MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcntzsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcntzsn 19283
Description: Value of the centralizer of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
elcntzsn (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))

Proof of Theorem elcntzsn
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzfval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzfval.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐‘€)
3 cntzfval.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
41, 2, 3cntzsnval 19282 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)})
54eleq2d 2815 . 2 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) โ†” ๐‘‹ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)}))
6 oveq1 7433 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘‹ + ๐‘Œ))
7 oveq2 7434 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘Œ + ๐‘ฅ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
86, 7eqeq12d 2744 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ) โ†” (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
98elrab 3684 . 2 (๐‘‹ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘ฅ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘ฅ)} โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
105, 9bitrdi 286 1 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜{๐‘Œ}) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3430  {csn 4632  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Cntzccntz 19273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-cntz 19275
This theorem is referenced by:  gsumconst  19896  gsumpt  19924  cntzsnid  32796
  Copyright terms: Public domain W3C validator