Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsguni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsguni 33837
Description: The union of all Caratheodory measurable sets is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
baselcarsg.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
Assertion
Ref Expression
carsguni (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)

Proof of Theorem carsguni
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2 carsgval.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
31, 2carsgcl 33833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝒫 𝑂)
43sselda 3977 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂)
54elpwid 4606 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑂)
65ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)π‘Ž βŠ† 𝑂)
7 unissb 4936 . . 3 (βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)π‘Ž βŠ† 𝑂)
86, 7sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂)
9 baselcarsg.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
101, 2, 9baselcarsg 33835 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
11 unissel 4935 . 2 ((βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)
128, 10, 11syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  [,]cicc 13333  toCaraSigaccarsg 33830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-xadd 13099  df-icc 13337  df-carsg 33831
This theorem is referenced by:  carsgclctun  33850
  Copyright terms: Public domain W3C validator