8	6, 7	sylibr 226	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂)
9		baselcarsg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
10	1, 2, 9	baselcarsg 31200	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
11		unissel 4740	. 2 ⊢ ((∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
12	8, 10, 11	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3085   ⊆ wss 3828  ∅c0 4177  𝒫 cpw 4420  ∪ cuni 4710  ⟶wf 6182  ‘cfv 6186  (class class class)co 6974  0cc0 10331  +∞cpnf 10467  [,]cicc 12554  toCaraSigaccarsg 31195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-xadd 12322  df-icc 12558  df-carsg 31196

This theorem is referenced by:  carsgclctun  31215