Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsguni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsguni 30692
Description: The union of all Caratheodory measurable sets is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
carsguni (𝜑 (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Proof of Theorem carsguni
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
2 carsgval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
31, 2carsgcl 30688 . . . . . 6 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
43sselda 3795 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂)
54elpwid 4360 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎𝑂)
65ralrimiva 3153 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎𝑂)
7 unissb 4659 . . 3 ( (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎𝑂)
86, 7sylibr 225 . 2 (𝜑 (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂)
9 baselcarsg.1 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
101, 2, 9baselcarsg 30690 . 2 (𝜑𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
11 unissel 4658 . 2 (( (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
128, 10, 11syl2anc 575 1 (𝜑 (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  wral 3095  wss 3766  c0 4113  𝒫 cpw 4348   cuni 4626  wf 6094  cfv 6098  (class class class)co 6871  0cc0 10218  +∞cpnf 10353  [,]cicc 12392  toCaraSigaccarsg 30685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-id 5216  df-po 5229  df-so 5230  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-xadd 12159  df-icc 12396  df-carsg 30686
This theorem is referenced by:  carsgclctun  30705
  Copyright terms: Public domain W3C validator