Theorem carsguni 31570

Description: The union of all Caratheodory measurable sets is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
carsguni	⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Proof of Theorem carsguni

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgcl 31566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4	3	sselda 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂)
5	4	elpwid 4553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ⊆ 𝑂)
6	5	ralrimiva 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎 ⊆ 𝑂)
7		unissb 4873	. . 3 ⊢ (∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎 ⊆ 𝑂)
8	6, 7	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂)
9		baselcarsg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
10	1, 2, 9	baselcarsg 31568	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
11		unissel 4872	. 2 ⊢ ((∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
12	8, 10, 11	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4841  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  +∞cpnf 10675  [,]cicc 12744  toCaraSigaccarsg 31563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-xadd 12511  df-icc 12748  df-carsg 31564

This theorem is referenced by:  carsgclctun  31583