MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcntzsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcntzsn 19238
Description: Value of the centralizer of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
elcntzsn (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))

Proof of Theorem elcntzsn
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzfval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzfval.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐‘€)
3 cntzfval.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
41, 2, 3cntzsnval 19237 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)})
54eleq2d 2813 . 2 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) โ†” ๐‘‹ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)}))
6 oveq1 7411 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘‹ + ๐‘Œ))
7 oveq2 7412 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘Œ + ๐‘ฅ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
86, 7eqeq12d 2742 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ) โ†” (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
98elrab 3678 . 2 (๐‘‹ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)} โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
105, 9bitrdi 287 1 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426  {csn 4623  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Cntzccntz 19228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-cntz 19230
This theorem is referenced by:  gsumconst  19851  gsumpt  19879  cntzsnid  32716
  Copyright terms: Public domain W3C validator