Theorem carsguni 34492

Description: The union of all Caratheodory measurable sets is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
carsguni	⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Proof of Theorem carsguni

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgcl 34488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4	3	sselda 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂)
5	4	elpwid 4565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ⊆ 𝑂)
6	5	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎 ⊆ 𝑂)
7		unissb 4898	. . 3 ⊢ (∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎 ⊆ 𝑂)
8	6, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂)
9		baselcarsg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
10	1, 2, 9	baselcarsg 34490	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
11		unissel 4897	. 2 ⊢ ((∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
12	8, 10, 11	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  +∞cpnf 11177  [,]cicc 13278  toCaraSigaccarsg 34485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-xadd 13041  df-icc 13282  df-carsg 34486

This theorem is referenced by:  carsgclctun  34505