Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsguni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsguni 33302
Description: The union of all Caratheodory measurable sets is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
baselcarsg.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
Assertion
Ref Expression
carsguni (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)

Proof of Theorem carsguni
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2 carsgval.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
31, 2carsgcl 33298 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝒫 𝑂)
43sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂)
54elpwid 4611 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑂)
65ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)π‘Ž βŠ† 𝑂)
7 unissb 4943 . . 3 (βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)π‘Ž βŠ† 𝑂)
86, 7sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂)
9 baselcarsg.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
101, 2, 9baselcarsg 33300 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
11 unissel 4942 . 2 ((βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€)) β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)
128, 10, 11syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  [,]cicc 13326  toCaraSigaccarsg 33295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-xadd 13092  df-icc 13330  df-carsg 33296
This theorem is referenced by:  carsgclctun  33315
  Copyright terms: Public domain W3C validator