Theorem carsguni 32175

Description: The union of all Caratheodory measurable sets is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
carsguni	⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Proof of Theorem carsguni

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgcl 32171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4	3	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂)
5	4	elpwid 4541	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑎 ⊆ 𝑂)
6	5	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎 ⊆ 𝑂)
7		unissb 4870	. . 3 ⊢ (∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑎 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)𝑎 ⊆ 𝑂)
8	6, 7	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂)
9		baselcarsg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
10	1, 2, 9	baselcarsg 32173	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
11		unissel 4869	. 2 ⊢ ((∪ (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
12	8, 10, 11	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  [,]cicc 13011  toCaraSigaccarsg 32168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-xadd 12778  df-icc 13015  df-carsg 32169

This theorem is referenced by:  carsgclctun  32188