Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsguni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsguni 33969
Description: The union of all Caratheodory measurable sets is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
baselcarsg.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
Assertion
Ref Expression
carsguni (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)

Proof of Theorem carsguni
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2 carsgval.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
31, 2carsgcl 33965 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝒫 𝑂)
43sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂)
54elpwid 4615 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑂)
65ralrimiva 3143 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)π‘Ž βŠ† 𝑂)
7 unissb 4946 . . 3 (βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)π‘Ž βŠ† 𝑂)
86, 7sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂)
9 baselcarsg.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
101, 2, 9baselcarsg 33967 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
11 unissel 4945 . 2 ((βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)
128, 10, 11syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  +∞cpnf 11285  [,]cicc 13369  toCaraSigaccarsg 33962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-xadd 13135  df-icc 13373  df-carsg 33963
This theorem is referenced by:  carsgclctun  33982
  Copyright terms: Public domain W3C validator